Matematik I Föreläsning 6 30.10.2013 Heidi Hellstrand Lars Burman

Sammanfattning av föreläsning 5 Geometri i läroplanen Plangeometri, mönster Symmetri, spegling Omkrets, area, volym Geometriska grundbegrepp

GEOMETRI

Föreläsning 6 Innehåll i del I: Tesseleringar Plan- och rymdgeometri Kroppar och deras egenskaper Några konstruktioner Litteratur: Geometriska begrepp (Terminologibok) Grundläggande geometri (Löwing, 2010) Matematik – ett kommunikationsämne, s. 143- 176

Tesselering (tessellering) Tessela (latin) = liten bit mosaik En tesselering är ett mönster av geometriska figurer som täcker hela planet utan att lämna hål Pröva olika sätt att lägga geometriska figurer: Sida mot sida Hörn mot hörn Håll ett jämnt avstånd mellan fingrarna Pröva både med en och flera former Vilka figurer tesselerar? Se hur figurerna tesselerar: http://www.malinc.se/math/basicgeometry/tessellationsv.php

Vilka figurer tesselerar? Vinkelns storlek är avgörande för att tesselering skall fungera! Trianglarna nere till höger bildar i varje hörn 6· 60º Bollen har i hörnen 2· 120º + 108º = 348º men det behövs12º för att bollen skall bli klotformig!

Ännu om omkrets – area – volym Inga krävande aritmetiska förkunskaper behövs (addition och multiplikation) Verklighetsanknytning är möjlig och viktig (förståelse och motivation) Laborativa metoder kan naturligt användas Arbeta med icke standardiserade enheter, händer, fötter, tidningar, böcker, repstump, etc. Mät handens storlek -> areamodell Uppskattning ger underlag för rimlighetskontroll Viktigt att ha en förståelse för figurernas egenskaper då man börjar studera begreppen omkrets, area och volym

Uppskatta arean!

Några areaformler Rektangel A = b· h Parallellogram A = b· h Triangel A = (b· h)/2 Cirkel A = π· r² basen (b) höjden (h) arean (A) radien (r) Stor nytta om man kan se figurernas egenskaper och likheter och till vilken ”familj” den tillhör

Vad innebär volym? * Ifall eleverna har en förståelse för plangeometriska figurers egenskaper och för area är steget till volym inte stort * Rymdgeometriska kroppar och mätning av volym är bekanta saker (leksaker, matlagning samt olika aktiviteter) * Man kan bestämma volymen av oregel- bundna kroppar också ...

Om konstruktion av kroppar * Kroppar kan konstrueras med hjälp av papper, ärter och stickor, modellera, snö * Spetsig kropp  volym dividerad med 3 * En kub ritad på papper fås med s.k. kavaljerperspektiv: bortgående sträckor ritas i 45º vinkel och hälften så långa Dags för titt på enhetsomvandlingar!

Föreläsning 6 Innehåll i del II: Mätningar Enheter och enhetsomvandlingar Proportionalitet Längd-, area- och volymskalor

Mätningar, enheter, enhetsbyten * Vad och hur kan vi mäta? * Varför enheter? Lämplig enhet? * Viktigt med autentiska situationer ... * Laborativa aktiviteter ger förståelse * Gamla måttenheter * Enheter som används i andra länder Obs! liter = kubikdecimeter

Om enheter och storheter Antal: stycken, par, dussin, tjog, skock Vikt: kilogram, gram, hektogram, ton, uns Valuta: euro, kronor, dollar, pund, yen Längd: meter, kilometer, millimeter, fot, aln Area: kvadratmeter, ar, hektar, tunnland Volym: kubikmeter, liter, fat (157 liter)

Begreppsnivåer för area 1 Vad menas med area? Area - Omkrets Konservation av area Ostandardiserade enheter Formernas namn och egenskaper II Enkel areaberäkning (rektangel med sidorna 2 och 3) Tillämpa förståelse av area på komplexa och oregelbundna former Användning av de vanligaste enheterna III Exakta beräkningar och tillämpning av kunskap Utvecklad areaberäkning Användning av enheter och enhetsbyten

Talsystemet – enheternas uppbyggnad Tusental Hundratal Tiotal Ental kilo hekto deka Ental Tiondel Hundradel Tusendel deci centi milli

Proportionalitet Direkt proportionell ”kvoterna lika” Ex. 160 km / 2 h = 80 km / 1 h Omvänd proportionalitet ”produkterna lika” Ex. 5 man x 6 dagar = 3 man x 10 dagar Diagram i statistiken: proportionell mot längd eller area?

Likformighet och skala Proportionalitet inom plan geometri kallas likformighet: samma form men inte nödvändigtvis samma storlek (kongruens) Längdskala = bild : verklighet (cm) Likformighetsavbildningar sträckning (förstoring, förminskning) spegling, translation, rotation

Skalor och symmetri Förminskning: skalan < 1 Förstoring: skalan > 1 Kongruens: skalan = 1 Areaskala = längdskala ^2 Volymskala = längdskala ^3 Symmetri underlättar ibland problemlösn. Symmetriaxlar (linjer) och symmetricentra

Sammanfattning föreläsning 6 Plan- och rymdgeometri Figurer och kroppar Proportionalitet, likformighet Skalor och enheter

TACK! Vi ses på Övningarna: 7 , 8 , 9 ! (speciellt övning 9 bygger på denna föreläsning) Kom ihåg begreppslistan: 12.11 !