Föreläsning 4: Sannolikhetslära

Slides:

Advertisements

Liknande presentationer

Föreläsning 3 25 jan 2010.

Advertisements

Föreläsning 4 28 jan 2009.

Inferens om en population Sid

F3 Matematikrep Summatecknet Potensräkning Logaritmer Kombinatorik.

Den teoretiska fysikens historia

Point Estimation Dan Hedlin

FL4 732G70 Statistik A Detta är en generell mall för att göra PowerPoint presentationer enligt LiUs grafiska profil. Du skriver in din rubrik,

Exempel Utifrån medicinsk erfarenhet är 5% av befolkningen smittade av ett visst virus. Ett nytt test har visat sig ge 80% av de smittade korrekt diagnos.

Algebra Kap 4 Mål: Lösa ekvationer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 5 november B1118 Diskret matematik Tredje föreläsningen - Kombinatorik.

Statistikens grunder, 15p dagtid

Idag ska ni få lära er om vad Pi är och dess historia.

Inferens om en ändlig population Sid

FL2 732G70 Statistik A Detta är en generell mall för att göra PowerPoint presentationer enligt LiUs grafiska profil. Du skriver in din rubrik,

732G22 Grunder i statistisk metodik

Statistikens grunder, 15p dagtid

Statistikens grunder, 15p dagtid

Statistikens grunder, dagtid

(Några begrepp från avsnitt 14.2)

Föreläsning 2: Grundläggande informationsteori

Dagens ämnen Vektorrum Underrum Linjärt hölje

Grundlägande statistik,ht 09, AN1 F5 Kombinatorik (KW 1.6) Ex.: På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika.

Skattningens medelfel

Fördelning på olika energinivåer

Centrala Gränsvärdessatsen:

FK2002,FK2004 Föreläsning 2.

Föreläsning 81 Sampling och urval Ofta möter vi påståenden av typen “4.5 miljoner svenskar såg VM-finalen i fotboll”, “en svensk tolvåring väger i genomsnitt.

732G81 Statistik Föreläsning 3 732G81 Statistik

F. Drewes, Inst. f. datavetenskap1 Föreläsning 11: Funktionella språk Funktioner och variabler i matematiken Funktionella språk LISP, ML och.

En mycket vanlig frågeställning gäller om två storheter har ett samband eller inte, många gånger är det helt klart: y x För en mätserie som denna är det.

Övningsexempel till Kapitel 4

Binomialsannolikheter ritas i ett stolpdiagram

Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet.

Föreläsning 5Forskningsmetodik 2005 Forskningsmetodik lektion 6.

Täthetsfunktion f(x) (”pdf”) Och fördelningsfunktion F(x) (”cdf”)

Sannolikhet Stickprov Fördelningar

Simulering Introduktion Exempel: Antag att någon kastar tärning

Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Poissonfördelningen Poissonfördelningen är en sannolikhetsfördelning för diskreta variabler som är mycket.

Normalfördelningen och centrala gränsvärdessatsen

Matematisk statistik och signal-behandling - ESS011 Föreläsning 3 Igor Rychlik 2015 (baserat på föreläsningar av Jesper Rydén)

Grundläggande statistik ht 09, AN

Talteknologi (vt04): Sannolikhetslära och markovmodeller

Mål Matematiska modeller Biologi/Kemi Statistik Datorer

Fysikexperiment, 5p1 Random Walk 36 försök med Random walk med 1000 steg. Beräknad genomsnittlig räckvidd är  1000  32. Visualisering av utfallsrum.

Några allmänna räkneregler för sannolikheter

Föreläsning 4 27 jan I en Fourierserie blir en koefficient t.ex. stor om funktionen harmoniserar med resp. trigonometrisk funktion dvs. De sinus-

Grundläggande statistik, ht 09, AN1 F6 Slumpmässigt urval 1. Population där X är diskret med fördelningen p(x). Medelvärdet μ och variansen σ². Observationer:

Forskningsmetodik lektion

Dagens ämnen ● Potensserier ● Definition ● Var konvergerar potensserien ● Räkning med potensserier ● Derivering ● Integrering ● Maclaurinserier.

Den gyllene kunskapstriangeln - vacker och spännande matematik

Vacker och spännande matematik

Matematikens Historia

1 Stokastiska variabler. 2 Variabler En variabel är en egenskap hos en individ /objekt. En variabel kan, som vi tidigare sett, vara kvalitativ eller kvantitativ.

Introduktion. Exempel: Till ett försök med bantningsmedlet Bantomid anmälde sig 14 personer frivilligt, alla med övervikt. De delades slumpmässigt in.

Betingade sannolikheter. 2 Antag att vi kastar en tärning och noterar antalet prickar som kommer upp. Låt A vara händelsen ”udda antal prickar”, dvs.

Diskreta slumpvariabler. Stokastiskvariabel En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en Funktion eller regel som tilldelar ett tal till varje Utfall.

1. Kontinuerliga variabler

Sannolikhet och statistik Tabell Används för att ge en bra överblick av svaren man fått in, datan. Består av rader och kolumner. Frekvens Är hur många.

X Sannolikhet Om man kastar en sexsidig tärning kan det bli sex olika utfall. Sannolikheten är lika stor för varje utfall.

Föreläsning 3 Programmeringsteknik

Aritmetik & algebra Geometri & bevis Förändring & procent Funktioner

Statistikens grunder 1 (dagtid)

Mer om repetionssatser och arrayer

2013 HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder, 15p dagtid

Grundlägande statistik,ht 09, AN

Grundl. statistik F2, ht09, AN

STATISTIK OCH SANNOLIKHETER

Introduktion till kursen Digitalteknik 3p

Ungefär kvart över 3 Ledtråd.

Presentationens avskrift:

Föreläsning 4: Sannolikhetslära Anders Västberg vastberg@kth.se 08-790 44 55

Historia Egyptierna spelade ett sorts tärningsspel redan 3500 fkr Vår vanliga tärning uppfanns ca 1600 fkr i Kina Credo (1400 talet) Brevväxling mellan Pascal, Fermat och Huygens (1654) Kolmogorov (1933)

Använding Stokastiska signaler Mottagen signal-brus förhållande i en mobiltelefon Hur samtal och deras längd är fördelade i en telefonväxel eller i en cell runt en basstation Hur stor effektförbrukning en digital CMOS-krets har under drift Statistik (Mätningar, Kvalitetsbedömning)

Sannolikhetsteori Definition: utfall Definition: utfallsrum Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas ett utfall. Definition: utfallsrum Mängden av alla möjliga utfall kallas utfallsrummet. Definition: händelse En samling utfall kallas en händelse.

Definition av diskret och kontinuerligt utfalllsrum Om antalet utfall är ändligt eller uppräkneligt oändligt, sägs W vara ett diskret utfallsrum. Om antalet är ändligt, sägs W vara ett ändligt utfallsrum. Om antalet utfall ej är ändligt eller uppräkneligt oändligt, sägs W vara ett kontinuerligt utfallsrum.

Kolmogorovs axiom (sid 44) För varje händelse A definierad på utfallsrummet W tilldelar vi ett tal P(A) som vi kallar sannolikhet. Dessa sannolikheter väljs så att de uppfyller följande axiom: P(A) ³ 0 P(W)=1 N stycken händelser An där n=1, 2, 3, …, N med egenskapen Am Ç An=f där m¹ n

Defintion av Stokastisk variabel En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion definierad på ett utfallsrum. X(u) W u 1 2 3 4 5

Definition Om antalet utfall är ändligt eller uppräkneligt oändligt, sägs W vara ett diskret utfallsrum. Om antalet är ändligt, sägs W vara ett ändligt utfallsrum. Om antalet utfall ej är ändligt eller uppräkneligt oändligt, sägs W vara ett kontinuerligt utfallsrum.

Definition En stokastisk variabel är diskret om den kan anta ett ändligt eller uppräkneligt oändligt antal olika värden. En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta alla värden i ett intervall. Intervallet kan ha oändlig utsträckning (värdemängden kan också bestå av flera åtskilda intervall).

Definition Om det finns en funktion f sådan att så kallas X för en kontinuerlig stokastisk variabel och f kallas frekvensfunktion för X.