Talteknologi (vt04): Sannolikhetslära och markovmodeller Leif Grönqvist GSLT, MSI@VxU, Ling@GU

Sannolikhetsteori Vad är sannolikhetsteori? Vad behöver vi det till? Teori för att hantera osäkerhet Beräkna värden på hur troligt det är att något inträffar Definition genom relativ frekvens Vad behöver vi det till? Bra för att modellera allt för komplexa proceser: språk! Eller för att bli bättre på Roulette, Black Jack, Poker…

Viktiga begrepp Experiment/Försök (experiment/trial): processen med vilken en observation görs. Exempel: Kasta tärning och se vad det blev Titta ut genom fönstret varje dag klockan 12 tills den dag det regnar och se hur många dagar det tog Utfall (basic outcome): ett resultat av ett försök. Exempel: ”femma”, ”trea” 8 dagar, 0 dagar Utfallrum (sample space): mängden av alla utfall (Ω). Exempel: {”etta”, ”tvåa”, ”trea”, ”fyra”, ”femma”, ”sexa”} {0, 1, 2, …}

Utfallsrummet Egenskaper hos utfallsrummet: Diskret / kontinuerlig Ändligt / oändligt Diskret Kontinuerlig Ändligt Tärning - Oändligt Regnexemplet Kasta spjut

Fler begrepp Händelse (event): en delmängd av utfallsrummet. Exempel: {“femma”, “sexa”} {1, 2, 3} Händelserum (event space): mängden av alla delmängder av utfallsrummet (potensmängden av Ω), benämns 2Ω Hur stort är händelserummet för tärningsexemplet?

Fler begrepp Frekvensfunktion (probability function): P(x) = P(X=x), exempel: P({“femma”, “sexa”}) = 1/3 Täthetsfunktion (för kontinuerliga sannolikheter), exempel: P(20<X<40) = ytan under kurvan från 20 till 40 Några axiom: P(Ω) = 1 P(x) = 0 omm “x inträffar aldrig” P(x) = 1 omm “x inträffar alltid” 0≤P(x)≤1 för alla händelser x

Räkneregler AB =   P(A B) = P(A)+P(B) Exempel från boken Exempel: A={“etta”, tvåa”}, B={“fyra”, “femma”} Exempel från boken Kasta ett mynt tre gånger. Hur stor chans är det att vi får exakt två “klavar” [på tavlan]

Betingade sannolikheter Kallas också beroende sannolikheter eller a posteriori-sannolikheter (att jämföra med a priori-sannolikheter Definition: Kallas multiplikationsregeln

Bayes regel Ur multiplikationsregeln följer Bayes regel: Bra att ha om P(A|B) är lättare än P(B|A) att beräkna

Exempel med Bayes regel S: Har stel nacke M: Har Meningitis (farlig sjukdom) P(S|M) = ½, P(M) = 1/50000, P(S) = 1/20 Bör man vara orolig om man är stel i nacken?

Bayes regel i datalingvistiken Ofta vill man beräkna P(A|B) men P(B|A) är mycket lättare att beräkna: Vi kanske vill hitta B så att P(A|B) maximeras:

Bayes regel i datalingvistiken, forts. Eftersom A är konstant under maximeringen kan vi förenkla: Denna formel är grunden för en vanlig form av ordklasstaggning, taligenkänning, maskinöversättning

Stokastiska variabler Lite förvillande benämning eftersom de faktiskt är funktioner: X : Ω  R (R är de reella talen) En diskret stokastisk variabel: Y : Ω  S (S är en uppräknerlig delmängd av R) Exempel: kasta två tärningar och summera: Ω={”11”, ”12”, ”21”, …, ”66”} S={2, 3, …, 12} pmf: en funktion som ger sannolikheten för elementen i S, benämns ofta p(x) Exempel: två tärningar [på tavlan]

Väntevärde Definieras: Skrivs ofta µ Exempel: en tärning [på tavlan] Vad är det egentligen? Jo ett medelvärde!

Varians Var(X) = E((X- µ)2) eller: µ, dvs E(X) är medelvärdet Var(X) är ett mått på hur mycket X varierar Ett ofta använt mått är standaravvikelse: Var(X) skrivs ofta 2 Exempel: två klassers tentaresultat [på tavlan]

Fördelningar Sättet “sannolikhetsmassan” är fördelad över Ω Likformig fördelning (uniform distribution) Alla element i Ω har samma sannolikhet P(x)=1/| Ω| Exempel: en tärning. Normalfördelning (normal distribution) Gauss ”Klockkurva” – resultatet av många små avvikelser Exempel: släpp en boll från ett flygplan Beräknas med parametrarna: µ och 

Kombinatorik Sannolikhetsteori för likformiga fördelningar Enkelt att beräkna sannolikhet som antalet gynnsamma utfall delat med totala antalet utfall En vanlig modell: En urna med kulor (eventuellt numrerade, olikfärgade) Tag upp ett antal kulor och notera deras nummer/färg Lägg tillbaka kulan eller inte Notera ordningen de dras i eller inte Resulterar i fyra kombinationer

Kombinatorik, fyra fall Med återläggning, notera ordningen Stryktips Utan återläggning, notera inte ordningen Lotto Med återläggning, notera inte ordningen Utan återläggning, notera ordningen

De fyra fallen Räkna antalet sätt att välja k kulor ur en urna med n

En Markovmodell En tillståndsmaskin Man kan beräkna S={s1, s2, …, sN}: en mängd tillstånd ={S1, S2, …, SN}: initialsannolikheter A={aij}, i,j tas från S: transitionssannolikheter X är en tillståndssekvens Man kan beräkna Sannolikheten för en tillståndssekvens X Troligaste tillstånd i tidpunkt t … Ett exempel [på tavlan]

En dold Markovmodell (HMM) Vi lägger till observerade symboler tagna ur ett alfabet K = {k1, k2, …, kM} Sannolikheter för att emittera en given symbol: B={bijk}, i,j tas från S, k från K O är en sekvens av symboler Samt tänker oss att tillståndssekvensen är osynlig Tre viktiga uppgifter kan urskiljas: Beräkna sannolikheten för en symbolsekvens O givet en modell Beräkna den troligaste tillståndssekvensen givet en symbolsekvens O (Viterbi-algoritmen!) Givet en symbolsekvens O, ta fram sannolikheter som bäst förklarar O

HMM-exempel En observationssekvens: Alfabetet: K={får, man, tacka, “.”} Tillstånd: S={nn, vb, pn, dl} Transitionssannolikheter: anndl=0,29, … [OH] Emmisionssannolikheter: annfår=1.2e-4, … [OH] får man tacka .