Mål Matematiska modeller Biologi/Kemi Datorer muntlig presentation skriftlig presentation projektplanering

Kursens uppläggning Föreläsning introduktion till projekt eget arbete med projekt skriftlig redovisning av projekt muntlig presentation av projekt

Uno Wennergren Beräkningsbiolog Ekologisk odling Hotade arter Smittspridning Djurskydd

Ämnen Följer kapitlen i boken Grundläggande om modeller Diskreta processer Deterministiska modeller Stokastiska modeller Kontinuerliga processer

Metoder/Verktyg Grafiska metoder - Cobweb Kalkylblad - Excel Programmering - Matlab Matematisk analys

Metoder/Verktyg Projektplanering PowerPoint Excel Datorpresentation-OH projektor

Projekt Gör projektplan, tidsdisposition Problemformulering Bestäm typ av matematisk modell vilka metoder/verktyg som behövs hur modellen skall prövas och presenteras Slutlig projektplan Konstruera modell Pröva modellen Skriftlig redovisning Förbered muntlig redovisning Analysera projektet och dess planering

Grundläggande om modeller En modell skall beskriva verkligheten En matematisk modell använder ekvationer för att beskriva verkligheten Två modell nivåer Dn/dt=rn(t) I Förenklad verklighet II Matematiska ekvationer Komplexa verkligheten

Diskreta Dynamiska system Diskreta processer händelser sker stegvis perenner reproduktion (frö) 1 ggr/år Kontinuerliga processer händelser sker hela tiden smågnagare reproduktion under hela året perenners överlevnad? insekters reproduktion? i tempererade klimat?

Deterministiska modeller Modellerna tar inte hänsyn till sannolikheter, parametrar är konstanta Alla processer är densamma och enbart en specifik kedja av händelser Resultatet är ‘förutsägbart’: ett värde Stokastiska modeller innefattar sannolikheter Resultatet är en mängd värden en enskild process resulterar i en av dessa värden

Rekursiva Talföljder Den ekvation som genom att utifrån ett antal föregående värden räkna ut ett nytt värde. Kan alltså vara utifrån hur många celler det fanns föregående infektion och hur många det fanns infektionen innan osv allt beroende på vad som skall beskrivas. Obs specifika steg

Rekursiva Talföljder Allmän form x(n)=f(x(n-1),x(n-2),….) ordningen på talföljden bestäms utifrån hur många steg som ingår i formeln x(n)=7x(n-5) är femte ordningens talföljd. Hur många initialvärden behövs? Antag enkel tillväxt x(n+1)=Rx(n)

Differensekvationer (talföljder) Första ordningens f(x(n-1)) =x(n)-x(n-1) jmf med derivata

Box diagram Tillväxt x(n)-x(n-1)=rx(n-1) x(n+1)=x(n)(1+r) rx Population x tillväxt bx Population x (1-s)x ‘dödslar’ födsel i immigration

Matematisk analys Enklaste linjära rekursiva talföljden x(n+1)=Rx(n) har lösningen x(n)=Rnx(0) växer exponentiellt för R>1 avtar exponentiellt för 0<R<1 oscillerar för R<-1 konstant eller oscillerar mellan två punkter om R0,1,-1 -1<R<0???

Kalkylblad Klick och dra relativa adresser absoluta adresser =C1*B4 4/10/2017 Kalkylblad Klick och dra relativa adresser =C1*B4 absoluta adresser =$C1*B5 =$C$1*B5

Matematisk analys Jämviktspunkter är den stabil, eller instabil jmf med vågdal kontra toppen på en ‘kulle’, vart rullar kulan Bestäm jämviktspunkter med att sätta alla x(n+1)=Rx(n) +a ger

Matematisk analys Jämviktspunkter 4/10/2017 Matematisk analys Jämviktspunkter x(n+1)=Rx(n) +a ger obs initialvärde påverkar ej jämviktspunkten jämviktspunkten är stabil om och endast om E(n+1)=x(n+1)-x’ taylor utv ger att e(n+1)f’(x’)e(n) vilket är en rekursiv följd som har exponentiell lösning ty f’(x’) är konstant och då gäller avtagande om beloppet mindre än 1 xn=f(xn-1)

Cobweb Diagram Grafisk metod för att bestäma jämviktspunkter y y=x Stabil jämvikt y=f(x) x y=f(x) är diskret linjär modell t ex x(n+1)=-0.5x(n)+4 blir y=-0.5x+4

Cobweb diagram Startvärde x* nästa steg är y=f(x) y y=x y=f(x) x* x

Cobweb diagram Nästa tidsteg är x=y y y=x y=f(x) x* x

Cobweb diagram Och då blir y=f(x) y y=x y=f(x) x* x

Cobweb diagram Och sedan fortsätter detta, dvs nästa tidsteg är x=y y y=x y=f(x) x* x

Cobweb diagram Och y blir då y=f(x) y y=x y=f(x) x* x Detta kan man fortsätta med. Om figuren stegar sig in mot punkten så är det en stabil jämvikt

Cobweb diagram Om figuren stegar sig bort från jämviktspunkten så är jämvikten instabil y y=f(x) y=x x* x

Linjär rekursiv talföljd med konstanta koefficienter 4/10/2017 Linjär rekursiv talföljd med konstanta koefficienter Bestäm lösning, jmf med x(n)=Rnx(0) En linjär kombination av x(i) termer, t ex m st termer: I detta fallet en homogen ekvation eftersom högerledet är 0. Jmf med enklaste linjära homogena ekvationen: ax=0 Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c) Syntax r = roots(c) Description r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is .

karakteristiska ekvationen 4/10/2017 karakteristiska ekvationen Antag lösningen: Efter förenklingar: Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c) Syntax r = roots(c) Description r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is .

karakteristiska ekvationen 4/10/2017 karakteristiska ekvationen Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c) för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 » r=roots([1 -2 -1]) r =2.4142 -0.4142 Syntax r = roots(c) Description r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is .

karakteristiska ekvationen 4/10/2017 karakteristiska ekvationen Rötterna till för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 » r=roots([1 -2 -1]) r =2.4142 -0.4142 allmän lösning x(n)=C12.4142n - C20.4142n partikulär lösning, vi vet att x(0)=0 och x(1)=1 ger att C1+C2=0 och 1= C12.4142 - C20.4142 C1=1/2, C2=-1/2 Syntax r = roots(c) Description r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is .

karakteristiska ekvationen 4/10/2017 karakteristiska ekvationen Rötterna till för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 x(n)=C12.4142n - C20.4142n C1=1/2, C2=-1/2 ger partikulär lösningen x(n)=1/2(2.4142n - 0.4142n) för stora n så dominerar första termen (har störst absolutvärde ) x(n)1/2(2.4142n) Syntax r = roots(c) Description r = roots(c) returns a column vector whose elements are the roots of the polynomial c. Row vector c contains the coefficients of a polynomial, ordered in descending powers. If c has n+1 components, the polynomial it represents is .

Begränsad populationstillväxt enklaste antagandet : (förenklad verklighet) när populationen är noll så sker ingen begränsning dvs max tillväxt R när populationen är vid sin jämviktspopulation så är begränsning sådan att tillväxten är noll Detta ger att kurvan för hur tillväxten beror av populationens storlek skall gå genom punkterna (0,R),(K,0)

Begränsad populationstillväxt kurvan för hur tillväxten beror av populationens storlek skall gå genom punkterna (0,R),(K,0) Tillväxt r(x) R population x K Linjära modellen:

R Tillväxt r(x) population x K Linjära modellen: Eftersom x(n)-x(n-1)=r(x(n-1))x(n-1) eller bättre x(n+1)=x(n)(r(x(n))+1) med r(x) enligt ovan får vi att

I högerledet finns en kvadratisk term, x(n), alltså en icke linjär ekvation. För att bestämma jämviktspunkterna studerar vi Denna andragradsekvation har två jämviktspunkter, Bestäm karaktären hos jämviktspunkterna: Alltså pröva

Om obegränsad tillväxt, R, är större än eller lika med 2 så har populationen ingen stabil jämvikt och för höga R så uppträder kaos.

Reaktionskinetik k A + B2  p1 Differens ekvation: p1(t+1)-p1(t)=k*A(t)*B(t) A(t+1)-A(t)=-k*A(t)*B(t) B(t+1)-B(t)=-k*A(t)*B(t) q1=A(t)+p1(t) är konstant q2=B(t)+p1(t) är konstant p1(t+1)-p1(t)= k*(q1-p1(t))*(q2-p1(t)) Koncentrationer

Värd-parasit modell Antaganden (förenklad verklighet): N-värdpopulationen tillväxer enligt begränsad tillväxt, logistisk ekvation Lägg till en term som representerar hur överlvnaden minskar med ökat antal parasiter

Värd-parasit modell Värdpopulationens ekvation Parasit populationen beror av sannolikheten att parasit och värd möts, t ex proportionell till mot produkten NP

Värd-parasit modell System av ickelinjära differens ekvationer Studera jämvikter Lösningar (N,P): (K,0) (1/Q,R/C(1-1/(QK))) (0,0)

Kunskapstaxonomi fritt efter Benjamin Bloom  Fakta. Ange, räkna upp fakta, definiera begrepp.  Enkel begränsad kunskap. Beskrivning. Innebörden av begrepp och fakta. Tolka, motivera, relatera till varandra.  Tillämpning. Vad är innehållet användbart till. Observera, beräkna, kalkylera, formulera, konstruera, lösa givna problem.  Analys. Bryta ner innehållet, dela upp, gruppera om, jämföra, generalisera se nya problem.  Syntes. Dra slutsatser, formulera regler, se samband också med annan kunskap, resonera, diskutera, skapa nytt.  Värdering. Avge omdömen, kritisera, värdera olika kunskap, hypoteser och teorier mot varandra.  Komplex, vidsträckt kunskap.