Kan två räta linjer ge upphov till kaos? Matematikbiennalen 2010 Hans Thunberg, KTH Torsten Lindström, Linnéuniversitetet

Iterationer – Diskreta dynamiska system f x0x0 x 1 = f (x 0 ) x1x1 x 2 = f (x 1 ) x0x0 x 1 = f (x 0 ) x 2 = f (x 1 )=f ( f ( x 0 ) ) x3x3 …… Vad händer i det långa loppet?

Användningsområden, exempel Newton-Raphsons metod (ekvationslösning) Modellering av dynamiska förlopp: Populationsmodeller, väderprognoser … – x 0 är initialt tillstånd ( t ex populationsstorlek) – f beskriver tidsutveckling – x 1 = f (x 0 ) prognos för tillstånd en tidsenhet senare | – x n = f (x n-1 ) prognos för tillstånd vid tid n

Agenda Några viktiga begrepp illustrerade med f(x) = ax(1-x) Resultat om s k skeva tältavbildningar y = f (x) Lindström, Thunberg: An elementary approach to dynamics and bifurcations of skew tent maps. Difference Equations and Applications 14 (2008), Issue 8,

Exempel: Kvadratiska funktioner f (x) = 1.5 x (1-x)

Startvärde x 0 = 0.1 resp x 0 = 0.8

f (x) = 1.5 x (1-x) x = 1/3 är en fixpunkt f(1/3) = 1/3 och den är attraherande (stabil) x n 1/3 när n ∞ för alla startvärden x 0 nära 1/3

f (x) = 3.4 x (1-x)

f (x) = 3.4 x (1-x), x 0 = 0.1

f (x) = 3.4 x (1-x) har en periodisk bana av längd 2 (2-cykel) p ≈ 0.45 och q ≈ 0.84 f(p) = q och f(q) = p dvs f(f(p))=p och f(f(q))=q som är attraktiv (stabil) närliggande startvärden x 0 närmar sig detta periodiskt förlopp x 0 x 1 ……… ≈ 0.45 ≈ 0.84 ≈ 0.45

f (x) = 3.84 x (1-x) har en stabil periodisk bana av längd 3 (3-cykel)

f (x) = 4 x (1-x) uppvisar kaotisk dynamik Inga attraherande periodiska banor Typiska banor fyller ut hela intervallet (0,1) Små skillnader i startvärden växer exponentiellt med antal iterationer

Grafisk iteration y = f (x) y = x x0x0 x 1 = f(x 0 ) x1x1 x2x2 x2x2 x3x3 Fixpunkt: f (x) = x

När är en fixpunkt attraktiv? t(x) = 1 + k x har fixpunkt x = 1/(1-k) ( lösning till ekvationen t(x) = x ) Vi undersöker attraktivitet med grafisk iteration – Attraktiv om | k | < 1. Bevis: …. Allmänna fallet: Om f(x) har fixpunkt p, är denna attraktiv om ….? – Attraktiv om | f ’ (p) | < 1 (Bevisas t ex med hjälp av Medelvärdesatsen)

Skeva Tältavbildningar ( TAR(1)-modeller ) T (x) = 1 – k x, x ≥ c x, x < 0 y = 1 – k x y = 1 + c x 1 c och k konstanter (parametrar)

Två fall c >1, k ≤ - 1 – En instabil fixpunkt, övriga x 0 → ± ∞ c ≤ 1, -1 < k < 1 – En globalt attraktiv fixpunkt

2 - cykel För vilka värden på c och k existerar en 2- cykel? Och när den stabil? OBS: p och q utgör en attraktiv 2-cykel till funktionen t(x) om och endast om p och q båda är attraktiva fixpunkter till t 2 (x):= t(t(x))

2-cykel Om k > 1 och – 1/k < c < 1/k har t(x) en attraherande 2-cykel Bevis: ….

n-cykler eller kaos ? I området k > 1 och 1/k < c < 1 har t(x) En attraktiv periodisk bana när 1+ 1/c + 1/c 2 + … + 1/c n-2 < k < 1/c n-1 (*) Kaotisk dynamik om c och k är utanför detta område Villkoret (*) garanterar att (i)Att det finns en periodisk bana med en punkt > 0 och de övriga < 0 (ii)Att lutningen för t n uppfyller |kc n-1 | < 1

Referenser Lindström, Thunberg: An elementary approach to dynamics and bifurcations of skew tent maps. Difference Equations and Applications 14 (2008), Issue 8, – Preprint-version av artikel ovan – Introduktion till dynamiska system