Kap 1 - Algebra och linjära modeller

1.1 Algebra

Prioriteringsreglerna

Prioriteringsreglerna

Prioriteringsreglerna Svar: X = 4 X = 1 X = 2

PRIORITERINGSREGLERNA Fungerande strategi (2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL (-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus

ARBETA NEDÅT! NEGATIVA TAL 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 17 - 6 + 5 – 6 17 - 6 + 5 – 6 17 + 5 - 6 – 6 22 - 12 10 ARBETA NEDÅT!

TALLINJEN Skillnad mellan 3 och (-3)? Differens av 3 och (-3)? 3 – (-3)= 6

PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL – (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 + Tecken intill varandra: LIKA  + OLIKA  ­–

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL – (-4) + 1 × (-6) = -10 (-4) (– 1) × (-6) = 2 +

Minus gånger minus

RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI

MULTIPLIKATION AV BRÅK Samma värde

ATT INVERTERA ETT TAL Skriv ex. in talet 5 och skriv sedan 1/ ”ett genom” ovanför. Multiplicera 5:an och dess inverterade värde 0,2 och se. Gör detta med ett antal tal. Gå sedan vidare till nästa bild och gör samma med bråktal.

ATT INVERTERA ETT BRÅK

ATT INVERTERA ETT HELTAL

ATT INVERTERA ETT HELTAL

DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 3/4  MULTIPLIKATION MED 4/3” HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 3/4  MULTIPLIKATION MED 4/3”

DIVISION AV BRÅK KONTROLL MED RÄKNARE

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK Jämför!

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

Algebraiska uttryck Variabeltermer Konstanttermer

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck 15

Algebraiska uttryck a²+ab

Algebraiska uttryck

Ekvationer

Ekvationer

1.2 Funktioner

Funktioner °F °C Dra bort 32 Dela med 1,8 32   50 65 20 45

Funktioner °F °C Dra bort 32 Dela med 1,8   För utskrift

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

DIVISION AV BRÅK Jämför!

DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED… …NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

DIVISION AV BRÅK

f(x) f(x) utläses f av x f är en funktion av x Men det går också att säga y

Värde och definition Värde Definition

Hitta tal… x y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Hitta tal… n y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

Symbolen f(x)

Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x Med andra ord y = f(x) f(x) = y JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x f(x) = y f(x) = y IN = 1  UT = 3 IN = 2  UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3  UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4  UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5  UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

• • NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 6 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2 5

Funktion eller inte funktion? JA! JA! Nej! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET

Definitions- och värdemängd

• • VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2 Värdeaxel • 3 (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6

Definitions- och värdemängd Y = värdeaxel X = definitionsaxel

LINJERS LUTNING

LINJERS LUTNING

LINJERS LUTNING

LINJERS LUTNING

LINJERS LUTNING

LINJERS LUTNING • Linjens lutning = (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

Lägga plattor runt rabatter

Lägga plattor runt rabatter För utskrift

Lägga plattor runt rabatter

1.3 Räta linjens ekvation

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

RÄTA LINJENS EKVATION • •

m = var linjen skär y-axeln RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?

VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt att skriva är bäst?

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! (Tycker Dennis) •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Parallella linjer har ingen skärningspunkt

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Linjär utveckling… 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 x y = 5x + 3

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER

ATT INVERTERA ETT BRÅK

ATT INVERTERA ETT HELTAL

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

VAD HETER LINJEN?

VAD HETER LINJEN?

VAD HETER LINJEN?

LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

Några punkter på linjen RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2 Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA? •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

VINKELRÄTA LINJER

VINKELRÄTA LINJER

God studieteknik?

1.4 Linjära ekvationssystem • Vad menas med en lösning?

TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM) GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN

Vi tar hjälp av DESMOS Mata in dessa funktioner i DESMOS!

GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.

GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM

GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM •

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM TEST! Hurra! Det stämmer

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Uppgift Vad heter linjerna? Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM •

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Detta ekvationssystem eller har lösningen eller

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2

VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

VAD HETER DENNA LINJE? •

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Varför? Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Ett ekvationssystem som består av 2 st. parallella linjer saknar lösning Varför?

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Y=2x+2 • Y=-x-1

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN

SUBSTITUTIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

SUBSTITUTIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)

ADDITIONSMETODEN

ADDITIONSMETODEN Vad hände här?

ADDITIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

Cykelförrådet Kan vi lösa denna med ett ekvationssystem?

Cykelförrådet Vilken metod skall vi ta? Vilka metoder känner vi till? GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN VI VÄLJER ALLA!

Cykelförrådet GRAFISK LÖSNING Kontroll!

SUBSTITUTIONSMETODEN Cykelförrådet SUBSTITUTIONSMETODEN Kontroll!

Cykelförrådet ADDITIONSMETODEN Kontroll!

ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3] Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

PARALLELLA LINJER https://mathleaks.se/utbildning/R%C3%A4ta_linjers_egenskaper

PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

VINKELRÄTA LINJER

VINKELRÄTA LINJER

VINKELRÄTA LINJER

VINKELRÄTA LINJER

ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3] Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

MATTEBOKEN

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1