Sällsamma attraktorer - Strange Attrators Hans Thunberg, KTH Matematik Matematiskt Forum 4 feb 2010

Lorenz-attraktorn Hénon-attraktorn Kvadratiska familjen 1 Eng Wikipedia Kvadratiska familjen 1 ρ=28, σ = 10, β = 8/3 Xn+1 = k xn (1-xn) Eng Wikipedia

Iterationer – Diskreta dynamiska system x0 x1= f (x0) f x2= f (x1) x1 x3 x0 x2= f (x1)=f(f(x0)) …… x1= f (x0) Vi skriver också f 2(x) = f(f(x)) och f n(x) = f(f n-1(x))

Attraktorer A  X, A kompakt, är en attraktor till f : X  X om f (A) = A  omgivning B till A sådan att f n(x)  A , n  ∞, för alla x i B Ingen äkta delmängd till A har dessa egenskaper. A är en sällsam attraktor om A dessutom är ”topologiskt/geometriskt komplicerad” stöder kaotisk dynamik, t ex |xn- yn| ~ en |x0 – y0| eller   >0 s a  x0 , y0  N s a |xN - yN| > 

Kvadratiska familjen f (x) = k x (1-x) f (x) = 1.5 x (1-x) x = 1/3 är en fixpunkt , f(1/3) = 1/3 och den är attraherande (stabil) xn → 1/3 när n → ∞ , för nästan alla startvärden x0

f (x) = 3.4 x (1-x) har en periodisk bana av längd 2 (2-cykel) p ≈ 0.45 och q ≈ 0.84 f(p) = q och f(q) = p dvs f(f(p))=p och f(f(q))=q som är attraktiv (stabil): Nästan alla startvärden x0 närmar sig detta periodiskt förlopp x0 → x1 → ……… → ≈ 0.45 → ≈ 0.84 → ≈ 0.45 → …

f (x) = k x (1-x) Periodfördubblingar till en Cantor-attraktor k = 3.50 , attraktiv 4 -cykel k = 3.55 , attraktiv 8 -cykel växand följd { ki }∞ i=0 ki < 3.6 s a f (x) = ki x (1-x) har attraktiv 2i -cykel ki → k∞ där f (x) = k∞ x (1-x) har en attraktor som är en Cantormängd Dynamiken ej kaotisk

f (x) = k x (1-x) har kaotiska intervallattraktorer Inga attraherande periodiska banor Typiska banor fyller ut hela intervallet (0,1) Små skillnader i startvärden växer exponentiellt med antal iterationer k = 4 För k = 4 kan detta visas med ett koordinatbyte som ger styckvis linjära funktion med lutning ± 2 Sats: (Benedicks, Carleson ) För ett positivt mått av parametervärden k har f (x) = k x (1-x) en kaotisk intervallattraktor.

Bifurkationsdiagram för f (x) = k x (1-x) Eng Wikipedia

Hénonavbildningen Ha,b : a = 1.4 , b = 0.3 Eng Wikipedia http://www-rohan.sdsu.edu/~rcarrete/teaching/M-538/lectures/codes/2D_map/pics/henon.jpg

b = 0.3 Eng Wikipedia

Exempel på Hénondynamik http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Henon/ a = 1.25, 1.26, 1.27 … 1.3, 1.307, 1.4 b = 0.3

Hénonavbildningen Ha,b : SATS: (Benedicks, Carleson) För alla tilltäckligt små värden på b > 0 finns det en mängd E = E(b) av positivt Lebesgue-mått sådan att för alla a i E gäller att Ha,b har en sällsam attraktor A.

Autonoma system av 1:a ordningens ODE (flöden) – Dynamiska system i kontinuerlig tid Lösningskurvor : genom initialvärde

Attraktorer En kompakt A delmängd är en attraktor till (t,w)  (t, A) = A för alla t >0 .  omgivning B till A sådan att (t,w)  A , t  ∞, för alla w i B Ingen äkta delmängd till A har dessa egenskaper. A är en sällsam attraktor om A dessutom är ”topologiskt/geometriskt komplicerad” stöder kaotisk dynamik,

Attraktorer till flöden Stationära punkter Gränscykler

Lorenz-systemet Edward Lorenz (1963): Förenklad modell för atmosfärsdynamik Numeriska studier pekar på ickeperidoiska attraktor. Lösningar tycks ha känsligt bereonde på intialvärde. ρ=28, σ = 10, β = 8/3

Lorenzattraktorn http://complex.upf.es/~josep/Chaos.html

Animering av Lorenzattraktorn http://www.sat.t.u-tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/Attract.html

Lorenzattraktorn är sällsam SATS: (Tucker 1998) För en öppen mängd av parametervärden, innehållande de klassiska värdena ρ=28, σ = 10, β = 8/3, har Lorenz systemet en sällsam attraktor A, dvs (i) A är invariant (ii) A attraherar alla lösningar med intialvärden i en öppen omgivning till A (iii) A har fraktal struktur (iv) Dynamiken är kaotisk (v) Lösningskurvors långtidsfördelning beskrivs av ett gemensamt sannolikhetesmått