INFÖR NATIONELLA PROVET MATEMATIK 1 Versionsdatum: 2013-05-14

MATMAT01 – UPPGIFT 1 Förenkla så långt som möjligt

MATMAT01 – UPPGIFT 2

MATMAT01 – UPPGIFT 3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

MATMAT01 – UPPGIFT 4 x = -3 y = 4 ( -3, 4 ) ( -3, 4 )

MATMAT01 – UPPGIFT 5

MATMAT01 – UPPGIFT 6

MATMAT01 – UPPGIFT 7 73000

MATMAT01 – UPPGIFT 7 Halverat värde (50 000 kr) ≈2,3 år Med 10% värdeminskning: år = lg(0,5)/lg(0,9) = 6,57881347896 Med 15% värdeminskning: år = lg(0,5)/lg(0,85) = 4,2650242818 Skillnad: 6,57881347896 - 4,2650242818 = 2,31378919716 ≈2,3 år

MATMAT01 – UPPGIFT 7

MATMAT01 – UPPGIFT 8 Blå linjer = 2b Röda linjer = 4a

MATMAT01 – UPPGIFT 9 10 0,3 liter = 300 ml 15 ml × 2 = 30 ml (Dos varje dag)

MATMAT01 – UPPGIFT 10 Multiplicera båda sidor med Varför?

MATMAT01 – UPPGIFT 10 OBS!

MATMAT01 – UPPGIFT 11 0,8 Vad hände här?

MATMAT01 – UPPGIFT 12 s Petter väger p kg och Simon väger s kg. Skriv en formel som visar att Simon väger 12 % mer än Petter. s 1,12p Ändrad: 2012-05-03 Petter = p kg Simon = väger 12% mer än p kg Simon väger med andra ord 1 × p kg + 0,12 × p kg Detta kan skrivas: Simon väger 1,12 × p kg Simons vikt är s kg Detta ger formeln s = 1,12 p

MATMAT01 – UPPGIFT 13 x - 2 Om den långa sidan är 4 cm längre än den korta sidan. Då är den korta sidan 4 cm kortare än den långa. x + 2 x - 2 Den långa sidan är (x + 2) cm Den korta sidan är då (x + 2) - 4 cm

MATMAT01 – UPPGIFT 14 0,00020 (0,0002) ?

MATMAT01 – UPPGIFT 15

MATMAT01 – UPPGIFT 15 Personer Mörk choklad 6 100 g 3 50g Hur många gånger skall man ta 3 för att få 15? 5 × 3 = 15 Då måste vi även multiplicera 50g med 5 vilket är lika med 250g

MATMAT01 – UPPGIFT 16 Antal invånare med Internet: Antal invånare fast uppkoppling: Med en enda uträkning:

MATMAT01 – UPPGIFT 17

MATMAT01 – UPPGIFT 17 stolpar (n) brädor (y) 2 3 6 4 9 5 12 Med ord: Antalet brädor är tre gånger antalet stolpar minus tre. Med matematiska symboler: a) Till ett staket med 10 stolpar behövs 3 × 10 - 3 = 27 brädor b) Sambandet kan skrivas y = 3n – 3, y är antalet brädor och n är antalet stolpar.

MATMAT01 – UPPGIFT 18 Chicago ligger 7 h efter Stockholm. När planet startar i Chicago är klockan 16.25 + 7h i Stockholm = 23.25 Flygtiden är den tid som går mellan 23.25 och 08.20 (båda Sthlm) 23.25  00.00 = 35 minuter 00.00  08.00 = 8 timmar (h) 08.00  08.20 = 20 minuter Hela flygtiden är: 8 h + 35 min. + 20 min. = 8 h 55 min

MATMAT01 – UPPGIFT 19

MATMAT01 – UPPGIFT 19 2x Hela kvadratens area: B x 2x Area triangel A: C x A x x Area triangel B: Area triangel C:

MATMAT01 – UPPGIFT 19 2x Hela kvadratens area: B x 2x Area triangel A: C x Area triangel B: A x x Area triangel C: Den gröna triangelns area = Hela kvadratens area – triangel A – triangel B – triangel C Gröna triangelns area är alltså:

MATMAT01 – UPPGIFT 19 Svar: 3/8 av kvadratens area är grönfärgad 2x Hela kvadratens area: B x 2x Gröna triangelns area: C x A x x Hur stor del av hela kvadraten är färgad grön? Svar: 3/8 av kvadratens area är grönfärgad

MATMAT01 – UPPGIFT 20

MATMAT01 – UPPGIFT 20

MATMAT01 – UPPGIFT 20 Årsräntan i kronor: Årsräntan i procent (%) : Kommentar: Man får alltså betala 4500 kronor för att låna 3000 kronor!!?!

MATMAT01 – UPPGIFT 21

MATMAT01 – UPPGIFT 21 1 liter = 100 cl 1 dm3 1000 cm3 1 cl 10 cm3 2 cl Svar: Ja, mjölken ryms i förpackningen.

MATMAT01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT?

MATMAT01 – UPPGIFT 21 VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT?

MATMAT01 – UPPGIFT 22 20 + 100 × 0,24 = 44 20 + 500 × 0,24 = 140 100 × 0,36 = 36 500 × 0,36 = 180

MATMAT01 – UPPGIFT 22 Svar: 1250 kopior

MATMAT01 – UPPGIFT 22 Kostnad = 20 kronor + 24 öre per kopia Kostnad = y kronor Antal kopior = x stycken Jämför! y = 20 + 0,24x

MATMAT01 – UPPGIFT 22 Digitaltryckeriet = Tryckservice AB

MATMAT01 – UPPGIFT 23

MATMAT01 – UPPGIFT 23 Svar: Ungefär 163 cm Mannens längd ändras med c:a 0,25 cm om lårbenet ändras 1 mm. Då bör en man med lårbenet 425 mm ha längden 165,2 – (10 × 0,25)= 162,7 Svar: Ungefär 163 cm

Ungefärlig längd på en man MATMAT01 – UPPGIFT 23 Ett annat sätt att lösa denna: Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man 420 435 165,2 450 168,9 465 172,6 480 176,3 Differens? Differens? Differens? Differens? Differens? Differens? Differens? (Lös denna på whiteboard.)

MATMAT01 – UPPGIFT 24

MATMAT01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION!

MATMAT01 – UPPGIFT 24 DISKUSSION!

MATMAT01 – UPPGIFT 25 1 4 6 9 b) 1 + 4 + 6 + 9 = 20 1 4 6 9 b) 1 + 4 + 6 + 9 = 20 Om x = 5 blir både medelvärde och median desamma

MATMAT01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: Månadsavgift 65 kr Öppningsavgift 69 öre per samtal [0,69 kr] Samtalen kostar 69 öre per minut [0,69 kr] Hur mycket fick Bob betala en månad då han hade ringt 96 samtal på Sammanlagt 4h 25 minuter? 4h 25 minuter = 4 × 60 + 25 minuter = 265 minuter Kostnaden = 65 + 96 × 0,69 + 265 × 0,69 = 314,09 kronor Svar: 314 kronor Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70

MATMAT01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: Månadsavgift 65 kr Öppningsavgift 69 öre per samtal [0,69 kr] Samtalen kostar 69 öre per minut [0,69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267,86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Kostnaden kan beräknas med denna ekvation: Kostanden = 65 kronor + antal samtal × 0,69 kronor + antal minuter × 0,69 kronor. Vi vet att kostnaden är 267,86 kr och vi vet att antal samtal är 84. Vi villveta hur många minuter – Det kallar vi x. Vi får då denna ekvation: Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70

MATMAT01 – UPPGIFT 26 Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor: Månadsavgift 65 kr Öppningsavgift 69 öre per samtal [0,69 kr] Samtalen kostar 69 öre per minut [0,69 kr] En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267,86 kr. Beräkna den totala samtalstiden? Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70

RÄKNEORDNING parenteser () potenser 34 = 3 × 3 × 3 × 3 multiplikation & division × / addition & subtraktion + -

RÄKNEORDNING 3 × 2 + 5 – 2/2 = 10 3 × (2 + 5) – 2/2 = 20 3 × 2 + (5 – 2)/2 = 7,5 3 × 2 + (5 – 2/2) = 10

PRIMTAL Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig själva kallas primtal. Exempel: 2, 3, 5, 7, 11, och 13

PRIMTALSFAKTORISERING 30 = 5 × 6 = 5 × 3 × 2 60 = 10 × 6 = 5 × 2 × 3 × 2 100 = 10 × 10 = 5 × 2 × 5 × 2 1000 = 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2

TAL I DECIMALFORM

TAL I DECIMALFORM C D

SUBTRAKTION AV NEGATIVA TAL Vad är differensen av +3 och -6? 3 – (-6) = 9 + ”Två minustecken intill varandra ersätts med ett plustecken.”

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL - (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 +

PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL (-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus

OBS! (-4)×(-4) = 16 -4 - (-4) = 0 -4 - 4 = -8

TAL I BRÅKFORM

FÖRLÄNGNING = =

FÖRLÄNGNING

FÖRKORTNING = =

FÖRKORTNING

ADDITION AV BRÅK

RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI

MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde

ATT INVERTERA ETT BRÅK

DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2” HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2”

POTENSER 5 stycken exponent bas

POTENSER PÅ RÄKNAREN

TIOPOTENSER 10 Tio 100 Ett hundra 1 000 Ett tusen 10 000 Tio tusen 10 × 10 10 Tio 100 Ett hundra 1 000 Ett tusen 10 000 Tio tusen 1000 000 En miljon 1000 000 000 En miljard 10 × 10 × 10 × 10

TIOPOTENSER

Potenslagarna

GRUNDPOTENSFORM 100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 200 000 = 2 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 2 · 105 200 000 = 2 · 105 Potens med basen 10

AVRUNDNING Hur avrundas 8,97 till en decimal? 9,0 1196 b) 9 1197 a) 5 1197 b) 6 1198 a) 4,8 1198 b) 8,9 1199 a) 3,2 1199 b) 9,1 1200 a) 1,37 1200 b) 5,09 Hur avrundas 8,97 till en decimal? 9,0 Hur avrundas 5,097 till två decimaler? 5,10

VAD ÄR PROCENT?   40% 60%

HUR MÅNGA PROCENT ÄR… Blå?   Röda?     Gula?

PROCENT I DECIMALFORM procentform bråkform decimalform

VI SÖKER PROCENTSATSEN I klass 9A går det 25 elever. Av dessa var 19 närvarande. Hur stor var närvaron i procent? OBS! Hur stor var frånvaron i procent?

VI VET PROCENTSATSEN 1% av 3500 är 35 8% av 3500 är då 8 × 35 = 280 Hur mycket är 8% av 3500? Två olika sätt att lösa denna uppgift: 1% av 3500 är 35 8% av 3500 är då 8 × 35 = 280 0,08 × 3500 = 280 Vilket sätt tycker Du är bäst?

PROCENT Hur stor andel av figuren är färgad?

PROCENT 0, 3% 3 3,50% 5 0,35% 30% PROCENT

PROMILLE 0, 3% 3 3,50% 5 0,35% 30% PROMILLE

PPM 0, 3% 3 3,50% 5 0,35% 30% PPM

Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet Ökning med 5 % Några exempel 210 kronor = 1,05 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:

Flera procentuella förändringar Uppgift 2220, sidan 101 William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a 200 000 kronor

Procentenheter Priset på en vara höjdes från 4 kronor till 5 kronor. a) Hur många kronor höjdes priset? Svar: 1 krona b) Hur många % höjdes priset? Svar: 25 %

Index Tabellen visar KPI för livsmedel År 1980 1990 2010 KPI 100 229 273 År 1990 kostade 500 g kaffe 21,70 kr. Vilket var priset år 2010 om priset utvecklades enligt KPI? (Förändringsfaktor) Svar: Priset var 25,90 kr år 2010 om priset utvecklades enligt KPI.

Ekvation betyder LIKHET

FÖRENKLING AV UTTRYCK a) b) c) d)

ADDITION AV UTTRYCK

SUBTRAKTION AV UTTRYCK

STÄLLA UPP FORMLER Ställ upp en formel för y då y är summan av a och x y är differensen av a och x y är produkten av a och x y är kvoten av a och x

Att lösa ekvationer Multiplicera båda leden med 2x Dividera båda leden med 20 Förkorta med 5

Potensekvationer

Ekvationen xn = a

OBS!

Lös ut y

Multiplicera in

Multiplicera in

Faktorisera

EXEMPELUPPGIFT

EXEMPELUPPGIFT Triangel (3,2 × 1,1)/2 = 1,76 Rektangel 3,2 × 0,8 = 2,56 Totalt 1,76 + 2,56 = 4,32 Svar: Tältets framsida har arean 4,32 m²

EXEMPELUPPGIFT m² Tältets fram- och baksida har arean 2 × 4,32 m² Tältets långsidor har arean 2 × 3,2 × 0,8 m² 2 × 3,2 × 0,8 = 5,12 m² Tältets tak har arean 2 × 3,2 × 1,9 m² 2 × 3,2 × 1,9 = 12,16 m² Summan av alla areor: (8,64 + 5,12 + 12,16) m² m²

AREAENHETER 1 dm² 1 cm² 1 cm² = 100 mm² 1 dm² = 100 cm² 1 m² = 100 dm²

CIRKELN cirkelrand Omkrets: eller Area: eller

π (pi)

VOLYMENHETER 1 dm³ 1 cm³ 1 cm³ = 1000 mm³ 1 dm³ = 1000 cm³

VINKLAR OCH VINKELSUMMOR Kontroll: 87° + 43,5° + 49,5° = 180°

PYTHAGORAS SATS

SKALA Mät med linjal… SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 21 mm Mät med linjal… 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträckor 200 gånger längre än på bilden.” a) Längd: 200 × 21 mm = 4200 mm = 420 cm = 42 dm = 4,2 m Bredd: 200 × 15 mm = 3000 mm = 300 cm = 30 dm = 3,0 m

SKALA SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 21 mm 15 mm SKALA BILD : VERKLIGHET SKALA 1 : 200 ”I verkligheten är alla sträckor 200 gånger längre än på bilden.” Längd: 4,2 m Bredd: 3,0 m b) Area: 4,2 m × 3,0 m = 12,6 m²

SYMMETRI Symmetrilinje

SPEGLING

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR 6 olika utfall 36 möjliga utfall T 1 T2 Vad är sannolikheten att få summan 7 vid kast med 2 st. tärningar? T 1 T2 6 olika utfall 36 möjliga utfall

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR 6 olika utfall som ger 7 Vad är sannolikheten att INTE få summan 7 vid kast med 2 st tärningar? T 1 T2 6 olika utfall som ger 7 Detta kallas komplementhändelse.

TRÄDDIAGRAM Dra en kula ur urna 1 och lägg den i urna 2. Dra sedan en kula ur urna 2. Hur stor är sannolikheten att den sista kulan är en röd kula? U1 RÖD BLÅ U2 R B R B Sannolikheten att sista kulan är röd är: Observera:

Typvärde Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger.

Medelvärde Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden. På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…

MEDIAN Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen 1, 7, 9, 10 och 17 är 9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal tal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten.

MEDIAN Följande värden är givna: 6 7 0 4 12 7 18 2 2 Bestäm medianen 4 2 0 2 6 7 7 12 18 Svar: Medianen till dessa tal är 6

MEDIAN Följande värden är givna: 7 0 4 12 7 18 2 2 Bestäm medianen ? 4 2 0 2 7 7 12 18 4,5 ? Svar: Medianen till dessa tal är 4,5

KOORDINATSYSTEM y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) X = -5 (-5,-4)

Värdetabell • • 3 • 1 5 • 2 7 3 9 • -2 -1 • -3 -3

VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) x 2 När x är 2, så är y 3 När x är 5, så är y 6

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

RÄTA LINJENS EKVATION(2) k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

RÄTA LINJENS EKVATION(1) Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2

Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x F(x) = y IN = 1  UT = 3 F(x) = y IN = 2  UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3  UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4  UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5  UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) x 2

VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) x 2 Värdeaxel 3 • (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6

Proportionalitet Proportionell Direkt proportionell OrigO = (0,0)

Grafritande räknare