Kap 1 - Algebra och funktioner

Slides:



Advertisements
Liknande presentationer
Linjära funktioner & ekvationssystem – Ma B
Advertisements

Talföljder formler och summor
Kurvor, derivator och integraler
MaB: Andragradsfunktioner
Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
MaB: Ekvationssystem Allmänt
ATT KUNNA TILL PROV MATMAT03c1
PowerPoint av Bendik S. Søvegjarto Koncept, text och regler av Skage Hansen.
Komplexa tal inför Laborationerna
MaB: Andragradsekvationer
Algebraiska uttryck Matematik 1.
INFÖR NATIONELLA PROVET
Sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
Kap 1 - Algebra och funktioner
GENOMGÅNG Exponentialfunktioner Logaritmer Negativ exponent.
Logaritmer.
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
KOMPLETTERING AV MA1202 MATMAT02bb OK8028 Versionsdatum:
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
Kap 1 - Algebra och linjära modeller Lösta uppgifter
MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2.
MATMAT02b – UPPGIFT 10 Pass VCP Certification
Att räkna med bokstäver
Manada.se Förändringshastighet och derivator. Förklara och använda begreppet lutning ändringskvot manada.se.
 Viktig förberedelse för mer avancerad problemlösning  Verktyg för att underlätta beräkningar  Och jo, man har nytta av algebra, men ofta arbetar vi.
Samband och förändring. Delen i procent Finns två metoder. Antingen räknar man först 1 % (genom att dividera med 100) och multiplicerar till den procenten.
Lars Madej  Talmönster och talföljder  Funktioner.
Manada.se Algebra och funktioner. 1.1 Algebra och polynom Förkunskaper: Grundläggande algebra Konjugatregeln och kvadreringsreglerna Andragradsekvationer.
Manada.se Kapitel 6 Linjära och exponentiella modeller.
Manada.se Kapitel 4 Ekvationer och formler. 4.1 Ekvationer och uttryck.
Du ska inom arbetsområdet lära dig att Tolka och förenkla uttryck med bokstäver Lösa enkla ekvationer Upptäcka och använda mönster och samband Skriva och.
INFÖR NATIONELLA PROV MATMAT01b.
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
Lite matterepetition Räknesätten, bråk, förkorta, parenteser
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
Kurvor, derivator och integraler
Kap 1 - Algebra och funktioner
Att rita en funktion i ett koordinatsystem
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
B D A C Vems påstående stämmer? A 5x + 10 = 5x – 10 B
Populärt brukar algebra ibland kallas för bokstavsräkning
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
Kap 1 - Algebra och funktioner
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Kap 1 - Algebra och funktioner
INFÖR NATIONELLA PROV MATMAT01b.
INFÖR NATIONELLA PROVET
Kurvor, derivator och integraler
INFÖR NATIONELLA PROVET
Matematik 4 Kap. 4 Komplexa tal.
Matematik 4 Kap. 4 Komplexa tal.
Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se.
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
Algebra och icke-linjära modeller
Aritmetik & algebra Geometri & bevis Förändring & procent Funktioner
Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!.
Kapitel 2 Förändringshastighet och derivator manada.se.
Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!.
Matematik 4 Kap. 4 Komplexa tal.
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
Y 4.5 Uttryck med potenser 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35 x ∙ x ∙ x ∙ x = x4
EKVATIONER OCH FORMLER
INFÖR NATIONELLA PROVET
Y 4.3 Uttryck med parenteser
GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata.
Algebra och icke-linjära modeller
Presentationens avskrift:

Kap 1 - Algebra och funktioner

1.1 Algebra och polynom

POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm +2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

Potenslagarna SE FORMELBLADET!

? Potenslagarna Tips på metod Byt ut alla a mot 5 och alla x mot 3 Kontroll med räknare ?

Definitioner ETT GENOM

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Lagar för kvadratrötter

Lagar för kvadratrötter

Lagar för kvadratrötter

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

OBS!

Andragradsekvationer För att använda lösningsformeln så är det bra att först skriva ekvationen på normalform, identifiera talen p och q och sedan sätta in dem i formeln, och eventuellt förenkla uttrycket lite. Den här lösningsformeln kallas populärt för pq-formeln. [http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php/Andragradsekvation ]

Andragradsekvationer Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

a och b är polynomets nollställen Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

Andragradspolynom

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Nollställen

Andragradspolynom Funktionen heter:

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 2:a kvadreringsregeln (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2

(a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

1.2 Rationella uttryck

TALMÄNGDER

Rationella uttryck

Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

Rationella uttryck Testa! För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

Förlängning

Förkortning

Klarar du denna utan räknare?

Klarar du denna utan räknare?

Vad heter kurvan?

Vad heter kurvan?

Kan du rita denna i DESMOS?

Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

Enklaste form

Förlängning, exempel

Förlängning, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

Varning!! VARFÖR!

Fundering! Är detta samma sak?

OBS!!

Bryt ut (-1)

Bryt ut -1

Förenkla

Förenkla

1.3 Funktioner

Funktioner

Vertikaltest

Vertikaltest

Vertikaltest

Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation m = 1

Räta linjens ekvation m = 6

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation

Tre lutningar

Räta linjens ekvation

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Andragradsekvationer Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

Andragradsekvationer Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen

Andragradsekvationer NOLLSTÄLLEN

Andragradsekvationer Symmetrilinje Minimipunkt

Grafisk lösningsmetod

Algebraisk lösningsmetod Vad hände här?

Algebraisk lösningsmetod

Algebraisk lösningsmetod

Grafisk lösningsmetod Lös denna med hjälp av DESMOS

Grafisk lösningsmetod Lös denna med hjälp av DESMOS

OBS! 197^(1/5) = 2,87669120278 lg(197)/lg(5) = 3,28263904306 2,87669^5 = 196,999588159 5^3,282639 = 196,999986347

Potensfunktioner & Exponentialfunktioner

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Exponentialfunktioner Vad vet vi om a?

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner Vad vet vi om a?

Exponentialfunktioner

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen?

Vilken är exponentialfunktionen?

Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

Vilken är exponentialfunktionen? Hemuppgift i Teams, vecka 36

Vilken är exponentialfunktionen?

Vilken är exponentialfunktionen?

Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år. Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

Sätt namn på grafen

Sätt namn på grafen

VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!! y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

VAD HETER FUNKTIONERNA? y=-x^2-x+6

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE? Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

SOCRATIVE https://www.socrative.com/