KVALITATIV ANALYS - FACKVERK Byggnadsmekanik gk 11.1 KVALITATIV ANALYS - FACKVERK Fackverket har 9 obekanta. (4 reaktioner + 5 normalkrafter) Genom att använda knutpunktsmetoden kan 8 jämviktsekvationer ställas upp (24 noder). Fackverket är statiskt obestämt av grad 1. Det går inte att beräkna alla obekanta enbart med jämviktsekvationer. STATISKT OBESTÄMDHET Syftet med en fackverksanalys är att bestämma stödreaktioner och normalkraften N i varje stång. Om alla obekanta kan bestämmas enbart genom jämviktsekvationer är fackverket statiskt bestämt. I andra fallet är fackverket statiskt obestämt. Många andra jämviktekvationer kan ställas upp, genom till exempel att snitta och betrakta jämvikten för en del av strukturen. Dessa ekvationer är linjära kombinationer av de 8 ekvationer som erhålls med knutpunktsmetod och ger ingenting nytt. Exempel 1
Exempel 2 Exempel 3 Exempel 4 8 ekvationer 8 obekanta Statiskt bestämt Byggnadsmekanik gk 11.2 Exempel 2 Exempel 3 8 ekvationer 8 obekanta Statiskt bestämt antal obekanta = 3 reaktioner + 6 stänger = 9 antal ekvationer = 2 antal noder = 2 4 = 8 Fackverket är statiskt obestämt av grad 1. Exempel 4 8 ekvationer 7 obekanta Mekanism De 3 stödreaktionerna kan bestämmas genom att betrakta jämvikten av hela strukturen. Strukturen är yttre statiskt bestämd. (strukturen kan inte motstå kraften P. Punkt 4 rullar åt höger)
KVALITATIV ANALYS Exempel 1 Byggnadsmekanik gk 11.3 KVALITATIV ANALYS Exempel 1 Syftet med kvalitativ analys av ett fackverk är att för varje stång, bestämma om den är dragen, tryckt eller ospänd. konvention P T : traction C : compression U : unstressed representerar en känd kraft representerar en okänd kraft krafterna som verkar på noden betraktas. P En metod är att ställa upp kvalitativa jämviktsekvationen för knutpunkterna.
När N13 är känd kan N12 bestämmas. Byggnadsmekanik gk 11.4 P N12 är kraften som stången 12 applicerar på nod 1. Med andra ord vill stången 12 dra noden 1 uppåt. Stången 12 är därför dragen. Horisontell jämvikt : den horisontella komponenten av N13 måste motverka kraften P, vilket ger tecknet för N13. N13 är kraften som stången 13 applicerar på nod 1. Stången 13 är därför tryckt. T C När N13 är känd kan N12 bestämmas. P Vertikal jämvikt : N12 måste motverka den vertikala komponenten av N13, vilket ger tecknet för N12.
Exempel 2 3 2 P När N13 är känd kan N12 bestämmas. Byggnadsmekanik gk 11.5 Exempel 2 3 2 P När N13 är känd kan N12 bestämmas. Vertikal jämvikt : N12 måste motverka den kraften P, vilket ger tecknet för N12. N12 är därför dragen. P P 3 2 T U Horisontell jämvikt : den horisontella komponenten av N13 är noll eftersom det är den enda horisontella kraften som verkar på noden. N13 är därför också noll. P
Exempel 3 Man kan fortsätta med nod 2 P Byggnadsmekanik gk 11.6 Exempel 3 Man kan fortsätta med nod 2 P Horisontell jämvikt : den horisontella komponenten av N24 måste motverka N23. Det ger N24 tryckt. 8 ekvationer 8 obekanta Statiskt bestämt Man måste börja med nod 3 eftersom det är den enda nod med bara två obekanta krafter N23 är dragen P N34 är ospänd
Byggnadsmekanik gk 11.7 Vertikal jämvikt : N12 måste motverka den vertikala komponenten av N24 . Det ger N12 dragen. T P C U T Man kan fortsätta med nod 1 och nod 4 för att bestämma stödreaktionerna.
Variant 2 : N24 kan bestämmas direkt genom att göra ett snitt. Byggnadsmekanik gk 11.8 Variant 1 : tecknet för den vertikala reaktionen vid nod 1 kan bestämmas direkt genom att betrakta jämvikten av hela strukturen. Variant 2 : N24 kan bestämmas direkt genom att göra ett snitt. P P Den horisontella jämvikten av strukturens övre del ger tecknet för N24. Endast två krafter ger ett moment kring nod 4. Den vertikala reaktionen vid 1 pekar därför neråt. P
Byggnadsmekanik gk 11.9 Exempel 4 N35 kan också bestämmas genom att betrakta den vertikala jämvikten av nod 3. P 10 ekvationer - 11 obekanta : statiskt obestämt av grad 1. Jämviktsekvationer räcker inte. Det är omöjligt att fortsätta med jämviktsekvationer. Man måste tänka på hur strukturen deformeras. Ett sätt är att se att nod 5 går åt höger och därför är stängerna 15 och 25 dragna. man kan ändå hitta några obekanta : Jämvikten av nod 4 ger N34 och N45 dragna. P
Hittills har vi hittat följande : Byggnadsmekanik gk 11.10 Hittills har vi hittat följande : Stödreaktionen vid nod 5 kan inte bestämmas genom den kvalitativa jämvikten av denna nod. Man vet inte om den vertikala komponenten av N25 är större eller mindre än N35. T T C T T P Nu kan man successivt fortsätta med nod 2 som ger N12 och N23 tryckta, nod 1 som ger stödreaktionerna vid 1, och nod 3 som ger stödreaktionen vid 3. Stödreaktionen vid 5 kan hittas genom att se att noden går neråt om stöden tas bort. För att motverka denna förskjutning behövs en kraft uppåt. C T T C C T T P
Byggnadsmekanik gk 11.11 Exempel 5 H4 V1 V4 P P För att kunna fortsätta måste man tänka på hur strukturen deformeras. Ett sätt är att se att nod 3 går åt höger och därför är stängerna 23 och 13 dragna. 8 ekvationer – 9 obekanta statiskt obestämt av grad 1 De 3 reaktionerna kan bestämmas genom att betrakta hela strukturen (statiskt yttre bestämt)
Byggnadsmekanik gk 11.12 T P T T P T Nu kan man fortsätta som vanligt med nod 2 (för att bestämma N12 och N24), nod 3 (för att bestämma N34) och nod 1 (för att bestämma N14). C T C C