Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

1 Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "1 Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet."— Presentationens avskrift:

1 1 Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet

2 Den Gyllene Kunskapstriangeln 2 KunskapIntresse Själv- förtroende

3 3 Oväntade och vackra resultat väcker intresse….

4 4 Den magiska attraktorn

5 Den magiska attraktorn

6 Den magiska attraktorn

7 7 Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! Vad händer om du gör samma sak med 3- siffriga eller 5 siffriga tal? Den magiska attraktorn

8 8 Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar ( ), som upptäckte egenskaperna hos talet år Den magiska attraktorn - historik

9 Den magiska attraktorns pedagogiska värde 9

10 10 Fibonaccis kaninproblem … = Fibonaccitalen

11 11 Pentagon

12 12 Pentagon och det gyllene snittet Förhållandet mellan längden av en diagonal och en sida är det Gyllene snittet Upprepa proceduren i den inre (mindre) pentagonen och du får en ny femuddig stjärna (Självlikformighet)

13 13 Leonardo da Vinci - Nattvarden a b

14 14 Gyllene snittet hos människan

15 15 En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet

16 16 ab Gyllene snittet: sätt

17 17 Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

18 Räkneregler ab a b ba aa=a 2 b2b2 ab

19 19 ”Snickartriangeln” (9+16=25)

20 20 Pythagoras sats c a b

21 21 Finns det fler ”Snickartrianglar”? Ja tex: a = 5, b = 12, c = = 13 2 ( = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 ( = 10201)

22 22 Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m 2 – n 2 b = 2mn m > n c = m 2 + n 2 n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a 2 + b 2 = (m 2 - n 2 ) 2 + (2mn) 2 = m 4 – 2m 2 n 2 + n 4 + 4m 2 n 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + n 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

23 23 Pythagoras sats

24 Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a 2 + b 2 = c 2 ”Ytan av stora Kvadraten” (a + b) 2 = c 2 + 4(ab)/2 a 2 + 2ab + b 2 = c 2 +2ab a 2 + b 2 = c 2

25 25 Finns det heltal a, b, c som uppfyller a 3 + b 3 = c 3 ? Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a 4 + b 4 = c 4 ? Svar: NEJ! osv…. Fermats gåta

26 P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfyller a n + b n = c n för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

27 27 Lösning av spännande problem väcker intresse…

28 28 Födelsedagsproblemet Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag?

29 29 För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! nsannolikhet 2350% 3070% 4190% 4795% 5799% Födelsedagsproblemet

30 30 Lösning födelsedagsproblemet

31 31 Schackbrädesproblemet Schackbräde utan två hörn Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…)

32 32 Snabbräkning på Gauss vis C.F. Gauss ( ) fick följande problem som 10-åring

33 … … …+ Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) Snabbräkning på Gauss vis (100·101)/2 = 5050

34 34 Plattproblemet Antal plattor = N Hur långt om N = 1 ? L = ½ Hur långt om N = 2 ? L = ½ + ¼ = ½ (1+½)... Hur långt om N är godtyckligt ? L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N) Exempel: N = 3L = 11/12 N = 4L = 25/24 N = 100L ~ 2.6 N = 1000L ~ 3.8

35 35 Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

36 36 Von Kochs snöflingekurva Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3) n

37 37 Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

38 38 Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Den vanligaste Juliamängden fås ur den rekursiva ekvationen f(z) = z 2 + cdär z = en punkt i komplexa talplanet och c = är en punkt i Mandelbrotmängden Den franska matematikern Gaston Julia gjorde sin fundamentala upptäckt redan Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först (Varje c i Mandelbrotmängden ger en Juliamängd).

39 39 Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

40 40 En resa in i Seahorse Valley…

41 41 Möbiusband Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop.

42 42 Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius ( ). Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra. Möbiusband

43 43 Möbiusband …i tekniska tillämpningar

44 44 Möbiusband …i konsten ”Endless ribbon” av M. Bill 1935

45 45 Möbiusband …i konsten ”Immortality” av J. Robinson

46 46 Möbiusband …i konsten ”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

47 47 Möbiusband …som frimärksmotiv

48 48 Referenser 1.Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008

49 49 7.Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993 Referenser

50 Kunskap Intresse Själv- förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen! Den Gyllene Kunskapstriangeln

51 51 Magisk kvadrat Känd redan under Zhou-dynastin i Kina f.kr. =”Mini-Sudoku” Placera talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så att summan i varje rad, kolumn och diagonal = 15

52 52

53 53 Magisk Kvadrat Magiska kvadratens historia sträcker sig, enligt flera kinesiska legender, mer än år tillbaka, till kejsaren Yu-Huangs tid. I dessa legender fick kejsaren en gång syn på den gudomliga sköldpaddan vid floden Los stränder. På sköldpaddans rygg fanns ett mönster av 3 x 3 rutor, och i rutorna fanns ett antal prickar som symboliserade talen 1 till 9. Summan var densamma på de tre raderna och i de tre kolumnerna och de två diagonalerna. Talen bildade en magisk kvadrat av tredje ordningen - Lo Shu. Det finns bara en möjlig lösning på en sådan kvadrat om man bortser från speglingar och rotationer.

54 54 Sudoku - matematik Suuji wa dokushin ni kagiru ~ ”en siffra som måste förbli ensam” Su doku ”en ensam siffra” Sudoku

55 55 Sudoku - matematik New York 1979 (H. Garnes) Japan 1984 (Nikoli) 1997 – 2003 W Gould konstruerade ett datorprogram som genererade sodukun automatiskt Han publicerade ett Sodoku i The Times 12 november 2004! Då EXPLODERADE det!

56 56 Sudoku - matematik Hur hittar man sitt eget Sudoku? Svar: WEBBEN Hur många Sudokun finns det? Svar 1: Det finns väsentligt olika slutkonfigurationer! Svar 2: Totalt finns det Sudokun! Räknades ut 2005 av B. Felgenhauer

57 57 Sudoku - matematik Hur många rutor med siffror måste det minst finnas i ett Sudoku Svar: Man vet ej! Det minsta man hittills hittat är 17

58 58 ”Färg” och Barn- Sudoku

59 59 Sudokus pedagogiska värde JA! ALLA kan träna systematiskt och logiskt tänkande (vilket vi gör för lite) utan att först kunna en massa matematik Varför inte en morgonsudoku som träning för hjärnan som komplement till kvällens joggingrunda

60 60 Referenser 1.Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008

61 61 7.Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993 Referenser

62 Kunskap Intresse Själv- förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen! Den Gyllene Kunskapstriangeln

63 63 Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet


Ladda ner ppt "1 Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet."

Liknande presentationer


Google-annonser