Lagen om rörelsemängdens bevarande Föreläsning 7 Rörelsemängd Kapitel 9.1-5 Lagen om rörelsemängdens bevarande kollisioner Impuls

Rörelsemängd Vi börjar med en lite repition om hur vi kom fram till arbete.energi teoremet som i sin tur ledde oss till den viktigaste lagen inom fysiken, nämligen Energiprincipen. Arbete-energi teoremet fick vi genom att utnyttja Newtons andra lag och rörelse ekvationen v2 = v02 + 2aDx i definitionen av arbetet: W = FDx = maDx = ½m(v2 –v02) = DK W = DK (Arbete-Energi teoremet) Under påverkan av enbart konservativa krafter kunnde vi beskriva arbetet i arbete-energi teoremet i term av ändringen potentiell energi DU som ledde till Energiprincipen. DK + DU = 0 (Energiprincipen) Idag ska vi definiera ett nytt begrepp genom att skriva Newtons andra lag på ett annat sätt: SF = ma = mdv/dt = d(mv)/dt. Detta omskrivning säger att den resulterande kraftvektorn som verkar på en partikel är lika med takten av ändringen i produkten mv. Denna produkt kallas för rörelsemängd och betecknas p. Rörelsemängd är en vektor med magnituden mv och har samma riktning som hastigheten. SI-enheten för rörelsemängd är kgm/s.

SF = dp/dt Newtons andra lag kan därför skrivas som: Den resulterande kraften som verkar på en partikel är lika som derivatan av dess rörelsemängd med avseende på tiden

Lagen om rörelsemängdens bevarande Begreppet rörlesemängd är särskild viktigt i ett system med två eller flera partiklar som växelverkar med varandra. Låt oss börja i ett isolerat system med två partiklar A och B. Om partikel A påverkar partikel B med kraften FAB så vet vi från newtons tredje lag att partikel B kommer att påverka A med samma kraft FBA fast med motsatt riktning, dvs: FAB = -FBA Utnyttjar vi den nya formen av Newtons andra lag för att utrycka partiklarnas krafter i term av rörelsemängd, få vi följande samband: FAB = dpB/dt (i) samt FBA = dpA/dt (ii) Adderar vi (i) och (ii) fås: FAB + FBA = dpB/dt + dpA/dt = 0 (iii) Summan i (iii) kan också skrivas som: d/dt(pB + pA) = 0, dvs summan av alla partiklars rörelsemängd är konstant. Summan av alla partiklars rörelsemängd kallas för totala rörelsemängden och betecknas P (obs: versal). Nu har vi kommit frram till den andra viktiga principen inom mekaniken, nämligen: Om vektorsumman av alla krafter i ett system är lika med noll då är systemets totala rörelsemängd konstant

Lagen om rörelsemängdens bevarande gäller endast i ett isolerat system Lagen om rörelsemängdens bevarande gäller endast i ett isolerat system. Dvs ett system utan några externa krafter eller att summan av externa krafter är lika med noll. Om vi nu tar det isolerade systemet med partiklarna A och B och låter det påverkas av en extern kraf Fext så blir summan av alla krafterna: FAB + FBA + FextA + FextB = dP/dt (i) I och med summan FAB + FBA = 0, blir (i): FextA + FextB = dP/dt Med andra ord om summan av externa krafterna är skild från noll så är den totala rörelsemängden ej konstant och lagen om rörelsemängdens bevarande gäller inte. Som vanligt, livet är inte så enkelt  ett perfekt isolerat system finns inte, men låt oss inte dras ner i avgrunden. I första approximationen kan man utgå från att lagen om rörelsemängdens bevarande gäller i de flesta fall där de externa krafternas påverkan är försumbar. Exempelvis de interna krafternas magnitud som är inblandade i en explosion eller kollision är så mycket större än gravitationskraften att man kan försumma den senare. Dessutom, växelverkan mellan partiklarna sker vanligtvis under en mycket kort tidsskala så den externa kraften hinner inte ändra den totala rörelsemängden avsevärt.

Exempel Beakta en 20 g kula, A, och en 60 kg löpare, B. (a) Om båda har samma rörelsemängd, hur förhåller sig deras kinetiska energi KA/KB? (b) om båda har samma kinetiska energi hur förhåller sig deras rörelsemängd, pA/pB.

Exempel Ett 10 kg objekt med hastigheten 6i m/s exploderar i två lika fragment. En av fragmenten får en hastighet på 2i-j m/s. Vad blir hastigheten för den andra fragmenten?

Exempel En man med massan 60 kg, kan kasta en boll med massan 0.2 kg till en hastighet på 30 m/s relativt sig själv om han står stilla på marken. Hur stor är bollens hastighet relativt marken om han skulle stå på ett friktionsfritt underlag?

Exempel En 10-kg bomb som rör sig horisontalt med en hastighet på 20 m/s 30˚ nordväst, exploderar i två fragment. En av fragmenten med massan 4 kg rör sig med en hastighet på 15 m/s 25˚ nordöst. (a) bestäm hastigheten på det andra fragmentet (b) bestäm ändringen i kinetiska energin.

Gör det själv Ni har nyligen tittat på en action film. En av bovarna tar sitt gevär och skjuter iväg en kula, samtidigt slängs han bakåt några meter. Ni som har lärt er lösa rörelseekvationen lyckades uppskatta båda hans rekylhastighet till 3 m/s, och kulans hastighet till 300 m/s. Låt oss anta att ni även visste att hans vikt var 100 kg. Bestäm massan på kulan.

Kollisioner Den fysikaliska definitionen av kollision är växelverkan mellan två kroppar under ett tidsintervall som leder till en ändring av kropparnas riktning och/eller fart, dvs. hastighet. Man skiljer på två typer av kollisioner, elastiska och inelastiska. Gemensamt för bägge dessa kollisioner är att den totala rörelsemängden av de involverade partiklarna är lika stort före och efter kollisionen. Exempelvis om två bollar A och B med massorna mA och mB och hastigheterna uA och uB kolliderar med varandra, får de två nya hastigheter vA och vB. Den totala rörelsemängden före kollisionen (mAuA + mBuB) är lika stort som den totala rörelsemängden efter kollisionen (mAvA + mBvB). I fallet elastiska kollisioner är den totala kinetiska energin före kollisionen lika stort som efter kollisionen, medan den ändrar sig i fallet, inelastisk kollision. mAuA + mBuB = mAvA + mBvB (i) (elastisk och inelastisk) ½mAuA2 + ½ mBuB2 = ½ mAvA2 + ½ mBvB2 (ii) (elastisk) Med hjälp av relationerna (i) och (ii) kan vi få en ny slutsats i fallet elastisk kollision: (uB – uA) = -(vB – vA) I endimensionell elastisk kollision är partiklarnas relativa hastighet före och efter kollisionen, lika till magnitud men med motsatt riktning.

Exempel En boll med massan m1 = 2 kg rör sig österut med en hastighet på 4 m/s. Bollen kolliderar med en annan boll med massan m2 = 5 kg och som rörde sig västerut med en hastighet på 3 m/s. Efter kollisionen sitter bollarna ihop och rör sig med hastigheten V. (a) Bestäm V till magnitud och riktning (b) bestäm ändringen i den kinetiska energin. (OBS: den typen av kollision kallas för helt inelastisk)

Exempel En kula med massan m = 10 g och en hastighet på u = 200 m/s kolliderar med en kloss och fastnar i den. Klossen som vilar på ett friktionsfritt underlag har massan M = 2 kg rör sig mot ett annat underlag med friktionskoefficienten m = 0.3. (a) Bestäm klossens förflyttningssträcka. (b) bestäm den termiska energin som har genererats i kollisionen.

Exempel En kloss m1 som vilar på ett lutande plan (friktionsfritt) släpps fri. När klossen når den horisontella delen av banan kolliderar den elastiskt med en annan kloss m2. bestäm den maximala höjden som m2 når efter kollisionen om m1 startar med höjden h0 (se figur). m1 = 2 kg, m2 = 5 kg och h0 =0.9 m. m1 h0 m2

Exempel En pendel med tyngden m släps från höjden H. När tyngden m befinner sig i sitt lägsta läge, kolliderar den med en annan pendel med tyngden 2m. Bestäm de maximala höjderna som dessa två tyngder når när kollisionen är (a) helt inelastisk (b) elastisk

Gör det själv En kula med massan 10 g skjuts mot en ballistisk pendel med massan 3 kg. Kulan har en hastighet på 400 m/s. I det här fallet fastna inte kulan i lådan utan fortsätter med en hastighet på 100 m/s. Bestäm (a) högsta höjd läget pendel når (b) den arbetet som kulan har utfört genom att penetrera lådan. Räkna med g = 10 m/s2 En ballistisk pendel är en enkel anordning för att bestämma en projektils hastighet genom att mäta den maximala vinkel den sandfyllda lådan, i vilken kulan fastnar, svänger upp.

Impuls Vi börjar med att återigen titta på Newton andra lag: F = dp/dt Anta att en kropp som utsätts för en kraft under ett tidsintervall. Enligt Newtons andra lag kommer den kroppen att få en ändring i sin rörelsemängd, dvs:Fdt = dp Denna ändring kallas för impuls och har beteckningen I. Impuls är en vektor med samma riktning som den verkande kraften. Den har enheten Ns eller kgm/s (samma som för rörelsemängd). Impuls är en oerhörd bra verktyg för att bestämma storleken på den verkande kraften som leder till ändringen av rörelsemängden. Exempelvis för att kunna bestämma den kraft som uppstår då en bil kolliderar med en vägg. Den allmänna formeln för Impuls är: Av förståerliga skäl är det svårt att definiera kraften. Tex kraftens variation som uppstår under den tid ett tennisracket har kontakt med bollen. Därför är det mer lämpligt att bestämma medelkraften Fav ur relationen: I = Dp = FavDt

Exempel En 150 g baseboll har en hastigheten -5i + 10j m/s. Bollen träffas av ett slagträ och ändrar hastigheten till 7i + 18j m/s. Om kontraktstiden mellan bollen och slagträt varar i 3 ms, bestäm medelkraften som slagträt påverkar bollen med.

Exempel En 60 g tennisboll träffar marken med en hastighet på 25 m/s och en vinkel på 40˚. Bollen studsar iväg med en vinkel på 30˚ och en hastighet på 20 m/s. Se figur. (a) Bestäm impulsen på bollen. (b) Om kollisionen varade i 5 ms, hur stor är medelkraften som verkade på bollen? 40˚ 30˚

Gör det själv En hammare med massan m = 0.5 kg träffar en spik med en hastighet på v = 4 m/s. Om kontaktstiden är 2 ms, bestäm den medelkraften som verkar på spiken.