Några nedslag i geometrins historia Johanna Pejlare

Varför matematikhistoria? Matematikens utveckling nära förbunden med den kulturella utvecklingen Vi får en bättre förståelse för elevers problem med matematiska begrepp En spännande historia kan motivera eleverna (Rekapitulationstesen)

Forntida Egypten Hieroglyfiska taltecknen, ca 3000 f Kr

Forntida Egypten Moskvapapyrusen (ca 1850 f Kr) Rhindpapyrusen Area av rektanglar och rätvinkliga trianglar Volym av räta cylindrar och stympade pyramider Area av cirkel (approximativt):

Babylonien, ca 2000-1600 f Kr

Ett positionssystem med bas 60:

Babylonien Area av rektanglar, trianglar och parallelltrapetser Volym av räta cylindrar och prismor Pythagoras sats (utan bevis) Omkrets och area av cirkel (approximativt):

Kina, Han-perioden 206 f Kr-221 e Kr Jiuzhang suanshu - Nio kapitel om den matematiska konsten Area Volym Rätvinkliga trianglar Pythagoras sats (utan bevis)

Jiuzhang suanshu, Kapitel 9, problem 24 En kvadratisk stad av okänd storlek har en port i mitten av varje sida. 20 steg norr om den norra porten står ett träd. Om man lämnar staden genom den södra porten, går 14 steg söderut och sedan går 1775 steg västerut så får man syn på trädet. Hur stor är staden?

Gemensamt? Empirisk geometri. Kunskaperna är sammanfattade i enkla tumregler utan försök att inordna dem under en större sammanhängande teori.

Thales från Miletos, 624-546 f Kr Hur förhåller det sig? Varför förhåller det sig så? Deduktiv vetenskap, bevis Thales sats (ett specialfall av periferivinkelsatsen)

Pythagoras, ca 572-497 f Kr Den pythagoreiska skolan: mystik, matematik och naturvetenskap Triangelns vinkelsumma Geometriska konstruktioner Proportionalitets- och likformighetslära

Aristoteles, 384-322 f Kr Axiomatiskt uppbyggd teori: Primitiva begrepp Axiom och postulat Alla termer definieras utifrån ”primitiva begrepp” Alla påståenden härleds logiskt ur axiomen

Euklides, ca 325-265 f Kr Elementa: http://aleph0.clarku.edu./˜djoyce/java/elements/elements.html Bok 1-6 Plan geometri Bok 7-9 Aritmetik Bok 10 Inkommensurabla storheter Bok 11-13 Rymdgeometri

23 definitioner 1. En punkt är något som inte kan delas. 2. En linje är en längd utan bredd. 3. En linjes ändar är punkter. 4. En rät linje är en linje som ligger jämnt mellan punkterna på densamma. …yta, vinkel, cirkel, triangel, parallella linjer, osv…

5 postulat Man kan dra en rät linje från en punkt till en annan. 2. Varje begränsad rät linje kan förlängas obegränsat. 3. Kring varje punkt kan man beskriva en cirkel med given radie. 4. Alla räta vinklar är lika med varandra.

5. När en rät linje skär två räta linjer, och de båda inre vinklarna på samma sida om den skärande räta linjen är mindre än två räta vinklar, så kommer de båda räta linjerna, om de förlängs obegränsat, att skära varandra på den sida om den skärande räta linjen som de två inre vinkarna ligger.

5 allmänna axiom De, som är lika med ett och samma, är också lika med varandra. 2. Om lika adderas till lika, är de hela lika. 3. Om lika subtraheras från lika, är resterna lika. 4. De, som täcker varandra, är lika med varandra. 5. Det hela är större än delen.

Påstående 1: Att på en given sträcka konstruera en liksidig triangel Påstående 1: Att på en given sträcka konstruera en liksidig triangel. Påstående 2: Att konstruera en rät linje lika med en given rät linje med en ände i en given punkt. Påstående 47: Pythagoras sats Påstående 48: Omvändningen av Pythagoras sats

Matematikhistoria på nätet: www-history.mcs.st-and.ac.uk