Den gyllene kunskapstriangeln - vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet Karlstad, 4 November 2013 http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik

Den Gyllene Kunskapstriangeln Själv-förtroende Intresse

Subtraktion

Den magiska attraktorn 4 7 1 6 - 10 7614 6174 4 7 1 6 8 5 3 2 - 10 2358 6174

Den magiska attraktorn 6 7 1 4 2 - 10 6642 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn 7218 3 4 7 8 2 1 - 10 6 9 3 7 4 - 10 4 6 2 9 3 - 10 6 7 1 4 2 - 10 4 7 1 6 - 10 6174

Den magiska attraktorn Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?

Den magiska attraktorn - historik 6174 Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

Fibonaccis kaninproblem division 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml

Pentagon

Gyllene snittet hos människan

En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

Räkneregler a b ba aa=a2 ab b2

”Snickartriangeln” 5 4 3 (9+16=25)

Pythagoras sats c a b

Finns det fler ”Snickartrianglar”? Ja tex: a = 5, b = 12, c = 13 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 (9801 + 400 = 10201)

Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m2 – n2 b = 2mn m > n c = m2 + n2 n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

Pythagoras sats Pythagoreerna ett hemligt sällskap. 525 fkr utforskade talens mystik Anekdoten säger att en av medlemmarna Hippasos dränktes när han kom på att roten ur två var irrationellt alltså inte på formen p\q där p,q är heltal

Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 ”Ytan av stora Kvadraten” (a + b)2 = c2 + 4(ab)/2 a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab a2 + b2 = c2

Fermats gåta Finns det heltal a, b, c som uppfyller a3 + b3 = c3 ? Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a4 + b4 = c4 ? Svar: NEJ! osv….

Fermats gåta a, b, c som uppfyller an+ bn = cn P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfyller an+ bn = cn för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

Lösning av spännande problem väcker intresse…

Födelsedagsproblemet Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag? 24

Födelsedagsproblemet n sannolikhet 23 50% 30 70% 41 90% 47 95% 57 99% För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! 25

Schackbrädesproblemet Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…) Schackbräde utan två hörn 26

Snabbräkning på Gauss vis C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring 27

Snabbräkning på Gauss vis Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) 1 + 2 3 … 100 99 98 101 (100·101)/2 = 5050 28

Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

Von Kochs snöflingekurva Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

En resa in i Seahorse Valley…

Den Gyllene Kunskapstriangeln Intresse Själv-förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!

Kunskap Intresse Själv-förtroende 35

Möbiusband Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop. 36

Möbiusband Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868). Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra. 37

Möbiusband …i tekniska tillämpningar

Möbiusband …i konsten ”Endless ribbon” av M. Bill 1935

Möbiusband …i konsten ”Immortality” av J. Robinson

Möbiusband …i konsten ”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

Möbiusband …som frimärksmotiv

Kunskap Intresse Själv-förtroende 43