Fysikexperiment, 5p1 Random Walk 36 försök med Random walk med 1000 steg. Beräknad genomsnittlig räckvidd är  1000  32. Visualisering av utfallsrum med en gränsfunktion.

Fysikexperiment, 5p2 Vad är slumptal? Äkta slumptal utgår från fysikaliska processer! - singla slant - kasta tärning (jmf Lotto-spelen) - antal radioaktiva sönderfall under en viss tid Pseudo-slumptal genereras genom någon (matematisk) metod! - 7:e decimalen ur kvadratroten(ur alla heltal) t.ex. (för att ta en enkel – men dålig – metod). En standardslumptalsgenerator genererar slumptal mellan 0 och 1 med en flat gränsvärdesfördelning.

Fysikexperiment, 5p3 Slumptal mellan 0 och 1 10 slumptal (bin=1/1000) 100 slumptal (bin=1/1000) slumptal (bin=1/1000) slumptal (bin=1/10000) Funktionen rand() i MatLab

Fysikexperiment, 5p4 Summera slumptal mellan 0 och 1 Vi noterar att fördelningarna samlas kring det sanna värdet som i dessa fall är 1 (vänster), 2,5 (mitten) och 10 (höger) I varje histogram finns samplade värden på summorna

Fysikexperiment, 5p5 Gränsvärdesfunktionen Grön kurva Blå kurva Röd kurva

Fysikexperiment, 5p6 Centrala gränsvärdessatsen zOm vi summerar ett stort antal slumpmässigt fördelade tal, så kommer den asymptotiska fördelningen för summan att under vissa allmänna villkor, gå mot en normalfördelning. zDetta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!! Central Limit Theorem på engelska eller Normal Convergence Theorem

Fysikexperiment, 5p7 Normalfördelningsfunktionen zNormerad till 1, dvs integralen av f för -  < x < +  är 1.  Maximum vid x =   Symmetrisk runt x =   När  är litet så blir exponenten stor -> lutningen blir större.  När  är litet så blir normaliseringskonstanten större -> höjden vid toppen blir relativt sett högre. Men hur ser den ut då?

Fysikexperiment, 5p8 Grafisk form av Genom att sätta para- metern  = 0 (medel- värdet noll) skrivs funktionen: Sätter vi dessutom bredden  = 0 får vi:

Fysikexperiment, 5p9 Tolkningen av: Tolkning av normalfördelningsfunktionen som en sannolikhetsfördelning. Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet. (99,73 %) (95,45 %) (68,27 %)

Fysikexperiment, 5p10 Felfunktionen erf(t) Notera att MatLabs erf(t) är definierad med s 2 = 1/2 i motsats till bokens s 2 = 1. Dvs sannolikheten att vid en mätning finna ett värde mellan -1  < t < +1  blir = erf(1/sqrt(2)) = 68,27% 0,6827

Fysikexperiment, 5p11 Parametrarna för den asymptotiska fördelningen Teorin ger oss en asymptotisk fördelning Mätningar ger oss en verklig fördelning som av många olika skäl bara innehåller ett mycket begränsat antal mätningar! Minsta kvadratmetoden låter oss bestämma vilka värden på de teoretiska parametrarna som ger bästa överensstämmelsen

Fysikexperiment, 5p12 ”Real life” example! Vi noterar att statistiken (antalet händelser) är inte överväldigande. Stora fluktuationer i data – vad är signal och vad är inte signal? Generering av bakgrund (blå linje) med hjälp av slumptal (många stor- leksordningar högre statistik så att osäkerheten blir liten). Den röda kurva motsvarar en avvikelse från den röda med 5,3 standardavvikelser.

Fysikexperiment, 5p13 Längden av en student! Längden hos 18 manliga studenter på fysiklinjen 2002: 179, 176, 173, 174, 182, 191, 192, 182, 169, 170, 181, 183, 178, 173, 171, 177, 176, 184. Mindre bra Bättre

Fysikexperiment, 5p14 Histogram med anpassade data

Fysikexperiment, 5p15 En ”riggad” tärning Nedan visas utfallet för kast med en normal tärning. Gränsfunktionen förväntas vara en konstant P(x) = 1/6 för 1  x  6. Denna tärning misstänker vi vara riggad!

Fysikexperiment, 5p16 Bestämning av P(x) Antag att vi har antalet utfall som i figuren: p(1) = a, P(2) = b, P(3) = c, P(4) = d, P(5) = e, P(6) = f. Antag vidare att den ”sanna” fördelningen bör vara: P(1) = x, P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = y, P(6) = z. Vilka värden på parametrarna för den asymptotiska (sanna) fördelningen ger bäst överensstämmelse med observationerna? Ett sätt att välja de “bästa” värdena för parametrarna är att minimera skillnaden mellan observationer och förväntade värden: Vi kan inte gärna välja att summera skillnaderna (observation – förväntad). Bidrag med olika tecken kan då summeras till noll även om bidragen i sig är stora. Summan av |observation – förväntad| löser det problemet, men två små avvikelser blir lika viktiga som en stor. Summan av (observation – förväntad) 2 löser även det problemet. Denna metod - minsta kvadratmetoden har i allmänhet andra teoretiska fördelar, och är den som oftast används.

Fysikexperiment, 5p17 Minstakvadratmetoden Obs medelvärdet av b,c,d,e! ”a” mätt endast en gång (liksom ”y”)!

Fysikexperiment, 5p18 Exempel på utfall! #Nomi- nellt UtfallBeräk- nat Alterna- tivt 10,1430,146 0,148 20,1640,1630,165 30,1640,1560,165 40,1640,1660,165 50,1640,1760,165 60,2000,1920,1940,192

Fysikexperiment, 5p19 Nomenklaturen zMedelvärdet (stickprovsmedelvärdet) kan skrivas zStandardavvikelsen (stickprovsvariansen) kan skrivas (V = variansen) I MatLab beräknas medelvärdet: = mean(x) I MatLab beräknas kvadratroten ur variansen: s = std(x)

Fysikexperiment, 5p20 Uppgifter z4.2 ymedelvärdet 9,7 yStandardavvikelsen = 0,2 (0,16) z4.3 yRäkna själva med samma mall som ovan z4.5 yPå tavlan z4.9

Fysikexperiment, 5p21 Problem 4.2 Studentg(g i - )(g i - )^2 19,90,20,04 29,6-0,10,01 39,5-0,20,04 49,70,00,00 59,80,10,01 9,7Summan=0,10 Medelvärdet blir 9,70 och standardavvikelsen blir 0,10 som beräknas genom Observera att 0,10 (standardavvikelsen) INTE är ett mått på osäkerheten i medelvärdet! Detta återkommer vi till i nästa lektion.