Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Kapitel 1 Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Mooney and Swift "A Course in Mathematical Modeling"

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Kapitel 1 Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Mooney and Swift "A Course in Mathematical Modeling""— Presentationens avskrift:

1 Kapitel 1 Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Mooney and Swift "A Course in Mathematical Modeling"

2 NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 2 Projekt 1.2; Vildkatt Bakgrund: Projektet handlar om en hotad amerikansk vildkatt (Bobcat). Data kommer från populationer i Florida. Den årliga tillväxten, r, varierar för olika miljöer enligt följande: r = 0,01676 (Best) r = 0,00549 (Medium) r = -0,04500 (Worst) För det här projektet antas tillväxterna vara konstanta från år till år för de olika miljöerna. Tillväxterna kan också antas tillhöra tre olika populationer.

3 Uppgift 1-2NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 3 Uppgift Gör ett kalkylblad med tre olika populationer (använd de tre tillväxterna). Beräkna antalet individer för varje år under en 10-årsperiod och starta med 100 individer i varje population. Illustrera i ett diagram med datum på x-axeln och med möjlighet att identifiera de olika kurvorna även i svart/vit utskrift. 2.Repetera 1. men över en 25-årsperiod.

4 Uppgift 1-2NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 4 Beräkna antalet individer varje år: x(n) = x(n-1) + rx(n-1) x(n) = antalet vid år n x(n-1) = antalet vid år n-1 r = tillväxten x(0) = 100 r = 0,01676 (Best) r = 0,00549 (Medium) r = -0,04500 (Worst) Tabell och figur görs med hjälp av Excel:

5 Uppgift 1-2NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 5 Tabellen från uppgift 1 används även till uppgift 2, men förlängs med 15 år. Motsvarande figur ser ut så här:

6 Uppgift 3NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 6 Uppgift 3 För att inte populationen med den bästa tillväxten ska bli alltför stor behövs någon form av skötsel. Testa vad som händer med populationen om man tillämpar någon av följande metoder: a. En individ skjuts varje år b. Fem individer skjuts varje år c. 1% av individerna skjuts varje år d. 5% av individerna skjuts varje år Vilken av dessa metoder ger en stabil population? Simulera populationerna över en 25-årsperiod.

7 Uppgift 3NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 7 Tabellen är gjord i Excel på samma sätt som i uppgift 1-2. Följande formler har använts för att beräkna antalet individer/år: Pop 1a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1 Pop 1b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-5 Pop 1c: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*0,99 Pop 1d: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*0,95 Population 1a är den population som utsätts för metod a (dvs 1 individ per år skjuts av), se föregående sida. Population 1b utsätts för metod b osv. r = 0,01676 (Best) x(0) = 100

8 Uppgift 3NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 8 Diagram över simulering med olika metoder för att minska populationens tillväxt. Metod a (att skjuta av en individ per år) och metod c (att skjuta av 1% av individerna per år) verkar båda vara metoder som ger stabila populationer, åtminstone vad det verkar utifrån en 25- årsperiod.

9 Uppgift 4NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 9 Uppgift 4 Hur ska man få populationen från uppgift 3 (dvs populationen med den bästa tillväxthastigheten) att stanna/bli stabil på 200 individer?

10 Uppgift 4NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 10 Om vi utgår från grundformeln x(0)=x(n-1)+rx(n-1), så måste termen rx(n-1) vara 0 då x(n-1) är 200 för att x(n) också ska bli 200. Genom att sätta rx(n-1)-rx(n-1)*y, så måste y vara ett tal som gör att rx(n-1)*y = rx(n-1) då x(n-1)=200. Om x(n-1) 200 måste rx(n-1)*y vara större än rx(n-1). Alltså: Ett test i Excel visar att populationen verkar stabilisera sig på 200 individer både när man startar med 100 individer och med 300. Däremot tar det ganska lång tid. x(n) = x(n-1)+rx(n-1)-rx(n-1)*(x(n-1)/200)

11 Uppgift 5NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 11 Uppgift 5 Samma sak som i uppgift 3 fast tvärtom. Här handlar det om populationen med den sämsta tillväxten och hur man med fyra olika metoder kan förhindra att den dör ut: a. Tillföra 3 individer per år b. Tillföra 10 individer per år c. Tillföra 1% individer varje år d. Tillföra 5% individer varje år Vilken/vilka metod/er ger en stabil population? Simulera över en 25-årsperiod.

12 Uppgift 5NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 12 Följande formler har använts: Pop 3a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+3 Pop 3b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+10 Pop 3c: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*1,01 Pop 3d: x(n)=(x(n-1)+rx(n-1))*1,05 Population 3a är den population som utsätts för metod a (dvs 3 individer per år tillsätts), se föregående sida. Population 2b utsätts för metod b osv. r = -0,04500 (Worst) x(0) = 100 Tabeller och diagram är utförda i Excel på samma sätt som i uppgift 3. Att addera 5% individer per år verkar ge en stabil population, åtminstone utifrån simulering av en 25-årsperiod.

13 Uppgift 6NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 13 Om bärförmågan = K och K = 50, måste x(n) och x(n-1) båda vara 50 då populationen blivit stabil. x(n) = x(n-1) + rx(n-1) + z, vilket i det här fallet ger 50 = 50 +r*50 + z z = r*50 = -r*50, r = -0,04500 z = 2,25 Alltså; om man tillsätter 2,25 individer per år (eller 3 individer vart fjärde år och två individer övriga år) ska populationen hålla sig på 50 individer från år till år. Då K = 200 måste istället 9 individer tillkomma varje år. Uppgift 6 Hur ska man få populationen från uppgift 5 (dvs populationen med den sämsta tillväxthastigheten) att stanna/bli stabil på 50 respektive 200 individer?

14 Uppgift 6NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 14 Ett test i Excel med simulering för en 100-årsperiod ger följande diagram (K = 50, Adding 2,25; K = 200, Adding 9):

15 Uppgift 7NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 15 Uppgift 7 Which of the strategies in parts 3 and 5 are affine? By hand, analyze these equations (which are affine) to find fixed points and test for stability. Use the theory of affine equations to verify the numerical results.

16 Uppgift 7NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 16 Från läroboken: “Any recursive equation of the form x(n)=ax(n-1)+b with a and b non-zero constants, will be called affine.” Från uppgift 3 och 5 finns fyra ekvationer som kan kallas ‘affine’: Uppgift 3:Pop 1a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1r=0,01676 Pop 1b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-5 Uppgift 5:Pop 3a: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+3r=-0,04500 Pop 3b: x(n)=x(n-1)+rx(n-1)+10

17 Uppgift 7NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 17 Från läroboken: “When a recurrence relation or a dynamical system settles down, the point at which it stabilizes is called fixed point, and the system is said to be in a steady state.” En ‘jämviktspunkt’ finns då x(n)=x(n-1). Om vi byter ut x(n) och x(n-1) mot enbart x och sätter in det i en generell ‘affine’ ekvation x(n)=Rx(n-1)+a får vi: x=Rx+aR=r+1 x=a/(1-R)=a/-r Jämviktspunkter för samtliga fyra ekvationer: Pop 1a: ~59,7 Pop 1b: ~298,3 Pop 3a: ~66,7 Pop 3b: ~222,2 En jämviktspunkt för ekvationen för Pop 1a ( x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1) är alltså: x= -1/-0,01676r=0,01676 x~59,7

18 Uppgift 7NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 18 Från läroboken: “Conditions for stability: If x is a fixed point of the first-order recurrence equation x(n)=f(x(n-1)), then x is a stable fixed point if and only if |f’(x)| < 1.” Är populationen 1a stabil i jämviktspunkten 59,7? x(n)=x(n-1)+rx(n-1)-1, vilket är detsamma som x(n)=Rx(n-1)-1 f(x)=Rx-1R=r+1 f’(x)=Rr=0,01676 f’(x)=1,01676 f’(x) uppfyller inte villkoret ovan och populationen är inte stabil.

19 Uppgift 7NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 19 Från läroboken: “Conditions for stability: If x is a fixed point of the first-order recurrence equation x(n)=f(x(n-1)), then x is a stable fixed point if and only if |f’(x)| < 1.” f(x)=Rx+a f’(x)=R Pop 1a: r=0,01676ej stabil Pop 1b: r=0,01676ej stabil Pop 3a: r= -0,04500stabil Pop 3b: r= -0,04500stabil

20 Uppgift 3NBIC24 Matematiska modeller i kemi och biologi 20


Ladda ner ppt "Kapitel 1 Diskreta, deterministiska system Projekt 1.2; Vildkatt Mooney and Swift "A Course in Mathematical Modeling""

Liknande presentationer


Google-annonser