Niclas Persson & Peter Hall Spectrum Estimation Statistical digital signal processing and modeling. Monson H. Hayes. Kap 8. Niclas Persson & Peter Hall 2002-09-13

Vad är spektralskattning? Skatta energin i signalen för en viss frekvens Definition, effektspektrum: DFT av autokorrelationsfunktionen Intressanta problem: Begränsat antal data Brus, störningar Hur utnyttja kunskaper om den bakomliggande processen? Tillämpningar… 2002-09-13

Metoder för spektralskattning Icke-parametriska Ingen kännedom om processen nödvändig abs(fft(x)) och liknande Parametriska Kännedom om processen är nödvändig AR(2) Alternativa (någonstans mellan IP och Par) Minimum varians Maximum entropi Frekvens MUSIC m.fl. 2002-09-13

Viktiga egenskaper Upplösning Bias Varians Förmågan att skilja närliggande frekvensinnehåll Bias Är spektralskattningen väntevärdesriktig? Varians Går variansen mot noll när antalet data ökar? 2002-09-13

IP - FFT plot(abs(fft(x)).^2) - Vad är det egentligen man gör? Definition: Periodogram = (1/N) abs(fft(x)).^2 Periodogram = skattning av spektrum baserat på begränsat antal data Sant periodogram faltat med en sinc kvadrat (läckage) Egenskaper: Asymptotiskt väntevärdesriktig Ej avtagande varians = ej konsistent! 2002-09-13

IP – Modifierade I Olika fönster Syftar till att finna avvägning mellan hög upplösning och undertryckning av sidlober. MATLAB: wintool (GUI, 6.5) 2002-09-13

IP – Modifierade II Syftar till att få konsistenta skattningar Medelvärdesbildning Bartlett, icke överlappande segment Welch, överlappande segment Glättning Blackman-Tukey, fönstring av akf Minskar inflytandet av osäkra akf-komponenter Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika algoritmerna, eller ska man använda varians eller upplösning var för sig när man väljer metod. 2002-09-13

Alt – Minimum Variance Filtrera signalen med ett filter som har bandbredd Δ, centerfrekvens ωi och filterordning p Filtret designas så att förstärkningen är 1 för frekvensen ωi läckage från sidolober minimeras (Minimum Variance) Skatta effekten för den filtrerade signalen Fördelar – hög upplösning Nackdelar - beräkningskrävande för stora p 2002-09-13

Alt – Maximum entropy Klassiska metoder “sätter” rx(k) = 0 för k ≤ N begränsar upplösningen och säkerheten I skattningen av spektrumet Maximum entropy extrapolerar rx(k) = 0 för k > N så att entropin för processen maximeras “signalen x(n) görs så vit som möjligt eller spectrumet görs så platt som möjligt” Fördelar – ??? Nackdelar - ??? Varför entropi? 2002-09-13

Par – AR, ARMA, MA … Kunskap om processen inkorporeras i form av en parametrisk modellstruktur Parametrarna skattas med lämplig metod (se material eller Ljung bibel) och spectrumet beräknas utifrån de skattade parametrarna Fördelar – noggrannhet och upplösning Nackdelar – Bias om modell inte är konsistent med data Frekvenssplittring vid övermodellering 2002-09-13

Frekvensskattning Letar efter vissa frekvenskomponenter (harmonics) Modell: Sinusar i brus Analogi: Beamforming, letar efter riktningar Metoder som bygger på egenuppdelning av ak-matrisen, R: Pisarenko Harmonic Decomposition MUSIC Egenvärdesmetoden Principalkomponenter 2002-09-13

Frekvensskattning – Pisarenko Antar p frekvenskomponenter Givet p+1 akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = 1 Ortogonalitet -> projektionen av signalegenvektorerna på brusegenvektorn är noll Egenfiltrets nollställen ger frekvenserna Bruskänslig 2002-09-13

Frekvensskattning - MUSIC Antar p frekvenskomponenter Givet M akf-komponenter -> dim(brusunderrummet) = M-p Utnyttjar fler brusegenvektorer än Pisarenko (M > p+1) Mindre bruskänsligt MATLAB: pmusic, rootmusic 2002-09-13

Frekvensskattning – Egenvärdesmetoden Som MUSIC, fast termerna är skalade med resp. egenvärde Teoretiskt identiskt med MUSIC, så när som på en skalfaktor Vid skattad ak-matris mindre känslig för osäkra nollställeplaceringar Färre falska toppar i pseudospektrum MATLAB: peig, rooteig 2002-09-13

Principalkomponenter Utnyttja egenuppdelning av R och släng brusdelen Resulterar i ett R med reducerad rang (principalkomponenter) Använd någon spektralskattningsmetod på detta R Fördel: Man har “filtrerat bort” delar av bruset 2002-09-13

Matlab kommandon help signal -> alla nödvändiga funktioner som kan behövas Några bra gui:n för att snabbt testa olika metoder wintool (titta på olika fönster och dess egenskaper) sptool (titta på spektrum med diverse olika metoder) 2002-09-13

Uppgift 1 - Spektralskattning På kurshemsidan finns en mat-fil (y.mat) som generarats från en av oss känd process. Processen innehåller en eller flera resonansfrekvenser. Uppgiften består i att ta reda på den/de resonansfrekvens(er) som förekommer så noggrannt som möjligt enligt de metoder som presenterats i materialet. Som svar förväntar vi oss Frekvens(er) för den/de resonans(er) ni funnit. Vilken metod ni tyckte gav bäst resultat och varför. Bonus om man kan ange den exakta processen Fina priser utlovas till dem som kommer närmast! 2002-09-13

Uppgift 2 - Frekvensskattning I filen FrekEst.mat finns signalen y som är ett antal sinusar i brus (Ts=1). Uppgiften är att med hjälp av metoderna i artikeln ta reda på: Hur många sinusar Vilka frekvenser Extra: Effekt (amplitud) hos sinusarna och brusvarians Testa gärna flera metoder och tala om vilken som funkar bäst! 2002-09-13

Frågor (några utvalda) Artikeln presenterar utförligt och tydligt olika klassiska spektralskattningsmetoder baserade på periodogram (Bartlett, Welch, B-T). Detta ingår i princip i grundkursen. Finns ytterligare metoder eller material som hade varit värt att ta upp? Är "Figure of Merit" ett bra jämförelse tal för de olika algoritmerna, eller ska man använda varians eller upplösning var för sig när man väljer metod. Jag har lite funderingar om man kan säga när de olika metoderna är lämpliga att använda. Lite erfarenheter vore trevligt att få ta del av. Ska man se samtliga metoder som komplement till varandra, eller kan man ge "lätta" konkreta tips för situationer när en viss metod är att föredra? Vad finns det för fördelar/nackdelar med subspace-metoder och principalkomponentanalys? När ska man välja resp. metod? 2002-09-13