Repetition inför kursstart FDL Matematik 2 Repetition inför kursstart FDL

Rätt förkunskaper? Kommer du ihåg? Förkunskaper inför kap 1 i boken: algebraiska uttryck och förenklingar potenser förstagradsekvationer kvadratrötter koordinatsystem, funktioner och grafer

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck 100 – 3a

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck Alex vikt: a 20% av Alex vikt: 0,2∙a = 0,2a Björns vikt: b b = a + 0,2a

Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck  

Förenkling av algebraiska uttryck

Förenkling av algebraiska uttryck

Förenkling av algebraiska uttryck

Rätta svar 1. a) 7x + 4 b) 5x + 2 c) 2x – 2 d) x + 8 e) 5x – 6 f) – x

Rätta svar 2. a) 3x + 3 b) 2 – 2x c) 11 – x d) 5x + 7 e) 1 f) 3x – 1

Rätta svar 3. a) 2x + 11 b) 13 – 3x c) 11x + 18 d) 8x + 3 e) 4x – 3 f) 5x + 12

9x – 6 – 5x + 4 = 4x – 2 x = 7: 4x – 2 = 4 ∙ 7 – 2 = 26

34 Potens Upprepad multiplikation ”tre upphöjt till fyra” Bas Exponent ”tre upphöjt till fyra” Betyder: 3 · 3 · 3 · 3 4 gånger

34 Bas Exponent Exponenten talar om hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv Värdet hos ”tre upphöjt till fyra” är: 3· 3 · 3 · 3 = 81

Några exempel 23 = 2 · 2 · 2 = 8 52 = 5 · 5 = 25 103 = 10 · 10 · 10 = 1000 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1024

Testa själv! 24 2· 2 · 2 · 2 · 2 2· 2 · 2 8 16 32

Testa själv! 6 · 6 · 6 · 6 5 · 5 · 5 9 · 9 x · x · x · x · x

Grundpotensform 4,2 ∙ 105 tiopotens decimaltal mellan 1 och 10 Kombination av ett decimaltal x, där 1≤x<10 och en tiopotens

Vad betyder 4,2 ∙ 105? 4,2 ∙ 105 = 4,2 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 4,2 ∙ 100 000 = 420 000 Effektivt sätt att skriva stora tal! T.ex. 5 ∙ 1012 eller 6,7 ∙ 1042

Tiopotenserna först! 103 = 1 000 102 = 100 101 = 10 100 = 1

Sedan grundpotenser 500 50 5 7,3∙104 7,3∙103 7,3∙102 7,3∙101

Förstagradsekvationer

12 8 3 3 4 9

3 3 5 3 12 6 8 16

√ Kvadratrötter ”kvadratroten ur” ”roten ur” x2 = x∙x Kvadratroten ger ”roten” eller svaret på en ekvation med potenser som t.ex. 32 = 3∙3 = 9 √9 = √3∙3 = 3 x2 = x∙x √x2 = √x∙x = x

Ett praktiskt exempel Kvadratroten kan man använda om man vet arean på en kvadrat och behöver ta reda på hur lång sidan är. Arean = 25 cm2 h b b = h = √25 = √5∙5 = 5 cm

För alla kvadrater gäller att… Kvadratroten kan man använda om man vet arean på en kvadrat och behöver ta reda på hur lång sidan är. Arean = x2 h b b = h = √x2 = √x∙x = x

Det finns speciella tal som kallas ”kvadrattal” eller ”kvadrater” Till exempel är 4 9 16 25 36 … alla kvadrattal. Hur funkar det? 4 = 2 ∙ 2 = 22 9 = 3 ∙ 3 = 32 16 = 4 ∙ 4 = 42 25 = 5 ∙ 5 = 52 36 = 6 ∙ 6 = 62 … som arean och sidan i en kvadrat.

Att ta ”upphöjt till 2”… …kallas att ta ”kvadraten” på ett tal Att multiplicera samma tal (eller uttryck) med sig själv en gång kallas att ”kvadrera” Vad är kvadraten på 8? 64, eftersom 82 = 8∙8 = 64 Kvadrera 3: 3∙3 = 32 Kvadrera 5x: 5x∙5x = 5∙5∙x∙x = 25x2

Testa själv! s = √25 = √5∙5 = 5 cm s = √49 = √7∙7 = 7 cm

Några övningar 8 – 5 = 3 6 / 10 = 0,6 4 ∙ 4 = 16

Koordinatsystem

Koordinatsystem A = (2, 3) B = (5, 3) D C = (2, -2) B A D = (-3, 5)

Funktioner och grafer

Funktioner och grafer Räta linjens ekvation y = kx + m k = − 0,5 m = 2 y = − 0,5x + 2

Funktioner och grafer Rita linjen y = 2x – 1 i koordinatsystemet.

Funktioner och grafer Rita linjen y = 2x – 1 i koordinatsystemet. Värdetabell: x y 2 2∙2 – 1 = 3 1 2∙1 – 1 = 1 0 2∙0 – 1 = -1 -1 2∙(-1) – 1 = -3

Funktioner och grafer

Funktioner och grafer A C B

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Produkten av två polynom Hur multipliceras (x – 3)(x + 2) ? Alla termer ska multipliceras! Vilket ger: (x – 3)(x + 2) = (x – 3) · x + (x – 3) · 2 = x(x – 3) + 2(x – 3) = x · x – x · 3 + 2 · x – 2 · 3 = x2 – 3x + 2x – 6 = x2 – x – 6

Produkten av två polynom Hur multipliceras (x – 3)(x + 2) ? Alternativt kan man gå direkt på:

Produkten av två polynom Hur multipliceras (x – 3)(x + 2) ?

Konjugatregeln (a + b) (a – b)

Vad blir (x + 3)2 resp. (x – 3)2 ? (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) Att ta ”upphöjt till 2” kallas att kvadrera. (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x · x + x · 3 + 3 · x + 3 · 3 = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

= x · x + x · (–3) + (–3) · x + (–3) · (–3) = x2 – 3x – 3x + 9 Vad blir (x + 3)2 resp. (x – 3)2 ? Att ta ”upphöjt till 2” kallas att kvadrera. (x – 3)2 = (x – 3)(x – 3) = x · x + x · (–3) + (–3) · x + (–3) · (–3) = x2 – 3x – 3x + 9 = x2 – 6x + 9 Var kommer alla ”+” ifrån? Kom ihåg att ett polynom är en summa av termer, även negativa termer.

Vad blir (x + 3)2 resp. (x – 3)2 ? (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 Resultat: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 (x – 3)2 = x2 – 6x + 9

Kvadreringsreglerna

Utveckla med hjälp av… Konjugatregeln (x + 4)(x – 4) Kvadreringsreglerna (x + 4)2 (2x – 3)2

Utveckla med hjälp av… Konjugatregeln (x + 4)(x – 4) = x2 – 42

Utveckla med hjälp av… Kvadreringsreglerna (x + 4)2 = x2 + 2·x ·4 + 42 Var kommer alla ”+” ifrån? Kom ihåg att ett polynom är en summa av termer, även negativa termer.

Lös ekvationen! Utnyttja: 1:a kvadreringregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Konjugatregeln (a + b) (a – b) = a2 – b2 Multiplikation av binom: (x + 1) (x – 3)

Lös ekvationen!

Enkla andragradsekvationer  

Enkla andragradsekvationer  

Enkla andragradsekvationer  

Enkla andragradsekvationer  

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Enkla andragradsekvationer Lös ekvationen

Förkunskaper inför kap 1 i boken: algebraiska uttryck och förenklingar potenser förstagradsekvationer kvadratrötter koordinatsystem, funktioner och grafer samt en introduktion till enkla andragradsekvationer