Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Lägga plattor runt rabatter
Lägga plattor runt rabatter
1.1 Algebra
Prioriteringsreglerna
Prioriteringsreglerna
Prioriteringsreglerna Svar: X = 4 X = 1 X = 2
PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!
MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL (-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus
ARBETA NEDÅT! NEGATIVA TAL 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 17 - 6 + 5 – 6 17 - 6 + 5 – 6 17 + 5 - 6 – 6 22 - 12 10 ARBETA NEDÅT!
TALLINJEN Skillnad mellan 3 och (-3)? 3 – (-3)= 6 2014-01-21
ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL - (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 +
RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI
MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde
ATT INVERTERA ETT BRÅK
ATT INVERTERA ETT HELTAL
DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2” HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2”
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK Jämför!
DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.
DIVISION AV BRÅK
Algebraiska uttryck Variabeltermer Konstanttermer
Algebraiska uttryck
Algebraiska uttryck
Algebraiska uttryck
Algebraiska uttryck
Algebraiska uttryck 15
Algebraiska uttryck a²+ab
Algebraiska uttryck
Ekvationer
Ekvationer
1.2 Funktioner
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.
DIVISION AV BRÅK
DIVISION AV BRÅK Jämför!
DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.
DIVISION AV BRÅK
f(x) f(x) = y f(x) utläses f av x f är en funktion av x Men det går lika bra att säga y f(x) = y
Hitta tal… X Y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34 n 3n+7
Symbolen f(x)
Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x f(x) = y IN = 1 UT = 3 f(x) = y IN = 2 UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3 UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4 UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5 UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) x 2
Funktion eller inte funktion? JA! JA! Nej! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET
Definitions- och värdemängd
VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 • (5,6) X = 5 Y = 6 3 • (2,3) x 2 Värdeaxel 3 • (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6
Definitions- och värdemängd Y = värdeaxel X = definitionsaxel
LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1
1.3 Räta linjens ekvation
Buskar på rad Y = 5x + 3
Buskar på rad Y = 5x + 3
Buskar på rad Y = 5x + 3
Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3
Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5
m = var linjen skär y-axeln RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln
LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?
VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt att skriva är bäst?
VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4
VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! •
PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning
Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3
VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1
K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
ATT INVERTERA ETT BRÅK
ATT INVERTERA ETT HELTAL
INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).
INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).
INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).
LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1
Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5
VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt att skriva är bäst?
VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4
VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! •
PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning
PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?
VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1
VINKELRÄTA LINJER
VINKELRÄTA LINJER
1.4 Linjära ekvationssystem •
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!
VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2
VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4
VAD HETER DENNA LINJE? •
PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Varför? Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Ett ekvationssystem som består av 2 st. parallella linjer saknar lösning Varför?
VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!
TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM) GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.
SUBSTITUTIONSMETODEN
SUBSTITUTIONSMETODEN
SUBSTITUTIONSMETODEN
SUBSTITUTIONSMETODEN
SUBSTITUTIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:
SUBSTITUTIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:
ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3] Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.
LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5
LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5
UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5
LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led