Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november B1118 Diskret matematik Nionde föreläsningen Grafer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Grafer 4 En graf är ett matematiskt begrepp som införs för att kunna räkna p ₢ olika slags relationer. 4 Euler var den förste som använde grafteoretiska resonemang när han löste problemet med Königsbergs broar.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Königsbergs broar 4 I Königsberg fanns sju broar som band samman de olika stadsdelarna. 4 Kan man g ₢ en promenad s ₢ att man g ₢ r över varje bro precis en g ₢ ng?

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Eulers graf 4 Euler införde en graf där ett hörn,, motsvarar en stadsdel och en kant,, motsvarar en bro.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Eulers lösning 4 Euler gjorde följande observation: – Varje g ₢ ng ett hörn passeras p ₢ en promenad används tv ₢ kanter - utom vid första och sista hörnet. – Om varje kant används precis en g ₢ ng f ₢ r det bara finnas tv ₢ hörn med udda antal kanter.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Multigrafer 4 Eulers graf kallas multigraf eftersom den har parallella kanter 4 En multigraf kan ocks ₢ ha öglor eller lopar

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Enkla grafer 4 En graf utan parallella kanter och öglor kallas en enkel graf. 4 En enkel graf best ₢ r abstrakt av – En mängd av hörn V={x 1,x 2,...,x n,}. – En mängd av kanter E={e 1,e 2,...,e n } där en kant e i ={x j,x k } är en tv ₢ delmängd av V. 4 En abstrakt graf kan representeras geometriskt med punkter och linjer.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Valens 4 För ett hörn, x, i en graf kan vi räkna antalet kanter som utg ₢ r fr ₢ n hörnet.  Detta antal kallas hörnets valens och betecknas  (x). 4 Sats. Summan av valenserna är tv ₢ g ₢ nger antalet kanter.  (x)

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Vägar 4 En väg i en graf är en följd av hörn x 1,x 2,...,x n där det g ₢ r en kant mellan x i och x i+1 1 2,6,

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Stigar 4 En stig i en graf är en väg där inget hörn förekommer mer än en g ₢ ng

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Cykler 4 En cykel i en graf är en stig förutom att det första och det sista hörnet är samma

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Komponenter 4 En graf är sammanhängande om det finns en väg mellan varje par av hörn. 4 Vi f ₢ r en partition av en graf i samman-hängande komponenter.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Hamiltoncykler 4 En Hamiltonsk cykel är en cykel som passerar alla hörn

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Eulervägar 4 En Eulerväg är en väg som passerar alla kanter. 4 Sats. I en sammanhängande graf ´finns det en Eulerväg om och endast om högst tv ₢ hörn har udda valens. 3 1,8 2,6 4,7 5,9

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Isomorfi 4 Tv ₢ grafer är isomorfa om det g ₢ r att byta namn p ₢ hörnen s ₢ att kanter svarar mot kanter.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Träd 4 En graf är ett träd om det finns precis en stig mellan varje par av hörn. 4 Det betyder att grafen är samman- hängande och saknar cykler.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Planära grafer 4 En graf är planär om den kan ritas i planet utan att kanterna skär varann. PlanärEj planär

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Hörnfärgning 4 En hörnfärgning av en graf är ett sätt att färglägga hörnen s ₢ att närst ₢ ende hörn f ₢ r olika färg.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Varför hörnfärgning? 4 En viktig tillämpning av hörnfärgning är schemaläggning. – Hörnen svarar mot aktiviteter som skall schemaläggas. – Kanterna svarar mot schemakrockar som skall undvikas.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Fyrfärgssatsen 4 Problemet att färglägga kartor s ₢ att angränsande länder f ₢ r olika färg kan formuleras som – Hur m ₢ nga färger krävs för att hörnfärga en planär graf? 4 Sats. (Appel-Haken 1976) Varje planär graf kan hörnfärgas med fyra färger.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november 2001 Kromatiska tal  Det kromatiska talet för en graf G,  (G), är det minsta antal färger som krävs för att hörnfärga G. 4 Fyrfärgssatsen säger allts ₢ –  (G)  4 om G är en planär graf.  Om  (G)=1 finns inga kanter i G.  Om  (G)=2 är G bipartit.