Om konstruktion av problemuppgifter Lars Burman

Föreläsningens innehåll 1 Klassificering av uppgifter i matematik 2 Kvalitetskrav på goda uppgifter/problem 3 Konstruktion av problem - resonemang kring en exempelsamling 4 Konklusioner

Varför vill vi konstruera problem? * Vi vill komplettera de uppgifter vi har * Vi behöver nya uppgifter till prov * Vi hittar inte exakt sådana uppgifter som vi behöver * Vi vill bädda för en systematisk övning av olika problemlösningsmetoder

klassificeringsnyckel 1 Om klassificering ... Läraren söker lämpliga uppgifter och har därför nytta av att hitta i sin ”uppgiftsbank”. Då kan man ha hjälp av en klassificeringsnyckel (Rönnqvist-Norrby & Burman, 2008)

Klassificeringsnyckeln Klassificering i fyra olika avseenden A. Användning av uppgiften B. Betoning (gäller problem) C. Central metod (problemlösning) D. Delområde av matematiken

Användning av uppgiften Introduktion Övning Repetition Utvärdering Övning i grupp

Betoning (gäller problem) Begynnelsefas Systematiskt genomförande Flera lösningar Regel, mönster

Central metod (problemlösning) Tabeller, figurer Regler, mönster Prövning Eliminering Arbeta baklänges Lösa delproblem Helhetsuppfattning

Delområde av matematiken Tal och räkneoperationer Algebra och funktioner Geometri Sannolikhetslära och statistik Problem med verklighetsanknytning

2 Om kvalitetskrav ... *Ett problem kan vara rikt eller en matematikuppgift kan vara värdefull i olika avseenden. *Problemet kan anses vara mera värdefullt ju flera av följande kvalitetskrav som är uppfyllda. *Jag föredrar att gruppera kraven parvis med hänsyn till några nyckelord.

Ett rikt problem ... (Introduktion) a) kan användas för att introducera nya begrepp och metoder b) innehåller en potential att fung- era som en utmaning för elever

Ett rikt problem ... (Förståelse) c) har en potential att fungera som en nyckel för förståelsen av matematik d) uppmuntrar eleverna att bygga upp nya kognitiva scheman

Ett rikt problem ... (Relationer) e) kan lösas på flera sätt - ger rikare helhetsbild f) har relationer till andra delområden av matematiken

Ett rikt problem ... (Relevans) g) är autentiskt och relevant för sin kontext h) initierar och inspirerar till diskussioner i klassrummet

Ett rikt problem ... (Affektion) i) innehåller inslag av överraskning och / eller kan ge en estetisk upplevelse

P1 Resa i Norden 78 elever tillfrågades om de under som- maren hade rest i Danmark (D), Norge (N) och Sverige (S). De svarade D 22 D och N 6 N 15 D och S 18 S 49 N och S 12 och 5 elever hade varit i alla tre länder. Hur många elever hade inte varit till något av de tre länderna?

P1 Resa i Norden HUR? 1) I början av höstterminen, ev. också baserat på statistisk undersökning 2) Venn-diagram 3) - delmängder beskriver olika många egenskaper av tre aktuella sådana - eleverna behöver tänka på nytt sätt - 1 3 3 1 , dvs. Pascals triangel - autentiskt, aktuellt (men frågan?) 4) Modifierat från ett språkproblem

3 Om konstruktion av problem Fyra sätt att konstruera problem: 1) problem för ett bestämt ändamål 2) problem med en bestämd metod 3) problem med rika egenskaper 4) problem modifieras med en bestämd avsikt

P2 Att vara ute och cykla Hur långt cyklar man om cykelhjulen rör sig 50 varv och hjulens radie är 34 cm? Hur många varv rör sig hjulen när man cyklar 100 m och hjulradien är 34 cm? Vilken radie borde hjulen ha för att de skall röra sig 50 varv på 100 m? Ange en formel för att beräkna hjulradien när man vet hur långt man cyklar och har bestämt antalet varv cykelhjulen rör sig!

P2 Att vara ute och cykla HUR? 1) Problemet är gjort för att öva räkning med bokstäver och konstruktion av formler och här finns tre variabler. (4) Egentligen en modifiering av den bekanta formeln s = v · t . Observera att problemet innehåller flera och olika svåra frågeställningar!

P3 100 möjligheter Talen m och n väljs på måfå ur mängden {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Bestäm sannolikheten att ekvationen x2 + mx + n2 = 0 har åtminstone en reell lösning.

P3 100 möjligheter HUR? 1) Problemet är gjort för att eleverna skall få jobba i grupper, samarbeta - alla skall inte pröva alla möjligheter - hur många lösningar kan vi samla - många möjligheter kan uteslutas 2) Prövningsmetoden (se ovan) (3) - en utmaning för eleverna - diskriminant, svar med sannolikhet - diskussion inom grupperna (4) Lätt modifierat, Mathematics Teacher

P4 På vandring En grupp på fotvandring beslöt att de som dagsetapp skulle gå västerut ett visst antal hela kilometer, sedan söderut igen ett visst antal hela kilometer och slutligen kortaste vägen till startpunkten. Hur många hela kilometer skall gruppen gå västerut och söderut (kan vara lika många också) för att deras dagsetapp skall vara så nära 20 km som möjligt?

P4 På vandring HUR? 2) Problemet är gjort för att eleverna skall få träna prövningsmetoden, man prövar alla möjliga lösningar. (1) Pythagoras sats var aktuell och det var populärt att vandra i fjällen. (Vem planerar nu dagsetapp så här?) 1) Fördel med att lösa problemet i grupp - prövningen fördelas i gruppen - diskussion: har vi bästa svaret?

P5 Pilkastning Fröken Jeanne d’Art kastar en pil som träffar en vanlig piltavla (numrerad från 1 till 10). Vi är intresserade av med vilken sannolikhet hon får a) minst 5 b) precis 5 Rita två bilder som hjälper oss att uppfatta problemen rätt och beskriv med ord hur man skall göra för att beräkna sannolikheterna.

P5 Pilkastning HUR? 2) Problemet har gjorts som en intro- duktion till geometrisk sannolikhet. 3) - introduktion, koppling till geometri - ny tanke: sannolikheter – areor (bäddar för kont. fördelningar!) - uppgiften är rätt öppen, villkoren kan preciseras => diskussioner - kreativt: bilder som delsvar! - affektiva poäng utöver efternamnet (4) Lämplig för alla utan modifiering.

P6 Hur många elever? Du får tre uppgifter om eleverna i en skola med årskurserna 7, 8 och 9: a) exakt en tredjedel av eleverna går i åttan b) exakt 20 % av eleverna kommer till skolan med skolbuss c) skolan har över 300 elever Hur många elever måste det åtminstone finnas i skolan?

P6 Hur många elever? HUR? 3) Problemet gjordes ursprungligen för att uppgifterna passade en bestämd skola men det har vissa kvaliteter: - inspirerar till att tänka annorlunda - utmaning för eleverna (”olösbart”) - oväntad koppling till delbarhet - problemet kan modifieras till att stämma in på den egna skolan (men frågan är onekligen avig!) - överraskning: ”det går att lösa”

P7 Fångarna på fortet Ett lag i ”Fångarna på fortet” måste för att befria en lagmedlem fördela tio vita kulor och tio svarta kulor i två askar. Sedan väljer fångvaktaren på måfå ut en av askarna och drar en kula ur den asken. Om kulan är vit blir fången fri annars inte. Hur skall laget fördela kulorna så att sanno-likheten att befria lagmedlemmen blir så stor som möjligt?

P7 Fångarna på fortet HUR? Ursprunget MT, men uppgiften användes troligen i TV-programmet med detta namn. 3) Problemet har många kvaliteter: - utmaning, kändes omöjligt för en del ... - inspirerar till att tänka i nya banor, nytt kognitivt schema: ”inte lika många kulor” - autentiskt, dvs. åtminstone aktuellt då - ledde till diskussion (”bästa svar?”) (2) Resonemang bättre än prövningsmetoden.

P8 Salt i vatten Anta att 100 liter vatten innehåller 1 % salt. Hur mycket vatten bör man låta koka bort för att salthalten skall stiga till a) 2 % b) 5 % ? Förändra uppgiften: - starta med 100 ml vatten i stället (- lägg till salt i stället för att koka bort vatten) Vad kan du dra för slutsatser?

P8 Salt i vatten HUR? Problemet finns i många tappningar men nu är avsikten att få eleverna att dra egna slutsatser med praktiska konsekvenser. 4) Elevernas tankar skall ledas in på vad som kan hända när man värmer upp mat och i bästa fall ge dem en aha-upplevelse. Problemet är inte svårt att konstruera!

P9 Hur stort tal? Medelvärdet av sju olika stora positiva hela tal är 23 och medianen är 20. Hur stort kan det största av de sju talen vara? (Vi antar att vi vill försöka få ett så stort tal som möjligt.) Vad är svaret om medelvärdet är 28 ?

P9 Hur stort tal? HUR? 4) Problemet är gjort för att repetera läges- mått och möjligen fördjupa förståelsen: - en starkt avvikande observation påverkar inte medianen men nog medelvärdet - rätt lösning förutsätter också att man lägger märke till all information i texten och använder den systematiskt samt att man behärskar begreppen som ingår

Definition på problem Ett problem är en uppgift som man inte kan lösa med standardmetoder. En uppgift som är ett problem för en elev behöver inte vara ett problem för en annan elev.

4 Konklusioner Ju fler problem eleverna löser desto färre blir de uppgifter som de inte kan lösa med bekanta metoder. Problemen blir mera intressanta för eleverna om läraren har konstruerat (modifierat) dem så att de passar in i det som är aktuellt i klassen. Ju fler problem man har löst desto lättare är det att lösa nya problem, konstruera problem (och modifiera).

Referenser m.m. Mina referenser finns i dokumentationsfilen bredvid denna presentation under rubriken ”Aktuella konferenser” på min hemsida. Gamla tävlingsuppgifter för åk 8 finns här: http://matcup.edublogs.org/gamla-uppgifter/ Ett urval PUMA-problem för åk 7-9 finns här: http://www.skolresurs.fi/puma Sänd gärna kommentarer på adressen lburman(at)abo.fi