S:t Petersburg-paradoxen

En presentation över ämnet: "S:t Petersburg-paradoxen"— Presentationens avskrift:

1 S:t Petersburg-paradoxen
Singla slant tills ”klave” dyker upp. Om spelet slutar vid n:te omgången får du 2n kronor. Förväntad vinst är oändlig! Men: Det finns en gräns för hur mycket du skulle vara beredd att betala för att få spela spelet. Lösning: Använd en konkav nyttofunktion!

2 Expected Utility Theory
Standardcase: Välj mellan ett säkert alternativ z och ett lotteri L(a; x; y). Det säkra alternativet är minst lika bra som lotteriet omm u(z) ≥ a*u(x)+(1-a)*u(y), dvs. om u(z) ≥ E[u(L)]. Beslutsregel: MAXIMERA FÖRVÄNTAD NYTTA!

3 Intervallskalor En nyttofunktion u är en intervallskala om följande gäller: xPy omm u(x) > u(y). xIy omm u(x) = u(y). Preferensintervallet mellan x och y är minst lika stort som intervallet mellan z och w omm |u(x)-u(y)| ≥ |u(z)-u(w)|.

4 Resniks exempel ”Jag föredrar glass framför cola. Cola är betydligt bättre än äpplen. Jag föredrar äpplen framför popcorn, men de är nästan likvärdiga.” T.ex.: u(P) = 1; u(A) = 2; u(C) = 7; u(I) = 10.

5 Transformationer Intervallskalor kan genomgå positiva linjära transformationer utan att informationen förvanskas. v = a+b*u T.ex.: v(P) = 15; v(A) = 25; v(C) = 75; v(I) = 105. Följande går inte: w = u2  v(P) = 1; v(A) = 4; v(C) = 49; v(I) = 100.

6 von Neumann & Morgensterns nyttofunktion
xPy omm u(x) > u(y) xIy omm u(x) = u(y) u[L(a; x; y)] = a*u(x)+(1-a)*u(y) Om en annan funktion u’ tillfredsställer villkoren 1-3 så är u’ en positiv linjär transformation av u.

7 Rationalitetsvillkor inom Expected Utility Theory
The Expected Utility Theorem. Egenskaperna 1-4 följer av nedanstående axiom: The ordering condition The continuity condition The better prize condition The better-chances condition The reduction of compound lotteries condition

8 Allais’ paradox Två valsituationer:
alternativ 1: €1M med sannolikhet 100 %. alternativ 2: €5M med sannolikhet 10 %; €1M med sannolikhet 89 %; €0 med sannolikhet 1 %. B) alternativ 1: €5M med sannolikhet 10 %; €0 med sannolikhet 90 %. alternativ 2: €1M med sannolikhet 11 %; €0 med sannolikhet 89 %.

9 Ellsbergs paradox En urna med 90 kulor, varav 30 gula och resten röda eller blåa. Dra en kula! Två valsituationer; två alternativ. alternativ 1: €100 om gul. alternativ 2: €100 om röd. B) alternativ 1: €100 om röd eller blå. alternativ 2: €100 om gul eller blå.

10 Newcombs paradox ”The Predictor Paradox”
Två boxar; du får ta en eller båda. I blåa boxen ligger antingen €1M eller €0. Det ligger €1.000 i den andra boxen. En spåman bestämmer vad som ska ligga i den blå boxen; du får €1M endast om du låter bli att ta den andra boxen. Spåmannen har rätt i 90 % av fallen.