Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november B1118 Diskret matematik Tionde föreläsningen Bipartita grafer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Bipartita grafer 4 En bipartit graf är – En graf som kan hörnfärgas med tv ₢ färger. – En graf utan cykler av udda längd.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Relationer 4 En bipartit graf kan ocks ₢ ses som en relation mellan tv ₢ mängder X och Y, dvs en delmängd av XDY. Y X

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kompletta bipartita grafer 4 En bipartit graf är komplett om alla hörn i X har en kant till alla hörn i Y. Vi skriver K m,n om |X|=m och |Y|=n. Y X

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kantfärgning 4 En kantfärgning är ett sätt att färga kanterna s ₢ att kanter med ett gemen- samt hörn har olika färg.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kantfärgning av bipartita grafer  Sats. En bipartit graf kan kantfärgas med k färger om och endast om  (x)  k för alla hörn x.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Latinska kvadrater 4 Sats. Varje latinsk rektangel kan fyllas p ₢ till en latinsk kvadrat.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Konstruktion 4 Till en latinsk rektangel ordnar vi en kantfärgad bipartit graf A B C D E

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Fortsatt konstruktion 4 Vi tar sedan komplementet till denna bipartita graf dvs de kanter som inte finns med A B C D E A B C D E

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Och fortsatt 4 Komplementet kan kantfärgas med tv ₢ färger eftersom hörnen har valens tv ₢ A B C D E

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Färdigt! 4 Till slut kan vi sätta ihop det till en latinsk kvadrat.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Matchningar 4 En matchning i en graf är en mängd av disjunkta kanter.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Maximala matchningar 4 En matchning är maximal om det inte finns n ₢ gon matchning med fler kanter.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Fullständiga matchningar 4 En matchning M i en bipartit graf är fullständig om |M|=|X| eller |M|=|Y|.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Halls kriterium  Sats. Om |X|R|Y| finns det en fullständig matchning om och endast om |J(A)|S|A| för alla AaX, där J(A)={ ygY | xgA och x y }