MaB: Andragradsekvationer Allmänt För att lösa olika problem som handlar om areor, falltider m.m. kan vi stöta på ett behov av att kunna lösa andragradsekvationer. En andragradsekvation kan i princip se ut på 3 olika sätt 1. x2 = 16 (andragradsterm + konstantterm) 2. x2 + x = 0 (andragrads- + förstagradsterm) 3. x2 + 4x + 3 = 0 (andragrads- och förstagradsterm + konstantterm) För att kunna lösa andragradsekvationerna av typen ovan är det bra att behärska minst 3 olika lösningsstrategier.

Lösningsmetoder 1. x2 = 16 (andragradsterm + konstantterm) ”Vilket tal multiplicerat med sig själv blir 16?” Funderar vi lite så kan vi se att både 4 och -4 fungerar. Rep. Kvadratroten kallar vi det (positiva) tal som multiplicerat med sig själv blir ett visst tal, ex. Lösningen kan vi här skriva som x = eller x1 = 4 och x2 = - 4 delar med 4 innan ”roten ur” annat exempel: kom ihåg: minus också lösning exakt! närmevärde!

En andragradsekvation har 0,1 eller 2 (reella) lösningar! Lösningsmetoder 1. fler ex. vänsterled är en kvadrat varför vi kan ta ”roten ur” vill ha x ”ensamt” tar bort 1 på varje sida går inte att ta roten ur negativa tal, något multiplicerat med sig själv kan inte bli negativt! OBS! En andragradsekvation har 0,1 eller 2 (reella) lösningar!

Lösningsmetoder 2. x2 + x = 0 (andragrads- + förstagradsterm) ”bryter ut” x och får en produkt eller om en produkt blir noll måste en av faktorerna vara noll ”ser” här två svar ex. en lösning alltid x = 0 pröva gärna svaret! Kom ihåg! Blev det fel när du ”bröt ut” ? Kolla gärna genom att multiplicera in!

Lösningsmetoder 3. x2 + 4x + 3 = 0 (andragrads-, förstagrads- och konstantterm) Här fungerar ingen av de två redovisade metoderna, vi behöver en ny!! En metod som existerar är att utnyttja en lösningsformel som direkt kan ge (eventuell) lösning för en speciell typ av dessa andragradsekvationer. Om de kan skrivas som: x2 + px + q = 0 där p och q är konstanter funkar den! t.ex x2 + 4x – 3 = 0 OBS! ett x2 = 1·x2 p = 4 q = -3 ekvationen lika med noll!!

3. Lösning exempel + härledning formel, läs sakta! ex. Lösningsmetoder 3. Lösning exempel + härledning formel, läs sakta! ex. ”Slår ihop” så att jag får en kvadrat (kvadratkompletterar). (Kräver träning, prova gärna själv att (x+2)2 – 4 = x2 + 4x) Skriver sedan om enligt nedan och använder mig av ”kvadratrotsmetoden” vilket ger svar och färdig formel! FORMEL!!

Lösningsmetoder 3. Lösning med formel ex. 1. Undersöker först om villkoren för formeln är uppfyllda, dvs om vi har ett x2 och ekvationen lika med noll. 2. Här måste jag först dela med två för att formeln ska funka! 3. Identifierar p = – 6 q = 5 4. Sätter in i formeln och förenklar 5. Fick denna gång två heltalssvar! Sätt in i ekvationen och pröva!

Lösningsmetoder 3. Ser du mönstret ? Konstanten med omvänt tecken Hälften av koefficienten framför x med omvänt tecken Hälften av koefficienten framför x i kvadrat ex. Kom ihåg att pröva svaret!

Tillämpningar 1. Rektangeln En rektangel har en bas som är dubbelt så lång som dess höjd. Arean är 100 cm^2 . Sidornas längd? Låt höjden vara x så ger det att Basen måste vara 2x vilket ger x 2x Vilket i sin tur ger ekvationen och lösning: Sidorna är exakt cm och cm dvs ca. 7,1 cm och 14,2 cm

Efter hur lång tid slår stenen i marken? Tillämpningar 2. Stenen En sten kastas rakt upp och har då höjd, h, efter t, sekunder, enligt sambandet Efter hur lång tid slår stenen i marken? Stenen slår i höjden när h = 0 Vilket ger ekvation med lösning t = 0 är måste betyda att tiden börjar mätas från att stenen kastas upp och då är på marken, det svar vi söker är t = 4 dvs efter 4 sekunder slår stenen i marken

Tillämpningar 3. Sidorna Ett uppslag i en bok har 2 st sidnummer vars produkt är 650. Vilka är sidornas nummer? Sidorna har nummer som följer på varandra. Om vi kallar den ena sidan för x så måste nästa sida vara x+1. Vilket ger ekvation med lösning: Sidnummer är inte negativa varför x måste vara 25 och nästa sida då blir 26. Test: