MATRISER MATRISER

Kati Sandström2 Grundbegrepp En vektor är ett kompakt sätt att beteckna flera variabler En vektor är ett kompakt sätt att beteckna flera variabler En matris är ett kompakt sätt att beskriva flera ekvationer, i vårt fall ofta differential- ekvationer En matris är ett kompakt sätt att beskriva flera ekvationer, i vårt fall ofta differential- ekvationer

Kati Sandström3 Definition En matris är ett rektangulärt schema av reella tal som kallas matriselement En matris är ett rektangulärt schema av reella tal som kallas matriselement Matrisen har m rader och n kolonner och sägs därför vara en m x n-matris Matrisen har m rader och n kolonner och sägs därför vara en m x n-matris

Kati Sandström4 Speciella matriser Kvadratisk matris (m = n) Diagonalmatris Enhetsmatris eller identitetsmatris (I) Nollmatris (0) Kolonnmatris eller kolonnvektor (v) Radmatris eller radvektor (vT) Triangulär matris

Kati Sandström5 Flera begrepp Transponerad matris – raderna och kolonnerna byter plats Transponerad matris – raderna och kolonnerna byter plats Rang – det största tal som uppfyller villkoret att åtminstone en rxr matris, vars determinant ≠ 0, kan bildas genom att lämna bort rader och/eller kolonner ( ≤ min(m,n)) Rang – det största tal som uppfyller villkoret att åtminstone en rxr matris, vars determinant ≠ 0, kan bildas genom att lämna bort rader och/eller kolonner ( ≤ min(m,n)) Symmetrisk matris (A T =A) Symmetrisk matris (A T =A) Spåret – summan av diagonalelementen Spåret – summan av diagonalelementen Singulär matris (determinanten = 0) Singulär matris (determinanten = 0)

Kati Sandström6 Matrisalgebra Addition och subtraktion A + B = B + A (kommutationslagen) A + (B + C) = (A +B) +C (associationslagen) Multiplikation med en skalär h(A + B) = hA +hB

7 Räkneregler transponering 1. (A + B) T = A T + B T 2. (λA) T = λA T 3. (AB) T = B T A T 4. (A T ) T = A

Kati Sandström8 Multiplikation av två matriser AB Måste vara konforma, dvs antalet kolonner i A = antalet rader i B Måste vara konforma, dvs antalet kolonner i A = antalet rader i B AB allmänt ≠ BA AB allmänt ≠ BA AB = 0 behöver inte innebära att A eller B är en nollmatris AB = 0 behöver inte innebära att A eller B är en nollmatris Om AB = AC behöver inte B och C vara lika Om AB = AC behöver inte B och C vara lika (AB)C = A(BC) associationslagen (AB)C = A(BC) associationslagen A(B + C) = AB +AC A(B + C) = AB +AC

Kati Sandström9 Multiplikation IA = A och AI = A IA = A och AI = A Multiplicering av två vektorer (v T )v blir en SKALÄR Multiplicering av två vektorer (v T )v blir en SKALÄR Multiplicering av två vektorer v (v T ) blir en MATRIS Multiplicering av två vektorer v (v T ) blir en MATRIS

Kati Sandström10 Invertering Division är inte definierad för matriser, utan ersätts med matrisinvertering för kvadratiska matriser A-1 är inversen av A om AA-1 = A-1A = I En del kvadratiska matriser saknar invers Determinanten måste vara ≠ 0, dvs matrisen är icke-singulär

Kati Sandström11 Egenvärden Talet λ är ett egenvärde till den kvadratiska matrisen A om Ax = λx för någon vektor x ≠ 0 Talet λ är ett egenvärde till den kvadratiska matrisen A om Ax = λx för någon vektor x ≠ 0 Egenvärdena fås genom att lösa ekvationen det(A – λ I) = 0 Egenvärdena fås genom att lösa ekvationen det(A – λ I) = 0

THE END