Föreläsning 1-2 Logik med tillämpningar

1-2 Innehåll: u Registrering u Genomgång av kursmaterialet u Laborationsregler u Den gamla kursutvärderingen u Introduktion till kursen u Kapitel 1 och i Ben-Ari u Efter dagens föreläsning kan uppgift 1-3 på laboration 1 lösas. Börja i tid!

1-2 Hur kan vi nås? u 1 = Kim Bäckström u 2 = Lena Kallin

1-2 Kursmaterial u Övningshäfte i Prolog 63 sidor 38 övningar + svar. Säljs för 40:- u OH-bilder från föreläsningarna. 40:- Finns ”gratis” på www ca 1-2 dagar efter föreläsningen. u ”Teori-boken” 4 första kapitlen ingår (ca 200 sidor) u ”Prolog-boken” 13 första kapitlen (inte hela kapitlen) ingår (< 250 sidor)

1-2 Schemaändringar u Tentamen flyttad till den 17/12 klockan 9-15 i skrivsal 5. u Grupp 1 och 2 har blivit bättre fördelade mellan för- och eftermiddag. (Kim har grupperna på förmiddagen och Lena de på eftermiddagen.)

1-2 Laborationerna u 3 stycken u Samarbete två och två tillåtet men ska anges i rapporten. u Sista datum måste hållas på morgonen! –17/11, 21/12 och 15/12 –Alla klara 19/1 u Omlaborationer till hösten.

1-2 Kursutvärdering u Vad sa förra årets studenter? –/~kursv/TDBB08/HT-96/kursvsamf.html u Vad skulle förändras och vad har förändrats? u Vad händer med utvärderingen i år?

1-2 u Till nästa år ska jag kolla upp vad som ingår på diskret matematik nogrannare och kanske gå lite fortare fram i början för att få mer tid till de mer krävande avsnitten. –Satslogik (kap i Grimaldis bok) ingår i kursen u Nästa år ska jag försöka se till att man i slutet av kursen tar upp målen igen och tillsammans diskuterar huruvida de är uppnådda eller ej. –Ska göras... u Eftersom det var första året jag höll i kursen så räckte tiden inte riktigt till att hitta bra exempel, ofta tog jag dem direkt ur boken. Av samma anledning ligger OH-bilder och föreläsningen i övrigt väldigt nära boken. Detta kommer att förändras till nästa år. –Kommer fortfarande att följa boken tätt men förhoppningsvis ska det bli andra exempel än de i boken. u Eventuellt kommer jag att omfördela timmarna så att den teoretiska logiken får en föreläsning till på bekostnad av Prologen. Sedan kommer Prologgenomgångarna att förändras med mer programmeringsexempel t.ex.. –Kommer inte förändra indelningen eftersom en stor del av satslogiken är förkunskaper. Mer exempel på Prologen kommer det att bli.

1-2 u Håller med om kommentaren att det inte var bra med labuppgifter bland gruppövningsuppgifterna. Detta kommer att förändras till nästa år. –Inga labuppgifter finns bland gruppövningarna längre u Jag planerar att försöka byta kurslitteratur till nästa år. –Har ännu inte hittat någon likvärdig litteratur men sökningen fortsätter. u Här borde vi ha haft en gruppövning i labsal där vi visat hur man startar upp och kör Prolog. Det kommer troligen att införas nästa år –Kommer att tas upp på en föreläsning i stället. u Att antalet handledningstimmar känts som för lite är inte bra. Vi får se över om kursen kanske behöver fler timmar till nästa år. –Vi har fått mer tid men samtidigt mer studenter… Kom ihåg att använda utom handledningstiden! u Bra att OH-bilderna uppskattas även om jag inte hade avsett att de skulle ersätta kursboken. Jag kommer att fortsätta arbeta med materialet till nästa år. –Arbetar...

1-2

Logikprogrammering med Prolog Logik Grundläggande teori Vad kommer att tas upp på kursen? u Kursens mål: –ge grundläggande kunskaper om och förståelse för formella logiska system, –ge grundläggande kunskaper i dess tillämpningar, exemplifierat med teorembevisning och logikprogrammering (i språket Prolog).

1-2 Gruppövning 1 - Satslogik1 Gruppövning 2 - Satslogik2 Gruppövning 3 - Predikatlogik1 Gruppövning 4 - Prolog Gruppövning 5 - Predikatlogik2 Gruppövning 6 - Gamla tentor Lab 1 17 november Lab 2 1 december Lab 3 15 december

1-2 Vad är logik? u Logik formaliserar (bland annat) hur slutsatser får dras från givna antaganden: Antaganden Logiska deduktionsregler Slutsatser

1-2 Antaganden Logiska deduktionsregler Slutsatser Vad kan logik användas till? u Automatisk teorem- bevisning – Resolution u Skapa en specifikation för ett program och bevisa dess korrekthet u Representera och resonera om kunskap – Expertsystem

1-2 u Exempel på slutsatsdragning (syllogism): Antagande 1. Alla män är dödliga. Antagande 2. X är en man. Slutsats (syllogism): Därför är X dödlig. X = Sokrates u Grekerna klassificerade och namngav regler för slutsatsdragning, som syllogism ovan. Axiom och teorem är andra ord som lever kvar. u Lögnarens paradox: –Kretensaren Epimenides: ”Alla kretensare ljuger”

1-2 Satslogik u En mening kan ha värdet sant eller falskt. Meningarna kallas utsagor eller satser. u Utsagor kan kombineras med boolska operatorer till satslogiska uttryck. u Logik är roligt. Jorden är rund. Logik är roligt och jorden är rund. u Utsagan är sann eftersom de båda ingående satserna är sanna….

1-2 Predikatlogik u Utökning av satslogiken. u Man kan definiera funktioner som har boolska värden som resultat och använda dessa i logiken. u Man kan tala i termer av ”det existerar” och ”för alla”. u Mest använda systemet inom datavetenskapen, Prolog t. ex. bygger på resultat från predikatlogiken.

1-2 Det finns även andra typer av logik: u Flervärd logik - sant, falskt och kanske u Intuitionistisk logik - ett matematiskt objekt finns endast om det kan bevisas/konstrueras u Modal logik - nödvändigt och möjligt u Temporal logik - alltid och ibland u Fuzzy logik - kontinuerlig flervärd logik (mer om det i slutet av kursen...)

1-2 Logiska system u Syntax - Definierar regler för vilka symboler vi kan använda och hur dessa kan kombineras och manipuleras u Semantik - Ger en mening åt symbolerna och gör formlerna användbara. u Sundhet och fullständighet

1-2 Satslogiken

1-2 Olika beteckningar u Diskret matte kursen –utsaga –primitiv utsaga –sanningsvärdestabell –tautologi u Alternativa ord –sats, proposition –atom –sanningstabell –valid sats

1-2 Interpretationer (= tolkningar) Definition (2.3.1) Låt A vara en sats, och låt {p 1 …p n } vara mängden av atomer som förekommer i A. En interpretation för A är en funktion v:{p 1 …p n }  {T,F}, dvs v anger ett sanningsvärde för varje atom i A. Sanningsvärdet som ges för en sats följer sanningstabellernas definitioner.

1-2 Logisk ekvivalens  Definition (2.4.1): Två formler A 1 och A 2 sägs vara logiskt ekvivalenta om v(A 1 ) = v(A 2 ) för alla tolkningar v. Notation: A 1  A 2. u För att visa ekvivalens räcker det att kontrollera alla tolkningar som anger sanningsvärden för atomerna i de avsedda formlerna.

1-2 Är inte  och  samma sak?  Tecknet  är bara ett kortare sätt att skriva "är logiskt ekvivalent med", men  är en operator i logiken som vi beskriver. u Metaspråk och Objektspråk.  Teorem (2.4.4) A l  A 2 omm A l  A 2 är sann i alla tolkningar.

1-2 Delformler och propra delformler u Definition (2.4.5) (Fritt från boken) A är en delformel till B om A kan bytas ut mot en atom i B och B fortfarande är en syntaktiskt korrekt formel. A är en proper delformel till B om A är en delformel till B men A är inte identisk med B.

1-2 Substitution  Definition (2.4.6) Om A är en delformel till B och A' är en formel, så är B' en substitution av A' för A i B (Notation: B’ = B{A  A’}) om A byts ut mot A' i B.  Teorem (2.4.7) Låt A vara en delformel till B och låt A' vara en formel så att A  A'. Då gäller B  B{A  A'}. u Sidorna (med figur 2.9) är viktiga!

1-2 Definition (2.5.1) En formel A är satisfierbar om den har värdet T i någon tolkning. En sådan tolkning kallas för en modell för A. A är valid (en tautologi) om dess värde är T i alla tolkningar. Definition (2.5.2) En formel är osatisfierbar eller motsägelsefull om den inte är satisfierbar, dvs den har värdet F i alla tolkningar (den har ingen modell). Den är icke-valid eller falsifierbar om den har värdet F i någon tolkning.

1-2 Teorem (2.5.3) A är valid omm  A är osatisfierbar. A är satisfierbar omm  A är falsifierbar. u Validitet och osatisfierbarhet är dualer. u Ett bevis för att ”A är valid” är samtidigt ett bevis för att ”  A är osatisfierbar”.

1-2 Beslutsprocedur Definition (2.5.4) Givet en klass av formler U, är en algoritm en beslutsprocedur för U om, givet en godtycklig formel A, algoritmen terminerar och returnerar svaret ‘ja’ om A  U och ‘nej’ om A  U. Klassen ovan kan t ex vara klassen av satisfierbara formler eller klassen av valida formler.

1-2 Refutering  (Kallas även för motsägelsebevis.) Vi visar att A är valid genom att visa att  A är osatisfierbar. u En beslutsprocedur för validitet som bygger på en beslutsprocedur för satisfierbarhet. u Det är enkelt att skapa en beslutsprocedur för satisfierbarhet: – Sök igenom alla olika tolkningar (ändligt antal) om vi hittar en som ger värdet T är svaret ’Ja’ annars ’Nej’.

1-2 Definition (2.5.5) En mängd formler U={A 1, A 2, …, A n } är ömsesidigt satisfierbara om det finns en tolkning (för atomerna i U) så att v(A 1 ) = v(A 2 ) = … = v(A n ) = T Teorem (2.5.6) Om U är satisfierbar så är även U-{A i }, för godtyckligt 1  i  n, satisfierbar. Bevis: Gruppövningsuppgift.

1-2 Teorem (2.5.7) Om U är satisfierbar och formeln B är valid, så är även U  {B} satisfierbar. Teorem (2.5.8) Om U är osatisfierbar så är även U  {B} osatisfierbar för alla formler B. Teorem (2.5.9) Om U är osatisfierbar och någon formel A i, 1  i  n, är valid, så är U-{A i }också osatisfierbar.

1-2 Definition (2.5.10) U är en mängd formler och A är en formel. Om A är sann i alla modeller för U så är A en logisk konsekvens av U. Notation U  A. (Kom ihåg: En tolkning är en modell för U om den ger värdet T för alla formler i U.) Med andra ord: A behöver inte vara sann i alla tolkningar (valid), utan det räcker om den är sann i alla tolkningar där alla formlerna i U är sanna.

1-2  och  hör ihop på samma sätt som  och  Teorem (2.5.11) U  A omm  A 1  A 2  …  A n  A. Teorem (2.5.12) Om U  A så gäller U  {B}  A för alla formler B. Bevis: Gruppövningsuppgift. Teorem (2.5.13) Om U  A och B är valid så gäller U - {B}  A. Bevis: Gruppövningsuppgift.

1-2 Vi kan nu definiera matematiska teorier. Definition (2.5.14) Låt T(U) = {A | U  A}. T(U) kallas teorin av U och elementen i T(U) kallas teoremen av U. Elementen i U kallas axiomen av T(U). I en matematisk teori antar vi en mängd formler som sanna (axiomen) och teorin definierar de logiska konsekvenserna av våra antaganden.

1-2 Bevistips: u Alla formler kan skrivas i termer av  och valfri operator. Därför kan bevis göras endast med t ex negation och konjunktion, och ändå vara tillämpliga på generella formler. u För att visa att något är sant i alla tolkningar så visar man att det gäller för en godtycklig tolkning. u Om beviset innehåller ”omm” måste man komma ihåg att bevisa åt ”båda hållen”.