Matematik Kurs C Grafer och derivator

Derivatan f ´(x) till funktionen f (x) är given av grafen nedan. Din uppgift är att skissa funktionen x f ´(x) Observera att derivatan till en funktion är en ny funktion.

Vilka förkunskaper har du? * När är en funktion positiv respektive negativ? Den är positiv då y > 0 dvs. ligger ovanför x-axeln * Vad innebär det att derivatan till en funktion är positiv? Eftersom derivatan i en punkt = tangentens lutning betyder det att tangentens lutning är positiv och funktionen växer * Vilka är funktionens intressanta punkter? De punkter där tangentens lutning är noll dvs. max min o terrasspunkter. f ´(x) = 0

Dessa punkter avsätter du på en tallinje. * För vilka x är är derivatan noll dvs. vilka är derivatans nollställen? Dessa punkter avsätter du på en tallinje. * Vilket värde har derivatafunktionen då x < -3 Derivatans värde är negativ. Avsätt värdet på tallinjen. * Vad har derivatafunktionen för värde mellan sina nollställen? x f ´(x) Detta positiva värde avsätter du på tallinjen. * Då x > 3 är derivatan återigen negativ x f ´(x) - 3 3 - + -

- + Nu har du nedanstående bild att arbeta med. Och utifrån den kan du beskriva grafen till funktionen x f ´(x) - 3 3 - + Funtionen f (x) avtar för att därefter växa och sedan avta igen Min Max f (x) Observera att du med denna metod inte kan säga något om funktionens läge i y-led.

Funktionens läge i y-led eller skärning med y-axeln beror på konstanten i funktionen Graferna som visas är: f (x) = -x3/3 + 9x + 5 g (x) = -x3/3 + 9x - 5 Deriverar du dessa båda funktioner får du att f ´(x) = g´(x) eftersom derivatan av en konstant är noll. f ´(x) = - x2 + 9 Derivatafunktionen f ´(x) är en ledsen andragradsfunktion * Vilka nollställen har derivatafunktionen?

”Mer matematik åt alla” önskar jan.sandberg@edu.falkenberg.se En funktions nollställen innebär att y = 0, dvs. funktionens skärning med x-axeln. Där derivatafunktionen f ´(x) = - x2 + 9 -x2 + 9 = 0 x f ´(x) Ser du nu vilka nollställena är? f ´(x) = 0 då x1= -3 och x2 = +3 Nu kan vi jämföra med derivata- funktionens graf Är det något du funderar på är det bara att köra bildspelet en gång till. ”Mer matematik åt alla” önskar jan.sandberg@edu.falkenberg.se