Den gyllene kunskapstriangeln - vacker och spännande matematik

Slides:



Advertisements
Liknande presentationer
Talföljder formler och summor
Advertisements

Geometri 3x^5 Vinklar och areor Exponenter
PowerPoint laget av Bendik S. Søvegjarto Koncept, text och regler av Skage Hansen.
En genomgång av spelet: Dubbelkrig-Grön
hej och välkomna EKVATIONER Ta reda på det okända talet.
Ruttplanering Vad är det??.
Vilka var de viktigaste lärdomarna från caset?
xn + yn = zn Problemlösning Några enkla metoder
Algebra Kap 4 Mål: Lösa ekvationer
Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie
En övning i att formulera sig matematiskt
DEL 1: DE FÖRSTA HÖGKULTURERNA
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november B1118 Diskret matematik Tredje föreläsningen - Kombinatorik.
Vill du lära dig kort division?
Rörelse Kapitel 7.
Grundläggande programmering
732G22 Grunder i statistisk metodik
MaB: Andragradsekvationer
Tomas Johansson, Kyrkerörsskolan, Falköping –
Av eleverna i 7m2 och deras lärare samt en uppgift på slutet...
Fritt efter Paul Vaderlinds bok Matte utan att räkna
(Några begrepp från avsnitt 14.2)
1. Vik ett papper så att du får 9 lika stora bitar
Kunskap 3: Rationalism och Empirism
MÄTNING Människan har alltid behövt mäta saker.
Maryam Mohammadi, Broängsskolan, Tumba –
Algebra och ekvationer
Frihetstiden
Matematik A - Introduktion
Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storhet som är den intressanta, utan en grundläggande variabel som sedan används för att beräkna det som man är.
Vacker och spännande matematik
Grundläggande programmering
Problemlösning Veckodagsproblemet Gissa talet Siffersumman.
ARITMETIK – OM TAL.
Saied Alavei Slottsstadens skola 2014
Skriva noveller.
Gör direkt: Gå till hemsidan: Klicka på dagens PowerPoint
Binomialsannolikheter ritas i ett stolpdiagram
INTRODUKTION Balken kan ha olika tvärsnitt
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november B1118 Diskret matematik Tionde föreläsningen Bipartita grafer.
Simulering Introduktion Exempel: Antag att någon kastar tärning
ORDET AREA BETYDER STORLEKEN AV ETT OMRÅDE
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 26 november B1118 Diskret matematik Nionde föreläsningen Grafer.
5 8 Sätt in talen 1 till 9 i den magiska fyrkanten så att
Negativa tal – några exempel
1 Ingenjörsmetodik IT & ME 2007 Föreläsare Dr. Gunnar Malm.
MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2.
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 20 novnember B1118 Diskret matematik Åttonde föreläsningen Ringar.
Vacker och spännande matematik
Vilka olika typer av tal finns det?
Addition-uppställning
Din uppgift är: 4. Du skall göra minst en målning där ett av verken inom riktningen/av konstnären presenteras. Format skall vara A2. Vi skall nu i år9.
Kommunikationspass Jag heter
Lars Madej  Talmönster och talföljder  Funktioner.
Manada.se Kapitel 5 Geometri. 5.1 Omkrets och area.
Lars Madej  Vad är omkrets?  Har jordklotet en omkrets?
Manada.se Kapitel 4 Ekvationer och formler. 4.1 Ekvationer och uttryck.
Cirkelns omkrets och area. Vi går igenom de enklare begreppen om cirkelns omkrets - Omkretsen (O) i en cirkel är ett ”helt” varv. Radie(r) Diameter(d)
Du ska inom arbetsområdet lära dig att Tolka och förenkla uttryck med bokstäver Lösa enkla ekvationer Upptäcka och använda mönster och samband Skriva och.
Några nedslag i geometrins historia
D A C B Vems påstående stämmer? Här finns fem geometriska figurer.
Geometriska figurer Exempeluppgifter.
AREA DEL 1.
Tala om tal.
Mål v.7 Jag känner mig säker (grön) Oftast går det bra (gul)
Mål v.6 Jag känner mig säker (grön) Oftast går det bra (gul)
Kvadreringsregeln Pythagoras sats
Y 3.3 Volym och begränsningsarea
xn + yn = zn Problemlösning Några enkla metoder
Det handlar om multiplikation
Presentationens avskrift:

Den gyllene kunskapstriangeln - vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet Karlstad, 4 November 2013 http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik

Den Gyllene Kunskapstriangeln Själv-förtroende Intresse

Subtraktion

Den magiska attraktorn 4 7 1 6 - 10 7614 6174 4 7 1 6 8 5 3 2 - 10 2358 6174

Den magiska attraktorn 6 7 1 4 2 - 10 6642 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn 7218 3 4 7 8 2 1 - 10 6 9 3 7 4 - 10 4 6 2 9 3 - 10 6 7 1 4 2 - 10 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?

Den magiska attraktorn - historik 6174 Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

Fibonaccis kaninproblem division 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml

Pentagon

Gyllene snittet hos människan

En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

Räkneregler a b ba aa=a2 ab b2

”Snickartriangeln” 5 4 3 (9+16=25)

Pythagoras sats c a b

Finns det fler ”Snickartrianglar”? Ja tex: a = 5, b = 12, c = 13 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 (9801 + 400 = 10201)

Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m2 – n2 b = 2mn m > n c = m2 + n2 n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

Pythagoras sats Pythagoreerna ett hemligt sällskap. 525 fkr utforskade talens mystik Anekdoten säger att en av medlemmarna Hippasos dränktes när han kom på att roten ur två var irrationellt alltså inte på formen p\q där p,q är heltal

Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 ”Ytan av stora Kvadraten” (a + b)2 = c2 + 4(ab)/2 a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab a2 + b2 = c2

Fermats gåta Finns det heltal a, b, c som uppfyller a3 + b3 = c3 ? Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a4 + b4 = c4 ? Svar: NEJ! osv….

Fermats gåta a, b, c som uppfyller an+ bn = cn P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfyller an+ bn = cn för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

Lösning av spännande problem väcker intresse…

Födelsedagsproblemet Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag? 24

Födelsedagsproblemet n sannolikhet 23 50% 30 70% 41 90% 47 95% 57 99% För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! 25

Schackbrädesproblemet Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…) Schackbräde utan två hörn 26

Snabbräkning på Gauss vis C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring 27

Snabbräkning på Gauss vis Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) 1 + 2 3 … 100 99 98 101 (100·101)/2 = 5050 28

Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

Von Kochs snöflingekurva Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

En resa in i Seahorse Valley…

Den Gyllene Kunskapstriangeln Intresse Själv-förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!

Kunskap Intresse Själv-förtroende 35

Möbiusband Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop. 36

Möbiusband Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868). Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra. 37

Möbiusband …i tekniska tillämpningar

Möbiusband …i konsten ”Endless ribbon” av M. Bill 1935

Möbiusband …i konsten ”Immortality” av J. Robinson

Möbiusband …i konsten ”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

Möbiusband …som frimärksmotiv

Kunskap Intresse Själv-förtroende 43