Geometriska satser och bevis 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar Definition 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar Definition SATS: Fyra vinkelsamband Vertikalvinkar: w=v Likbelägna vinklar: u=w Alternatvinklar: u=v Sidovinklar: w+z=180° 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar Bevis 1 – alernatvinklar Bevis: v = w (vertikalvinkar) u = w (likbelägna) Detta medför att u = v v. s. b 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar Bevis 2 – bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180° SATS: vinkelsumman i trianglar Vinkelsumman i trianglar är alltid 180°! v. s. b. 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar s s h h Två sidor, s, lika långa Höjden, h, delar basen mitt itu Basvinklarna lika stora All sidor, s, lika långa Höjden, h, delar motstående sida mitt itu All vinklar är lika stora 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vinklar och trianglar Bisektris – delar en vinkel MITT ITU 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska bevis med vinklar Exempel 1 Bevisa att y=45°-x LÖSNING 90°+2x+2y=180° 2x+2y=90° x+y=45° y=x-45° v.s.b. De blåa linjerna är bisektriser 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska bevis med vinklar Bevisa att a+b+c+d+e+f=360° x+a+b=180° y+c+d=180° z+e+f=180° x+y+z+a+b+c+d+e+f=540° 180°+a+b+c+d+e+f=540° a+b+c+d+e+f=540°-180° a+b+c+d+e+f=360° v.s.b. Exempel 2 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska figurer repetition 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska figurer repetition 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska kroppar repetition 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Geometriska kroppar repetition 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Teckna geometriska uttryck Exempel Teckna ett uttryck för arean av kvartcirkeln. LÖSNING 𝐴= 𝜋 ∙ 6𝑥 2 4 = 36 ∙𝑥 2 ∙𝜋 4 =9∙ 𝑥 2 ∙𝜋 6x SVAR: 9𝜋 𝑥 2 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Sammanfattning Bra Dåligt/kan bli bättre De flesta förstod area- och volymberäkningen Många tyckte att det mesta var lätt Dåligt/kan bli bättre Genomgången innehöll lite för mycket Många tyckte att bevisberäkningen var svår och vill jobba mer med den De som tyckte att allt var för lätt tycker att de inte har lärt sig något nytt 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Mer geometriska bevis 3138 En cirkel är inskriven i en kvadrat. Bevisa att den gula delen är 4−𝜋 4 av hela figuren. Akvad=a2 Acirkel= 𝑎 2 2 𝜋 a 𝑎 2 a Agul = Akvad- Acirkel Avdramatisering av uppgiften: Vad är den gula delen? Den är den delen av kvadratens yta som inte är cirkelns yta. Agul= 𝑎 2 - 𝑎 2 2 𝜋= 𝑎 2 - 𝜋∙𝑎 2 4 = 𝑎 2 (1 - 𝜋 4 ) = 𝑎 2 ∙ 4−𝜋 4 Agul Akvad = 𝑎 2 ∙ 4−𝜋 4 a2 = 𝟒−𝝅 𝟒 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

a2+b2=c2  triangel är rätvinklig Pythagoras sats a2+b2=c2  triangel är rätvinklig Vänstra kvadratens area A1= a2+b2+ab+ab= a2+b2+2ab Högra kvadratens area A2= c2+4 ∙ 𝑎∙𝑏 2 =c2+2ab Eftersom A1= A2 => a2+b2+2ab=c2+2ab 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Likformighet ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 Definition: Två trianglar är likformiga om förhållandet mellan motsvarande sidor är lika stora Motsvarande vinklar är lika stora 8 4 = 6 3 ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Likformighet Likformighet ger: 4 8 = 7 14 = 9 18 = 0,5 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Trigonometri Trigonometri bygger på likformighet Samband mellan sidor och vinklar i triangel Ordet kommer från grekiskans “trigonom” – tre vinklar och “metron” - mått 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Trigonometri sin x = 𝑚𝑜𝑡𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑛 = 𝑎 𝑐 cos x = 𝑛ä𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑛 = 𝑏 𝑐 tan x = 𝑚𝑜𝑡𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡 𝑛ä𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡 = 𝑎 𝑏 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Uppgifter från nationella provet 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Uppgifter från nationella provet 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer Definition: Vektor En vektor är ett matematiskt objekt som karaktäriseras av både storlek (magnitud) och riktning. Lika vektorer Vektorer har stor betydelse när man skall beskriva storlekar som kraft och hastighet Man brukar skilja på vektorer och skalärer En vektor är en storhet som har både storlek och riktning, skalärer har endast storlek Exempel på vektorer: kraft, hastighet och acceleration Exempel på skalärer är temperatur, area och energi 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning. Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana På bilden är vektorerna 𝑎 och 𝑏 lika eftersom de är lika BÅDE till storlek och riktning. 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer DEFINITION: Motsatta vektorer 𝑢 Motsatta vektorer är vektorer som har motsatt riktning, men samma storlek. 𝑢 𝑣 SATS: Parallella vektorer Om 𝑢 =k∙ 𝑣 , där k är konstant, är vektorerna 𝑢 och 𝑣 parallella. 𝑢 𝑣 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektor Storleken på en vektor 𝑢 betecknas med 𝑢 Riktningen på en vektor kan anges på olika sätt, t ex med en vinkel 𝑢 v 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Exempel 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man adderar vektorer. Bestäm F1 + F2. 𝐹1 =3 N 𝐹 1 och 𝐹 2 kallas för komposanter och 𝑅 för resultant. 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =5 N Addera = “låta vektorer bita varandra i svansen” 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Addera motsatta vektorer 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑏 Summan av motsatta vektorer är nollvektor. 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Låt oss addera en positiv och en negativ vektor 𝐹 1 + 𝐹 2 där 𝐹 1 =3 N 0ch 𝐹 2 =-2 N. 𝐹 1=3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =3+ (-2) = 1 N 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Låt oss addera vektorer 𝑎 och 𝑏: Addition av vektorer är kommutativ! 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Addera vektorer 𝑢 1 , 𝑢 2 och 𝑢 3 : 𝑢 1 𝑅 = 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 1 𝑢 1 𝑅 = 𝑢 1 + 𝑢 3 + 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 3 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man subtraherar vektorer. Bestäm F1 - F2. 𝐹1 =3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 − 𝐹2 =3-2 = 1 N 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer 𝑏 𝑏 - 𝑎 𝑏 𝑎 - 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 - 𝑎 𝑏 +(- 𝑎) 𝑏 𝑎 𝑎 - 𝑏 - 𝑏 𝑎 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem Här har vi lagt in en vektor i ett koordinatsystem och den ses som en riktad sträcka från origo till en punkt eller ett koordinatpar (x,y) 𝑢 (x,y) 𝑢 𝑦 x 𝑢 x Här syns det tydligt att 𝑢 = 𝑢 x + 𝑢 y 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem DEFINITION: Basvektorer Basvektorerna 𝑒 𝑥 och 𝑒 𝑦 är två vektorer vinkelräta mot varandra. Basvektornas storlekar är 1, 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑦 =1. Om dessa basvektorer placeras i origo riktade i x- och y-axelns positiva riktningar kallas de ortsvektorer. Det innebär att en vektors komposanter kan skrivas: 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 och 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 där (x,y) är den koordinat där vektor slutar. x y x y 𝑢 (x,y) 𝑢 (4,3) 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 𝑢 y = 3 ∙ 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 12/30/2018 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 𝑢 x = 4 ∙ 𝑒 𝑥

Vektorer i koordinatsystem En vektor kan skrivas som 𝑢 = x ∙ 𝑒 𝑥 +y ∙ 𝑒 𝑦 =(x,y) Vektor i exemplet skulle då bli 𝑢 = 4 ∙ 𝑒 𝑥 +3 ∙ 𝑒 𝑦 =(4,3) Med det menas altså den riktade sträckan, eller vektor, från origo till punkten (4,3). 12/30/2018

Vektorer i koordinatsystem u + v =(2+3,4+1)=(5,5) (4,8) 𝑢 = (2,4) Vad blir 𝑢 + 𝑣 ? 2 ∙ 𝑢 𝑣 = (3,1) x 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem SATS: Räkneregler för vektorer Om 𝑢 1 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) och 𝑢 2 =( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) så gäller: 𝑢 1 + 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) + ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) 𝑢 1 − 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) - ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 − 𝑥 2 , 𝑦 1 − 𝑦 2 ) a∙ 𝑢 =(ax,ay) SATS: Storleken av en vektor Storleken av vektorn 𝑢 =(x,y) är 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vektorer och trigonometri När man använder vektorer i tillämpade sammanhang, t ex i fysiken, är riktningen ofta angiven med en vinkel. En basebollspelare slål iväg bollen med vinkel på 45° med utgångshastigheten 25 𝑚 𝑠 . x y 45° 𝑣 =25 𝑚 𝑠 𝑣 𝑥 cos45°= 𝑣 𝑥 25 sin45°= 𝑣 𝑦 25 𝑣 𝑦 längd höjd utslagsvinkel 𝑣 =25 𝑚 𝑠 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Vad är en funktion? Ett sätt att beskriva verklighetens situationer med matematik Ordet funktion kommer av latinets functio som betyder "fullgörande, verkställande” s(𝑡) = v∙𝑡 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Funktionens representationer Med en värdetabell: Anna tjänar 100 kr i timmen Med ett funktionsuttryck: Med en graf: x [antal timmar] 1 2 3 4 5 6 7 f [kr] 100 200 300 400 500 600 700 f(𝑥)=100∙𝑥 𝑥[timmar] 1 2 3 4 5 400 300 200 100 y[kr] 12/30/2018

En funktion är en regel som till varje tillåtet x-värde ger precis ett y-värde. Då är y en funktion av x. DEFINITION: Funktion DETTA ÄR INTE EN FUNKTION! DETTA ÄR EN FUNKTION! 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Definitionsmängd och värdemängd Om y är en funktion av x är definitionsmängden alla tilllåtna x-värden. Värdemängden är de tillåtna värden som y kan ta. DEFINITION: Definitionsmängd och värdemängd 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Linjära funktioner Om alla punkter som ingår i en funktions graf hamnar längs en rak linje då grafen ritas ut i ett koordinatsystem, kallar vi funktionen en linjär funktion. En linjär funktion kan alltid skrivas på formen y=k∙x+m där k och m är konstanter. Grafen till en linjär funktion är en rät linje. DEFINITION: Linjär funktion 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Exempel på linjära funktioner k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen m kallas konstantterm eller även intrecept och bestämmer var linjen skär y-axeln. 𝑓 𝑥 =6∙𝑥+3 𝑥 1 2 3 4 5 4 3 2 1 y 𝑓 𝑥 =𝑘∙𝑥+𝑚 𝐻𝑢𝑟 𝑟𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑣𝑖 𝑓 𝑥 ? Det lättaste sättet är att hitta var linjen skär x- och y-axel När x=0 då f(0)=3 => skär y-axel i punkten (0,3) Från y=0 följer: 6∙𝑥+3=0 6∙𝑥= -3 𝑥=− 3 6 =− 1 2 Skär x-axel i punkten (− 1 2 , 0) 𝑓 𝑥 =−2∙𝑥+4 𝑓 𝑥 =4∙𝑥−2 𝑓 𝑥 =5∙𝑥 𝑓 𝑥 =−2∙𝑥−2 𝑓 𝑥 =3 Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger

Hitta formeln till linjär funktion 𝑓 𝑥 =𝑘∙𝑥+𝑚 𝑓 𝑥 =6∙𝑥+3 𝑥 1 2 3 4 5 4 3 2 1 y 𝑓 𝑥 =−2∙𝑥+4 𝑓 𝑥 =4∙𝑥−2 𝑓 𝑥 =5∙𝑥 𝑓 𝑥 =−2∙𝑥−2 𝑓 𝑥 =3 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Exempel 1 -Badkar a) När x=0 är y=50 På 6 sekunder tappas 30 liter ur badkaret.Varje sekund tappas alltså 30liter/6=5 liter. Funktionen kan skrivas som: y=50-5x eller y=-5x+50 b) Badet är tomt när volym är 0 dvs. y=0 -5x+50=0 => x=50/5=10 sekunder c) Funktionens definitionsmängd: 0≤𝑥≤10 Funktionens värdemängd: 0≤𝑦≤50 𝑓 𝑥 =𝑘∙𝑥+𝑚 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Exempel 2 Lös ekvation 2x-3=5 grafiskt X=4 Lös ekvationen 2x-3=5-2x 𝑥 1 2 3 4 5 4 3 2 1 y 12/30/2018 tanja0615@gmail.com

Ni skall kunna nu: Definiera begreppet funktion Funktionens definitionsmängd Funktionens värdemängd Rita en linjär funktion Bestämma uttryck för en linjär funktion ritad i ett koordinatsystem 12/30/2018 tanja0615@gmail.com