Kurvor, derivator och integraler

GENOMGÅNG 3.1

Växande och avtagande

Första och andra derivata Andra derivatans nollställe Första derivatans nollställen

Teckentabell

Teckentabell

Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 -3 + - +

Vi tar hjälp av DESMOS https://www.desmos.com/calculator/xaj5c5qh8f

Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

Exempeluppgift NOLL? ?

Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

Exempeluppgift Svar: Största arean får vi där x = 9 och den är 162 ae.

Exempeluppgift - kontroll

Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

Maximal area Hur får vi fram denna?

Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P

Maximal area - övning Dela ut! Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. Vad heter linjen? Areafunktion Derivata y’ = 0 A(x)= ? Dela ut! P

Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae. Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae. Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

Maximal area - övning

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss

Exempeluppgift Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det? Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 Största värde: 118 750?? Minsta värde: 112 000?? Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?

Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 OBS! 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000

Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000 Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallets yttervärden.

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000

Andraderivatan och grafen GENOMGÅNG 3.2 Polynomfunktioner Andraderivatan Andraderivatan och grafen

Polynomfunktioner

Polynomfunktioner

Polynomfunktioner

Polynomfunktioner Vad måste vi veta? Hur ska vi göra här? Vad är det?

Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: II: III:

Polynomfunktioner A I: II: III: Arean (A) av den grå triangeln: I III

Polynomfunktioner A I: II: III: Definitionsmängden för arean (A) är: Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde. (Hur vet vi att det är minsta och inte största area?)

Polynomfunktioner A Kontrollerar med graf: I III II Definitionsmängd Minsta area x-värde vid minsta area Största area?? Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Polynomfunktioner Hur vet vi att det är minsta möjliga area? Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Hur skall vi göra detta? A Namnge area av hela rektangeln. Namnge alla tre vita trianglar 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. 3 ) …………………………………………….. 4 ) …………………………………………….. 5 ) …………………………………………….. Hur vet vi att det är minsta möjliga area? Grå area (A) är hela arean minus de tre vita trianglarna. Derivera den grå arean (A) och du får A’. Sätt A’ = 0 och beräkna. Du får x = 6. Beräkna A(6) och du får minsta möjliga area.

Polynomfunktioner 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Hur skall vi göra detta? A 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. 3 ) …………………………………………….. 4 ) …………………………………………….. 5 ) ……………………………………………..

Andraderivatan

Andraderivatan

Andraderivatan

Andraderivatan

Andraderivatan och grafen

Andraderivatan och grafen

Andraderivatan och grafen ?

Andraderivatan och grafen Länk till DESMOS http://www.youtube.com/watch?v=DlRT3xmcExI [C:a 10 minuter]

Andraderivatan och grafen http://www.youtube.com/watch?v=J2NDtXc3-ME

Andraderivatan och grafen http://www.youtube.com/watch?v=bOdPIKYs1W4

GENOMGÅNG 3.3 Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor

FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st

FRÅN TEXT-TV (SVT) Varifrån kom talet 17? Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st Formel: Varifrån kom talet 17?

FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?

FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? (5400/7400)^(1/17) ≈ 0,981636522454… Hur skall vi svara?

FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha? Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?

Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

Primitiva funktioner

GENOMGÅNG 3.4 Integraler Integralberäkning med primitiv funktion Tillämpningar och problemlösningar

Integraler OBS! Uppgift 3401!

Integraler

Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

Integraler OBS! 0,2

Integraler

Integraler

Integraler

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion

Integraler Integral från 1 till och med 4

Integraler Integral från 1 till och med 4 12,3 2,1

Integraler Integral från 1 till och med 4 14,4

Integral

Integral

Integral

Integral

Funktion vs. Primitiv funktion

Funktion vs. Primitiv funktion

Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = -1?

Hur lutar grafen? Hur stor är integralen mellan x = 1 och x = 2?

f(x) -- F(x) Vilken är f(x)? Vilken är F(x)?

f(x) -- F(x)

f(x) -- F(x) Hur kan man se på den gröna grafen hur stor den grå arean/integralen är?

f(x) -- F(x) 6,75 Hur kan man se på den gröna grafen hur stor den grå arean/integralen är?

Integral Beräkna integralen: -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 36 (148/3) c:a 49,33

Integral/area Hur stor är arean mellan grafen och den positiva x-axeln? Hur stor är integralen mellan x = - 1 och x = 1? Hur stor är integralen från x = - 1 och x = 5? Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

Integral/area Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

Lutning/tangent Hur lutar grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

Lutning/tangent Vilken ekvation har tangenten till grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

Lutning/tangent Rita in den räta linje som tangerar grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33 Tangent: y = 9x - 9

Integral fnInt(X^3+X^2-X+2,X,2,3) Hur stor är arean (integralen mellan grafen och x-axeln mellan x-värdena x = 2 och x= 3)? Lös på valfritt sätt. fnInt(X^3+X^2-X+2,X,2,3)

Integral

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012 Vi löser denna med både handräkning och med räknare

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

MARKÖR HÄR!

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012 Y1=(X/3)*(6-X)^2 EQUATION SOLVER Eqn: 0=nDeriv(Y1,X,X) nDeriv(Y1,X,X) X=0 Bound=(…

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012 Varför är det inte OK med x = 8,5?

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012 Hur gjorde Dennis?

Socrative

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012