Komplexa tal inför Laborationerna William Sandqvist william@kth.se

Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x2 –1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: William Sandqvist william@kth.se

Hur många lösningar har den här? Två lösningar! Om det vore så att talet ”roten ur minus ett” funnes! y = x2 +1 = 0 William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Imaginära tal I matematiken vill man att det ska finnas lika många lösningar till en ekvation som ekvationens gradtal. Det finns det om man inför ”roten ur minus ett” som ett tal. Detta tal brukar kallas för i (imaginära enheten) alternativt j eftersom den främsta användningen av imaginära tal finns inom elläran där bokstaven ”i” redan är upptaget för att beteckna strömmen. Förutom vår vanliga dimension med 1 ( ) som enhet inför man en extra dimension med j ( ) som enhet. William Sandqvist william@kth.se

Detta är en programeringskurs – inte en matematik kurs Vi använder komplexa tal ( = talpar ) i kursen för att tvinga oss att hantera dubbla returvärden från våra C-funktioner. Från och med ISO C99 har C fått stöd för komplexa tal. I denna kurs definierar vi dock själva alla operationer med komplexa tal, så därför ska headerfilen complex.h aldrig tas med. Har Du inte hört talas om komplexa tal tidigare, så räcker det att bara se dem som talpar, och att acceptera de speciella formlerna som ges för multiplikation och division med dessa talpar. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Tal-linjen Vill Du passa på att ”repetera” Dina kunskaper om komplexa tal så varsågod och fortsätt att läsa här … Ett vanligt, reellt tal a brukar man åskådliggöra som en punkt på den s.k. tallinjen. Talets storlek representeras av avståndet från punkten ifråga till tallinjens nollpunkt. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Komplexa talplanet Ett komplext tal z består av två komponenter. Det kan skrivas a + jb. Här är a och b reella tal. j är ” ” och kallas den imaginära enheten. a är det komplexa talets realdel, Re(z). b är dess imaginärdel, Im(z). Varje komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem, det komplexa talplanet. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Belopp och Argument Ett komplext tals ”koordinater” kan alternativt uttryckas polärt, som talets belopp |z|, avståndet från origo, och talets argument , vinkeln mot den reella axeln. Beloppet beräknar man med hjälp av Pythagoras sats. För att beräkna argumentet behöver man använda trigonometriska funktioner. William Sandqvist william@kth.se

C:s matematikbibliotek Beräkningar av belopp och argument kommer att ge oss nyttig anledning till att använda math.h – C:s matematikbibliotek! William Sandqvist william@kth.se

Skriv funktionerna Cabs() och Carg() Antingen skriver Du funktionerna … #include <math.h> double Cabs( ?,? ); double Carg( ?,? ); eller så … William Sandqvist william@kth.se

De fyra räknesätten räcker … De fyra vanliga räknesätten ”räcker” dock till alla operationer som vi kommer att göra med de komplexa talen i denna kurs, så den som känner sig obekväm med matematikfunktionerna får härmed tillåtelse att undvika dem! William Sandqvist william@kth.se

Addition av komplexa tal Figuren visar vad additionen innebär i det komplexa talplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Subtraktion I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2. William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Multiplikation Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel. Multiplikationsregeln använder bara ”+” ”-” och ”” William Sandqvist william@kth.se

Multiplikation på polär form Multiplicera beloppen och addera vinklarna! Detta innebär att William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Division Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens ”konjugatkvantitet” a2 - jb2. Då får man Divisionsregeln använder bara ”+” ”-” ”” och ”/” William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Division på polär form Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här: Dividera beloppen och subtrahera vinklarna! William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Sammanfattning William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Något om arcustangens Tips! Funktionen atan2( y, x); kan utifrån x och y:s tecken veta vilken kvadrant som avses! William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Övningsuppgifter Fråga Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ? William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Övningsuppgifter Fråga Hur lång är visaren z = 3 + j4 ? William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Övningsuppgifter Fråga z1 = j och z2 = -1 – j Bestäm |z| och arg(z) för z = z1z2 ? Algebraiskt: William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Övningsuppgifter Fråga z1 = j och z2 = -1 – j Bestäm |z| och arg(z) för z = z1z2 ? Polärt: Multiplikation med j innebär tydligen vridning med 90 ! William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Övningsuppgifter Fråga z1 = 2 + 3j och z2 = 1 + j Bestäm z = z1/z2 ? Algebraiskt: William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Lab 1 William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Kanske så här …  Deklaration: void MataIn( double * , double * );  Anrop: MataIn( &a ,&b );  Definition: void MataIn( double * x , double * y ) { scanf(”%lf%lf”, x , y ); } William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Kanske så här … William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Web-uppgift … I web-uppgiften hittar Du egna komplexa tal att prova med! William Sandqvist william@kth.se

Komplex kalkylator på webben complex_calc.htm William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Används komplexa tal? Komplexa tal kan bland annat användas till Cad och bildbehandling och spelprogram. En bild ritad av punkter i det komplexa talplanet ser ju likadan ut som en som är ritad i vårt vanliga två-dimensionella koordinatsystem. Matematiken blir dock enklare. Inga komplicerade matematikfunktioner behövs. För att tex. ”vrida” och ”skala om” bilden, multiplicerar man bara alla punkterna ”komplext” med ett lämpligt tal! William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se Mandelbrotmängden Se här en märklig bild komponerad med komplexa tal … Mandelbrot_color_zoom.gif William Sandqvist william@kth.se

William Sandqvist william@kth.se