NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR Byggnadsmekanik gk 5.1 NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR snitt : INTRODUKTION xy är symmetrisk plan för balken och lasten. y är symmetrisk axel för tvärsnittet. Med dessa förutsättningar har man ett plan problem, böjningen äger rum i planen xy. Den vertikala lasten P ger upphov till en tvärkraft V och ett böjande moment M i balken. Tvärkraften V ger upphov till små skjuvdeformationer som ofta kan försummas, och till skjuvspänningar som kommer att studeras vid nästa föreläsningen. Böjande momentet M ger upphov till töjningar  och normalspänningar  som studeras i denna kapitel.

Byggnadsmekanik gk 5.2 REN BÖJNING Vi förutsätter först att belastningen ger upphov till ett konstant böjande momentet M i balken. Detta innebär att tvärkraften V är noll (V = dM/dx). Exempel ( Ren böjning mellan de två krafter )

KRÖKNING  : krökningen  : krökningsradien Byggnadsmekanik gk 5.3 KRÖKNING Balken brevid utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo Dragning råder i överkanten av balken. Tryckning råder i underkanten av balken.  : krökningen  : krökningsradien I detta fall är M < 0 och  > 0 Moment diagram M = - Mo Det böjande momentet ritas på dragnings sida (om x-axeln representerar medellinjen)

Byggnadsmekanik gk 5.4 TÖJNING Balken a b c d utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo Dragning råder i delen a e f c. Tryckning råder i delen e b d f. Medellinjen ef behåller sin längd dx under deformationen och blir en cirkelbåge med radie . Medellinjen tas som x-axeln. Snitten ab och cd är fortfarande plana och vinkelrätta till medellinjen efter deformationen. längd för mn efter deformationen : töjning för mn :

NORMALSPÄNNING Normalkraften N är noll Byggnadsmekanik gk 5.5 NORMALSPÄNNING Normalkraften N är noll Materialet är linjärt och elastikt : O är tvärsnittets tyngdpunkt. Medellinjen går genom tvärsnittets tyngdpunkt Samband mellan M och  I : Yttröghetsmoment kring z-axeln

ICKE KONSTANT BÖJANDE MOMENT Exempel 1 Byggnadsmekanik gk 5.6 ICKE KONSTANT BÖJANDE MOMENT Exempel 1 Analysen som har gjorts gäller balkar som utsätts för ett konstant böjande moment M. Om balken utsätts för ett icke konstant moment, närvarandet av tvärkraften V ger upphov till skjuvspänningar och skjuv-deformationer. Man kan visa att inflytandet av dessa effekter på normalspänningen är försumbart och att resultaten i sidorna 6.4 och 6.5 kan användas även om balken utsätts för ett icke konstant böjande moment. Maximala dragspänning och tryckspänning i balken med I eller R tvärsnitt ?

Spänningsfördelning i snitt B Byggnadsmekanik gk 5.7 Det böjande momentet måste först ritas för att hitta snittet där de maximala spänningarna finns. Spänningsfördelning i snitt B Slutstas : de maximala spänningarna finns i snitt B. För samma area, ger I-tvärsnittet maximala spänningar som är 34% lägre en ett rektangulärt tvärsnitt.

KOMBINATION AV N OCH M Exempel 2 Byggnadsmekanik gk 5.8 KOMBINATION AV N OCH M Exempel 2 Om belastningen ger upphov till både en normalkraft N och ett böjande moment M i balken, kan normalspänningen  erhållas genom att superponera spänningen som kommer från N och spänningen som kommer från M. Akta : detta samband förutsätter en viss konvention för M och y : - M > 0  dragning på underkanten. - y neråt. Maximala dragspänning och tryckspänning i balken ?

omedelbart till vänster om B ( N = 0 ) Byggnadsmekanik gk 5.9 omedelbart till vänster om B ( N = 0 ) N och M diagram Slutsats : kritiska snitt i del AB : omedelbart till vänster om B kritiska snitt i del BC : omedelbart till höger om B

omedelbart till höger om B ( N = - P ) Byggnadsmekanik gk 5.10 omedelbart till höger om B ( N = - P ) Slutsatser : Maximal dragspänning i balken : snitt omedelbart till vänster om B, överkanten. Maximal tryckpänning i balken : snitt omedelbart till höger om B, underkanten.

Exempel 3 Utan tryckkraften P Betong balk Byggnadsmekanik gk 5.11 Exempel 3 Utan tryckkraften P Betong balk De maximala spänningarna finns i snitt A Lasten q skapar dragspänningar i överkanten av balken. Dessa spänningar är maximala vid stödet. Eftersom betongen inte kan ta emot dragspänningar, behövs en tryckkraft P. Varför behövs det en tryckkraft P ?

Byggnadsmekanik gk 5.12 Med tryckkraften P Kraften P kommer från förspända kablar som placeras vid ett avstånd e = 0.1 m från tvärsnittets tyngdpunkt. Kraften P ger upphov till en konstant normalkraft N = – P och ett konstant böjande moment M = P e i balken. Med kraften P finns ingen dragspänning i balken och den maximala tryckspänningen minskar. snitt A