Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie Matematikbiennalen 2014 Hans Thunberg thunberg@math.kth.se

Per Nørgård Dansk tonsättare , född 1932 En av de ledande i Norden i sin generation Nordiska rådets musikpris 1974 Sibeliuspriset 2006 Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012 Oändlighetsserien en metod att generera melodier - med överflöd på symmetrier och fraktal struktur - med i princip oändlig utsträckning utan exakt upprepning

Konstruktion av en oändlighetsserie - Välj ett tonförråd (”skala”) t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”) - Välj två inledande toner Nørgårds algoritm gör resten …..

Nørgårds algoritm + 1 - 1 + 1 - 2 + 2 - 2

+ 3 + 3 - 3 - 1 - 1 + 1 Nørgårds algoritm, forts. Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg

+ 13 + 13 - 13

Enkel formel – Rika egenskaper Nya lägsta och högsta toner efter 2 𝑛 steg Innehåller oändligt många transponerade kopior av sig själv i långsammare tempo Innehåller oändligt många spegelvända (”upp-och-nervända”) transponerade kopior av sig själv Har fraktal struktur

Nya lägsta och högsta toner efter 2 𝑛 steg:

Var fjärde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin

Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad + 1 - 2 + 3 - 1 - 1 - 2 + 5 - 3 + 1 + 2 - 5 - 1 + 2 + 1 Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)

Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbild Var 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponat osv

Klipp-och-Klistra Egenskapen

?

Modell: Nørgårdföljder 𝐴= 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … Talföljd { 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … } Välj två inledande toner Välj begynnelsevärden 𝑎 0 och 𝑎 1 𝑎 𝑘 för 𝑘≥2 ges av 𝑎 2𝑛 = 𝑎 2𝑛−2 − 𝑑 𝑛 𝑎 2𝑛+1 = 𝑎 2𝑛−1 + 𝑑 𝑛 där 𝑑 𝑛 = 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg

Exempel 𝑎 2𝑛 = 𝑎 2𝑛−2 − 𝑑 𝑛 𝑎 2𝑛+1 = 𝑎 2𝑛−1 + 𝑑 𝑛 Välj t ex 𝑎 0 =1, 𝑎 1 =3 där 𝑑 𝑛 = 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 = 𝑎 0 − 𝑑 1 =1−2=−1 𝑎 3 = 𝑎 1 + 𝑑 1 =3+2=5 𝑑 1 = 𝑎 1 − 𝑎 0 =3 −1=2 𝑎 4 = 𝑎 2 − 𝑑 2 =−1+4=3 𝑎 5 = 𝑎 3 + 𝑑 2 =5−4=1 𝑑 2 = 𝑎 2 − 𝑎 1 =−1 −3=−4 𝑎 6 = 𝑎 4 − 𝑑 3 =3−6=−3 𝑎 7 = 𝑎 5 + 𝑑 3 =1+6=7 𝑑 3 = 𝑎 3 − 𝑎 2 =5+1=6 𝑎 8 = 𝑎 6 − 𝑑 4 =−3+2=−1 𝑎 9 = 𝑎 7 + 𝑑 4 =7−2=5 𝑑 4 = 𝑎 4 − 𝑎 3 =3−5=−2 osv …

Om 𝐴= 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … är en Nørgårdföljd gäller Sats 1. Succesiva min infaller på positioner 2 𝑛 −2 Succesiva max infaller på positioner 2 𝑛 −1 Dessa avtar/ökar aritmetiskt med 𝑑 1 Sats 2. Den delföljd som börjar på position 2 𝑛 −2 och består av element på avstånd 2 𝑛 är en translaterad spegelbild av 𝐴. Den delföljd som börjar på position 2 𝑛 −1 och består av element på avstånd 2 𝑛 är ett translat av 𝐴. Sats 3. Om de 2 𝑛 första elementen i 𝐴 har bestämts, kan ytterligare 2 𝑛 element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.

Modelltest 𝑎 0 =1, 𝑎 1 =3 ger 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Succesiva min och max: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, … Translat och translaterade speglingar: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, 1, -1, 3, -3, -1, 1, 5 -5, 3 -3, 1, -1, -3, 3, 7, -7, … 3, 5, 1, 7, 5, 3, -1, 9, 1, 7, 3, 5, 7, 1, -3, 11, … 5, 7, 3, 9, 7, 5, 1, … -3, -5, -1, -7, … Klipp-och-klistra: 1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

Börja med specialfall (det enklaste!) 𝑁= 𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 𝑐 2 = 𝑐 0 − 𝑑 1 =− 𝑐 1 =−1 𝑐 3 = 𝑐 1 + 𝑑 1 = 2𝑐 1 =2 𝑑 1 = 𝑐 1 − 𝑐 0 = 𝑐 1 𝑐 4 = 𝑐 2 − 𝑑 2 =− 𝑐 1 +2 𝑐 1 = 𝑐 1 =1 𝑐 5 = 𝑐 3 + 𝑑 2 =2 𝑐 1 −2 𝑐 1 =0 𝑑 2 = 𝑐 2 − 𝑐 1 =− 𝑐 1 − 𝑐 1 =−2 𝑐 1 𝑐 6 = 𝑐 4 − 𝑑 3 = 𝑐 1 −3 𝑐 1 =−2 𝑐 1 =−2 𝑐 7 = 𝑐 5 + 𝑑 3 =0 𝑐 1 +3 𝑐 1 =3 𝑐 1 =3 𝑑 3 = 𝑐 3 − 𝑐 2 =2 𝑐 1 + 𝑐 1 =3 𝑐 1 𝑐 8 = 𝑐 6 − 𝑑 4 =−2 𝑐 1 + 𝑐 1 =− 𝑐 1 =−1 𝑐 9 = 𝑐 7 + 𝑑 4 =3 𝑐 1 − 𝑐 1 =2 𝑐 1 =2 𝑑 4 = 𝑐 4 − 𝑐 3 = 𝑐 1 −2 𝑐 1 =− 𝑐 1 osv …

𝑁= 𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 Påstående 1: 𝑐 2𝑛 =− 𝑐 𝑛 𝑁= 𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 𝑐 𝑛 -1 -2 -3 Påstående 1: 𝑐 2𝑛 =− 𝑐 𝑛 Påstående 2: 𝑐 2𝑛+1 = 𝑐 𝑛 +1 Bevis: 𝑐 2 =−1= −𝑐 1 , 𝑐 3 =2= 𝑐 1 +1. Om Påstående 1 är sant för 0<𝑘<𝑛 fås 𝑐 2𝑛 = 𝑐 2𝑛−2 − 𝑐 𝑛 − 𝑐 𝑛−1 = 𝑐 𝑛−1 − 𝑐 𝑛 + 𝑐 𝑛−1 =− 𝑐 𝑛 . Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.

En ekvivalent men enklare modell … 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 𝑐 2𝑛 = 𝑐 2𝑛−2 − 𝑑 𝑛 𝑐 2𝑛+1 = 𝑐 2𝑛−1 + 𝑑 𝑛 , 𝑑 𝑛 = 𝑐 𝑛 − 𝑐 𝑛−1 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 𝑐 2𝑛 = −𝑐 𝑛 𝑐 2𝑛+1 = 𝑐 𝑛 +1

𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1, 𝑐 2𝑛 =− 𝑐 𝑛 , 𝑐 2𝑛+1 = 𝑐 𝑛 +1

Sats 1. Succesiva min infaller på positioner 2 𝑛 −2 Succesiva max infaller på positioner 2 𝑛 −1 Dessa avtar/ökar aritmetiskt med 𝑑 1 Bevis:

Induktion i det stora trädet … Sats 3. Om de 2 𝑛 första elementen i 𝐴 har bestämts, kan ytterligare 2 𝑛 element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen. Bevis Induktion i det stora trädet …

Bevis sats 3, steg I: Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför

Bevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring

Sats 2. (i) Den delföljd som börjar på position 2 𝑛 −2 och består av element på avstånd 2 𝑛 är en translaterad spegelbild av 𝐴. (ii) Den delföljd som börjar på position 2 𝑛 −1 och består av element på avstånd 2 𝑛 är ett translat av 𝐴. Bevis: Induktivt bevis genom att använda rekursionsformlerna. Observera att för 𝑛=1 följer (i) ur 𝑐 2𝑛 =− 𝑐 𝑛 , vilket också direkt ger att 𝑐 4𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 𝑐 𝑛 -1 -2 -3

Generalisera till det generella fallet Om 𝑁= 𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … är den Nørgårdföljd som ges av 𝑐 0 =0, 𝑐 1 =1 och 𝐴= 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … är en godtycklig Nørgårdföljd gäller att 𝑎 𝑛 = 𝑎 0 + 𝑐 𝑛 ( 𝑎 1 − 𝑎 0 ). (följer av att rekursionsekvationerna är linjära) Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.

Thue-Morse följden Om istället 𝑎 2𝑛 = 𝑎 2𝑛−2 + 𝑑 𝑛 𝑎 2𝑛+1 = 𝑎 2𝑛−1 − 𝑑 𝑛 där 𝑑 𝑛 = 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 fås med 𝑎 0 =0, 𝑎 1 =1 den s k Thue-Morse följden 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 ….. A B B A B A … 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 …

Tack för er uppmärksamhet!