Lektion 5 Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Innehållsförteckning över dagens ämnen. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Pullfördelningen i Mätningen av tyngdaccelerationen: Inför chi-variabel (pull): Plotta alla mätta g-värden med sina fel och pullfördelningen: Låt oss utesluta alla mätningar med || > 5 i Data från fysiklinjens mätningar av tyngdaccelerationen år 2001. Vilka data är bra vilka är dåliga? -variabeln (chi, även kallad pull) är ett verktyg för bedömning av data som kan innehålla okända systematiska fel. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

2001 års data: |pull| < 5 ! Ett nytt medelvärde beräknas: g = 9,755  0,026 m/s2. Relativa felet = 0,27% Avvikelse från nominellt värde = -0,043 eller -1,7 I den föregående bilden är motsvarande siffror 0,08% och -15, ett opålitligt resultat eftersom data innehåller inkoncistenta mätningar. Efter att ha kastat bort en del mätningar med höga pull får vi kvar mätningar som ansluter till ett medelvärde. Avrundat blir slutresultatet 9,76  0,03 m/s2. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Analys av en mätövning 6,8,9,10,35,40,43,44,45,48 ser alla skumma ut! Fallstudie: Pullfördelningen kan med fördel användas vid enklare felsökningar i data. 43 studenter mätte 48 resistorer med hjälp av volt-ampere metoden. Resistansen beräknades genom R=U/I och felet i R genom felpropa- gering. Varje student mätte flera resistorer och varje resistor mättes av flera studenter (se en diskussion i särtrycket av Sten Hellmans före- läsning). pull Här har vi ett annat exempel på hur pullvariabeln kan användas för att hitta fel i data. Varje punkt i diagrammet visar pull grundat på medelvärdet och standardavvikelsen av alla studenters mätningar på en viss resistor (se Stens text). Resistor 1 verkar normal men vi tittar noggrannare på resistor 2 i nästa bild. 6,8,9,10,35,40,43,44,45,48 ser alla skumma ut! 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Analys av pullfördelningen (resistor nummer 2) Vi plottar här resistor Nr 2 som funktion av Student. Vi ser att Student 41 har tydligen en avvikande mätning och vi går till databasen för att se efter vad som hänt: Vi ser att studenten har angett A i.st.f mA som var antaget (för alla sina till- delade resistorer). Felaktig datapunkt Resistor nr 2. Diagrammet visar pullvärdet per student och student 41 har gjort ett enkelt misstag som kan korrigeras och mätpunkten kan behållas. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Analys av pullfördelningen (efter korrektion) Alla resistorer som student 2 mätt påverkas efter denna korrektion (föregående sida) … Dessa ser nu relativt OK ut! … och pullfördelningen för resistor 2 ser nu helt OK ut och är nära normalfördelad med medelvärde och standardavvikelse nära 0 resp. 1. Ni kan läsa mer om pullfördelningen i Sten Hellmans lektionsanteckningar. Pullvärdena för de resistorer som student 41 varit inblandad i ser nu helt normala ut. I de två nedre diagrammen visas residualerna i en annan skala samt ett histogram över residualerna. Vi ser att dessa har ett medelvärde som är nära noll med standardavvikelsen nära 1. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 5.2 i läroboken figure(1); % Första figuren subplot(2,1,1) % Första plotten N=[9 6 3 1 1]; % data n=N/sum(N); % relativa värdet n=[n 0]; % lägg till ett värde bar(n) % enklast möjliga subplot(2,1,2) % andra plotten t=5:10:55; bar(t,n,1) % ny x-axel % skriver ut en jpeg fil print -djpeg 'Problem5_2a.jpg' Matlab kod för lösning av uppgiften. I första exemplet kallas bar-funktionen utan andra parametrar än datavektorn. I det andra exemplet jysterar vi x-axelns skala och ger staplarna full bredd. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 5.2 i läroboken Vi behöver formatera histogrammet lite efter våra önskemål (oftast den mest arbetskrävande delen av en programmeringsuppgift). figure(2); % Andra figuren bar(t,n,1); % plotta data title('\fontsize{16}\bf\fontname{Times New Roman}Problem 5.2') xlim([0 60]); ylim([0 0.6]); % sätt gränser på axlarna xlabel('\fontsize{14}\fontname{Times New Roman}Tid (min)'); ylabel('\fontsize{14}\fontname{Times New Roman} Rel. sönderfallshastighet per 10 min intervall'); set(gca, 'xtick',[0 10 20 30 40 50]); % formatera x-axelns skala line([0 60],[0 0], 'LineWidth',3,'color’,'black') % extra tjocka axlar i y-led line([0 0],[0 0.6], 'LineWidth',3,'color', 'black') % och i x-led map(1,:)=[0.7 0.7 0.7]; % sätt färgskalan till ljusgrått colormap(map); % fyll staplarna med färgskalan print -djpeg 'Problem5_2b.jpg' % skriver ut en jpeg fil Här visas ett exempel på formatering av text på axlarna. Observera även en variant på x-axelns skalindelning. Vi spar trycksvärta genom att göra staplarna grå i stället för svarta. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 5.2 i läroboken Programmeringsexemplet på föregående sida ger detta resultat. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 5.4 i läroboken 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p subplot(3,1,1) N=[2 0 3 5 4 1 3 1 0 1]; t=7.1:0.1:8.0; bar(t,N,1); xlim([7.05 8.05]); ylim([0 7]); title('\fontsize{16}\bf\fontname{Times New Roman}Problem 5.4') text(7.6,4.5,'\Delta t = 0.1 s'); ylabel('\fontsize{12}\fontname{Times New Roman}Mätningar'); subplot(3,1,2) t=7.15:0.2:7.95; for i=1:5 N2(i)=N(2*i-1)+N(2*i); end bar(t,N2,1) xlim([7.05 8.05]); ylim([0 11]); text(7.6,7,'\Delta t = 0.2 s'); subplot(3,1,3) t=[7.3 7.8 8.3]; N3=[sum(N(1:5)) sum(N(6:10)) 0]; bar(t,N3,1) xlim([7.05 8.05]); ylim([0 26]); set(gca,'xtick',[7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0]); text(7.6,18,'\Delta t = 0.5 s'); xlabel('\fontsize{12}\fontname{Times New Roman}Tid (s)'); print -djpeg 'Problem5_4.jpg'; Samma data presenterat som stapeldiagram men med tre olika bin-vidder. I det sista exemplet med bin=5 har mycket av informationen gått förlorad jämfört med det första exemplet. Notera den Latex-liknande syntaxen för textformatering. Det är inte helt lätt att få skala och ticks att stämma överens som också framgår av koden. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 7.5 i läroboken Student A: RA = 72 ± 8 Ohm Student B: RB = 78 ± 5 Ohm % MatLab snutt: % Viktat medelvärde: r=[72 78]; dr=[8 5]; w=1./dr.^2; wr=w.*r; R=sum(wr)/sum(w) dR=1/sqrt(sum(w)) Uppgift 7.5b A hade mätt 10 gånger, dvs 8 = x/sqrt(10) Antag att felet skall minskas från 8 till 5, dvs 5 = x/sqrt(N). Vad bör då N vara? N = 82 / 52 * 10 = 25,6 Svar: A bör göra 26 mätningar. Anm. Obs att x är standardavvikelsen som (teoretiskt) har samma värde oberoende av antalet mätningar. Ett enkelt exempel på beräkning av ett viktat medelvärde. Det är mycket vanligt att man i förväg måste beräkna hur många mätningar som krävs för en viss precision. Detta skall ni kunna! Skriv en generell Matlab funktion som läser in en godtyckligt lång datavektor med fel och som beräknar det viktade medelvärdet och dess fel. Vikt. medelv. R = 76,3 ±4,2 Ohm 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 8.2 i läroboken Här skall vi anpassa en rät linje till fyra givna punkter med hjälp av MatLab. Enkel Matlab kod för att lösa uppgiften. Det är god programmeringsstandard att låta N beror på längden av input vektorn i stället för att ersätta N med 4 överallt i koden. På så sätt blir koden mer generell och kan återanvändas för olika långa input vektorer. % Fit a line to the 4 points (unweighted) x=[-3 -1 1 3]; y=[3 4 8 9]; N=length(x); X=sum(x); Y=sum(y); XY=sum(x.*y); XX=sum(x.*x); D=N*XX-X^2; A=(XX*Y-X*XY)/D; B=(N*XY-X*Y)/D; 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Problem 8.2 i läroboken Linjär, oviktad anpassning av rät linje till fyra punkter kan enkelt utföras för hand eller i EXCEL. Felet i y = 1 (konstant). Här har vi använt EXCEL och beräknat parametrarna A och B på samma sätt som i föregående uppgiften. Med hjälp av formlerna på sidan 198 i läroboken (kapitel 8) beräknar vi här även felen i A och B samt den bästa uppskattningen av osäkerheten i de enskilda y-värdena (sy enligt formel 8.15 i läroboken). 0,5 0,223607 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av skalfaktorn i Demolabben. Vi mäter in nio 100 ml markeringar i mm från 100 ml till 1000 ml. Diagrammet till vänster antyder ett linjärt samband – men residualplotten visar att punkterna inte ligger på en rät linje. Metod 1: Standardavvikelsen av de 5 differenserna (yi+5 – yi)/5 beräknas och medelvärdet blir k = 0,358  0,002 mm/ml. Metod 2: Linjär anpassning med viktad minsta kvadratmetoden ger oss sambandet: y = a + k • V med a = 3,73  0,68 mm och k = 0,3578 0,0011 mm/ml. I metod 1 beräknas felet utifrån standardavvikelsen dividerat med roten ur 5. I metod 2 har ett uppskattat fel på 1 mm använts som osäkerhet för mäthöjden. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Felfortplantning (repetition) Fult! Kom ihåg att om Y = xk · yl · zm · … så kan felet i Y kan skrivas dY = Y·|k·dx/x|2 + |l·dy/y|2 + |m·dz/z|2 + … (Obs att k, l, m kan vara neg. eller pos. reellt tal!) Vackert! En påminnelse om att felfortplantningsformeln kan förenklas avsevärt i de flesta fall och resulterar i en relation mellan storheternas relativa fel. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Beräkning av arbetet Röda linjer är resultatet från den viktade mkm. Felen i F inkluderar ekvivalenta fel från felen i höjden som i sin tur kommer från felet i skalfaktorn. Felet i F0 = F(x0) kommer från formel 8.15 i läroboken. Arbetet som uträttas = arean under den röda kurvan = arean under den gröna rektangeln = F0 · h, där h = (hb – h1). F0 = 0,9899  0,0089 N h = 43,4  0,4 mm ger oss arbetet: W = 43.4  0.6 mJ 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Programmeringsuppgift Skriv en MatLab funktion som beräknar parametrarna i den viktade minstakvadratmetoden (y = A + k·x): Funktionen kallas med: [A dA k dk]=linfitw(x,y,dy) I linfitw.m filen: function [A dA k dk]=linfitw(x,y,dy) … kod En programmeringsuppgift. Denna funktion skall ni senare använda i laboration 2. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Systematiska fel - instrument Ett exempel från g-labben: Längdskalan är fel: om linjaler och dylikt som används för att mäta fallhöjden är felaktiga. Antag 10 % för korta  alla mätningar av g som baseras på denna längdskala blir 11% för stora. Tidsskalan är fel: om klockan som mäter tiden går 10 procent för fort så kommer alla mätningar av g att bli 20 procent för stora. Om s är 0,9 m istf 1m blir g = gmätt/0,9 = 1,1 g. Om t är 1,1 sek istf 1 sek blir g = gmätt*1,12 = 1,2gmätt. Kalibrera instrumentet mot ett med bättre noggrannhet Gör en mätning och jämför med känt värde Läs manualen för instrumentet 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Systematiska fel (tidsfördröjning) Fallförsöket illustrerar tydligt fel som uppstår pga metoden. I detta fall är vi medvetna om felet och kan korrigera genom att använda två klockor. (Mätt falltid) Tu = (falltid) T - Ru + ljudets gångtid + Ru Reakt Ljudet Reakt Uppe Nere Falltid (T) (Mätt falltid) Tn = (falltid) T - ljudets gångtid - Rn + Rn Notera att i detta försök skulle vi i princip även kunna mäta ljudhastigheten. Ljudet Reakt Reakt Falltid (T) 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Systematiskt + statistiskt fel 100 exp. 9.83±0.6 8 st i svansarna Den kvadratiska additionsregeln motiveras av att om de syste- matiska felen i många experiment fördelar sig 50-50 runt medelvärdet så ”förlorar” den gröna kurvan i medeltal lika mycket som den röda eller den blå. 0.6 Den blå (röda) sannolikhetsfördelningen anger fördelningen av 50 försök då vi antar att det systematiska felet är negativt (positivt). Avståndet mellan de två fördelningarnas maxima (respektive medelvärden) är 2*det systematiska felet (=0,78). Den grön sannolikhetsfördelningen är konstruerad så att dessa svansar överlappar med den röda och den blå. Detta motsvarar en standardavvikelse för den gröna kurvan på 0,6 ett resultat som överensstämmer med kvadratrotsregeln ovan. Notera att den procentuella andelen i intervallet 1,4*0,6 är 84%, dvs vi har samma 16 experimenten som motsvarar den blå (8) och den röda (8) andelen. Faktorn 1,4 = (0,46 + 0,39)/0,6. 50 exp. 8 st < 9 50 exp. 8 st > 10.7 0.46 2 x 0.39 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Enheter och enhetssystem Storhet = Mätetal x enhet Längd (L) = 100 m Ström (I) = 0,529 A Hastighet (v) = 90 km/tim Enhetssystem (SI) Definitionen bör baseras på någon i naturen förekommande företeelse Internationellt användbara Relaterat till decimalsystemet Lite repetition igen. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

SI-systemets grundenheter Längd: En meter (m) är den sträcka, som ljuset tillryggalägger i absolut vakuum under 1/299 792 458 sekund. Massa: Ett kilogram (kg) är lika med massan av den internationella kilogramprototypen. Tid: En sekund (s) är varaktigheten av 9 192 631 770 perioder av den strålning, som motsvarar övergången mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium 133. Elektrisk ström: En ampere (A) är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två parallella, raka ledare med oändlig längd och försumbart, cirkulärt tvärsnitt och placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa ledare en kraft lika med 2×10-7 newton för varje meter ledare. Termodynamisk temperatur: En kelvin (K) är bråkdelen 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen vid vattnets trippelpunkt. Ljusstyrka: En candela (cd) är ljusstyrkan i en given riktning från källa, som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen 540×1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian. Materiemängd: En mol (mol) är materiemängden i ett system innehållande lika många systemelement som det finns atomer i 0,012 kilogram kol 12. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Supplement till SI-systemet Planvinkel radian rad rymdvinkel steradian sr Härledda enheter Volym V = L3 [m3] Hastighet v = s/t [m/s] Kraft F = ma [kg m/s2 = N] Arbete W=F L [Nm = J = Ws] Tryck p =F/A [N/m2 = Pa] Tilläggsenheter Tid min, timme, dag Längd ljusår, ångström (Å) Volym liter Energi Ws, kWh 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

där A är en dimensionslös konstant. Dimensionsanalys Låt oss ta ett exempel: Tiden för en pendelrörelse - vi antar att den beror på pendelns längd, massa och tyngdaccelerationen: där A är en dimensionslös konstant. Förberedande övning inför laboration 2. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Dimensionsanalys (forts) Ett kapillärrör sänks ner i en vätska. Experimentellt ser man att vätskan stiger i röret (om den väter glaset). Följande storheter bör vara relevanta för effekten: Ett annat exempel. Vi kan alltså i princip nöja oss med att experimentellt undersöka hur stighöjden h beror av rörets radie r. 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Om grafer Att komma ihåg! 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p

Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen: y = f(x) = a x, där a och  är konstanter som skall bestämmas. Funktionen är en icke-linjär funktion i x och vi kan inte direkt använda viktad linjär anpassning. Låt oss istället se på funktionen z = log y = log a +   log x. Denna ekvation är linjär i den nya variabeln u = log x. En viktad linjär anpassning till denna funktion ger oss parametrarna A = log a med felet dA, samt  med felet d. Hur beräknar du felet i a ? Besvara frågan och hur gör du om det dessutom är fel i x ? 2005-10-04 Fysikexperiment, 5p