Kap 1 - Algebra och funktioner

Slides:



Advertisements
Liknande presentationer
Andragradsfunktioner & Andragradsekvationer
Advertisements

Kap 1 - Algebra och linjära modeller
ATT KUNNA TILL PROV MATMAT03c1
Komplexa tal inför Laborationerna
Kap 1 - Algebra och funktioner
GENOMGÅNG Exponentialfunktioner Logaritmer Negativ exponent.
Logaritmer.
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
KOMPLETTERING AV MA1202 MATMAT02bb OK8028 Versionsdatum:
MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2.
MATMAT02b – UPPGIFT 10 Pass VCP Certification
”Algebra är Människiornes Förstånds helige Pröfwosteen så at then som thenna Konst wäl förståår kan sig försäkra at intet skall förekomma thet han icke.
Vad är egentligen ett samhälle? Hur skulle ni definiera ordet samhälle? Dvs när vi pratade om ett samhälle sist, vad pratade vi om då? Ta ngn minut och.
Manada.se Algebra och funktioner. 1.1 Algebra och polynom Förkunskaper: Grundläggande algebra Konjugatregeln och kvadreringsreglerna Andragradsekvationer.
Föreläsning 5 (Kajsa Fröjd) Tidsserier Kap 13.1 Man har en kvantitativ responsvariabel som mäts vid olika tidpunkter. 1.
Manada.se Förändringshastighet och derivator. Beräkna f´(2) (2/5) × 2^(-3/5) ≈ 0, … Uppgift 2332, sid 98 Matematik 3bc VUX-boken manada.se.
Algebra Bokstavsräkning. Matematiska uttryck – 7 3 * 8 27 / 9 Dessa kallas numeriska uttryck – innehåller bara siffror.
Rita en figur Problemlösningsstrategier 1.
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
Lite matterepetition Räknesätten, bråk, förkorta, parenteser
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
D A B C Vems påstående stämmer? I bilden står talen 9, – 11 och 2 3
ARITMETIK – OM TAL.
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
Kap 1 - Algebra och funktioner
Stegräknare Antal steg per dag Aktivitetsnivå Mindre än 5000
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Kap 1 - Algebra och funktioner
Kap 5 – Trigonometri och komplettering kurs 3c
INFÖR NATIONELLA PROVET
Kurvor, derivator och integraler
Förändringsfaktor på svart nivå
Polynomfunktioner av första graden
INFÖR NATIONELLA PROVET
Kap 4 - Statistik.
Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se.
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
Algebra och icke-linjära modeller
Rita en figur Problemlösningsstrategier 1.
Uppställning addition utan tiotalsövergång
Lathund-Ladok-95-Studiedeltagande
Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!.
Prisutveckling på villor och bostadsrätter det närmaste året
Prisutveckling på villor och bostadsrätter det närmaste året
Hur påverkas vårdkonsumtion och vårdpersonal av att befolkningen ökar
2013 HT, dagtid Statistiska institutionen
Kapitel 2 Förändringshastighet och derivator manada.se.
4, 8, 12… är ett exempel på en talföljd.
Geometriska satser och bevis
Matematik 4 Kap. 4 Komplexa tal.
KAP 6 – GRAFER OCH FUNKTIONER
Y 4.5 Uttryck med potenser 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35 x ∙ x ∙ x ∙ x = x4
Prisutveckling på villor och bostadsrätter det närmaste året
Kap 1 - Algebra och funktioner
Kurvor, derivator och integraler
Samband Y-axel Graderat 4 Kordinatsystem 3 2 1
EXEMPEL Ökade välfärdskostnader Brännpunkt Konsekvenser för staden
1 3 2 x x F(x) 3x F(x) = 3x y = 3x.
GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata.
Algebra och icke-linjära modeller
ARITMETIK – OM TAL.
Boprisindikatorn Juni 2019
Här finns fem geometriska figurer.
Z Matte-Doobidoo Kap 1.
Boprisindikatorn Oktober 2019
RESONEMANGSUPPGIFTER MED * KAPITEL 3
RESONEMANGSUPPGIFTER MED * KAPITEL 4
Presentationens avskrift:

Kap 1 - Algebra och funktioner

1.1 Algebra och polynom

POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

Algebra och funktioner

y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm +2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

Potenslagarna SE FORMELBLADET!

Definitioner ETT GENOM

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Definitioner

Lagar för kvadratrötter

Lagar för kvadratrötter

Absolutbelopp Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp

Absolutbelopp

Absolutbelopp

Absolutbelopp, ett exempel

Absolutbelopp, ett exempel

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Andragradsekvationer Symmetrilinje Minimipunkt

Uppgift 1101 & 1102

a och b är polynomets nollställen Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

Andragradspolynom

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Nollställen

Andragradspolynom Funktionen heter:

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

1.2 Rationella uttryck

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

TALMÄNGDER

Rationella uttryck

Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

Rationella uttryck Testa! För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

Förlängning

Förkortning

Enklaste form

Förlängning, exempel

Förlängning, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

Varning!! OBS!!

Varning!! VARFÖR!

Varning!!

Bryt ut (-1)

Bryt ut -1

1.3 Funktioner

Funktioner

Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation m = 1

Räta linjens ekvation m = 6

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation

Andragradsekvationer

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Andragradsekvationer Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

Andragradsekvationer NOLLSTÄLLEN

Andragradsekvationer Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Andragradsekvationer Symmetrilinje Minimipunkt

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Logaritmer ”2 är 10-logaritmen för 100”

Logaritmer ”3 är 10-logaritmen för 1000”

Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

Logaritmer Enligt räknaren…

Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test] (2) lg(3*4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4*lg(3) = 1,90848501888 (2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test] (3) (3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test] 76

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmlagar Exempel: TESTA!

Logaritmer med olika baser 4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

Logariter – ett exempel

Logariter – ett exempel På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109

Logariter – samma sak?

Logariter – NEJ!

Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid X = 3/(lg(2))*2400 = 23917,8822832 x = (3/lg(2))*24000 = 239178,822832 [2,4 × 105] 85

Exponetialfunktioner & potensfunktioner

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år. Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

Sätt namn på grafen

Sätt namn på grafen

Kan du det här? 1 (s. 64)

Kan du det här? 1 (s. 64)

Kan du det här? 1 (s. 64)

VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!! y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

VAD HETER FUNKTIONERNA? y=-x^2-x+6

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då:

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105… Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

Befolkningsproblem C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE? Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE? Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1