VEDISK MATEMATIK en översikt Thomas Dahl Högskolan Kristianstad thomas.dahl@hkr.se

VEDA-SKRIFTERNA 4 böcker 2000BC – 500 AC Rigveda, Samaveda, Yajurveda, Atharvaveda Innehåller Sulbasutras, innehåller en del märklig matematik. The Sulba Sutras or Sulva Sutras are a text of Vedic mathematics. The Sulba Sutras have been dated from around 800-500 BC and include first 'use' of irrational numbers, quadratic equations of the form ax2 = c and ax2 + bx = c, unarguable evidence of the use of the Pythagorean theorem and Pythagorean triples, predating Pythagoras (c 572 - 497 BC), and evidence of a number of geometrical proofs. Sutra (सूत्र) in Sanskrit is derived from the verb √siv, meaning to sew. ... Vedic mathematics is a system of mental calculation developed by Shri Bharati Krishna Tirthaji which he claimed he had based on a lost appendix of Atharvaveda, an ancient text of the Indian teachings called Veda. ... The Pythagorean theorem: The sum of the areas of the two squares on the legs equals the area of the square on the hypotenuse. ... Jump to: navigation, search The Pythagorean theorem: a2 + b2 = c2 A Pythagorean triple consists of three positive integers a, b, and c, such that a2 + b2 = c2. ... Jump to: navigation, search This topic is considered a necessary subject on Wikipedia, and there is a high-priority on its being cleaned up to conform to a higher standard of quality. ... Of the Sulvas so far 'uncovered', the four major and most mathematically significant are those composed by Baudhayana, Manava, Apastamba and Katyayana . The name "Sulba Sutra" means rule of chords, which is another name for geometry. Baudhayana, (circa 800 BC), was a Vedic Indian mathematician/scribe. ... Manava (c. ... Apastamba (c. ... Katyayana was probably a priest who lived in India around 200 BC. Like Baudhayana, he composed Shulba Sutra, or sacred mathematical texts. ... Jump to: navigation, search Geometry (Greek γεωμετρία; geo = earth, metria = measure) arose as the field of knowledge dealing with spatial relationships. ... Pythagoras's theorem is first found in the Baudhayana sutra—so was hence known from around 800 BC. It is also implied in the later work of Apastamba, and Pythagorean triples are found in his rules for altar construction. Altar construction also led to the discovery of irrational numbers—a remarkable estimation of the square root of 2 is found in three of the sutras. The method for approximating the value of this number gives the following result: Baudhayana, (circa 800 BC), was a Vedic Indian mathematician/scribe. ... Apastamba (c. ... Jump to: navigation, search The Pythagorean theorem: a2 + b2 = c2 A Pythagorean triple consists of three positive integers a, b, and c, such that a2 + b2 = c2. ... Jump to: navigation, search The square root of 2 is equal to the length of the hypotenuse of a right triangle with legs of length 1. ...

Nyupptäckt (?) Vedisk Matematik Tirthaji var en indisk statsman, levde som ung i ett Kloster . Studerade språk, politik, filosofi, gammal sanskrit och matematik. Han behärskade 13 språk, men hans huvudintrese var matematik och filosofi. Han skrev 14 böcker om vedisk matematik (en för varje sutra), men dessa gick förlorade i tumultet i samband med frigörelsen från kolonialmakten. Han producerade en volym dock , omkring 1955. Den blev en stor succe i den engelskspråkiga världen. Jagadguru Sankaracarya Sri Bharati Krsna Tirtha Maharaja (1884 – 1960)

VM slår igenom 1965 Tirthajis bok ges ut. 1967 Sgt Pepper kommer ut 65-75 Intresset för indisk religion, mystik och TM växer i västvärlden . Genom tre engelska ”entusiasters” försorg spreds VM till lärarkretsar och till folk med intresse för matematik. Jeremy Pickles 1946 - 2006 Ken Williams 1946 - Andrew Nicholas 1946 -

Urdhva multiplikation 2 siffror 3 4 x 5 2 4 x 2 = 8 3 x 2 + 5 x 4 = 2 6 ; skriv 6 ; 2 i minne 3 x 5 = 1 5 ; 2 + 1 5 = 1 7 1 7 6 8 3 4 x 5 2 3 x 5 = 1 5 ; skriv 1 ; 5 i minne 3 x 2 + 5 x 4 = 2 6 ; 2 + 5 = 7 Skriv! 6 i minne 4 x 2 = 0 8; 0 8 + 60 = 6 8 skriv 6 8 1 7 6 8

Sub-sutra-lista Sutra-lista By one more than the one before. All from 9 and the last from 10. Vertically and Cross-wise Transpose and Apply If the Samuccaya is the Same it is Zero If One is in Ratio the Other is Zero By Addition and by Subtraction By the Completion or Non-Completion Differential Calculus By the Deficiency Specific and General The Remainders by the Last Digit The Ultimate and Twice the Penultimate By One Less than the One Before The Product of the Sum All the Multipliers Proportionately The Remainder Remains Constant The First by the First and the Last by the Last For 7 the Multiplicand is 143 By Osculation Lessen by the Deficiency Whatever the Deficiency lessen by that amount and set up the Square of the Deficiency Last Totalling 10 Only the Last Terms The Sum of the Products By Alternative Elimination and Retention By Mere Observation The Product of the Sum is the Sum of the Products On the Flag

Merk Monstret ! OPPGAVER: A) 112·203 B) 123·131 C) 203 ·432 3 2 4 3 2 4 x 5 1 3 x 5 1 3 1 12 11 2 x 5 1 31 x 5 1 33 32 1 2 16 2 7 2 3 2 4 x 5 1 3 1 1 5 6 2 7 2 OPPGAVER: A) 112·203 B) 123·131 C) 203 ·432 D ) (x+3)(x+5) E) (2x-5)(4x+3) SVAR: a) 22736 b) 1611 c) 878696 d) x² + 8x + 15 e) 8x² -14x - 125

Ekvationen foer en rak linie (-5 , 3) (-2 , 2)

…med Urdhva Sutra OPPGAVER: Søk ekv. For en rak linie mellan: - 5 3 2 -2 (-5- 2) ·y - (3-(-2)) · x = (-5)·(-2) – 2·3 -7 y - 5x = 4 OPPGAVER: Søk ekv. For en rak linie mellan: A) (-3,7) og (6,-5) B) (-1,-6) og (6, 1) C) (a,b) og (c,d) SVAREN: A) 3y + 4x = 9 B) y – x = -5 C) (a-c)y– (b-d)x = ad - bc

Negativa siffror (!) 7 = -7 (men egentligen ska strecket vara over siffran ! Talet 1 3 8 2 9 1 ska tolkes som 1·105+ (-3)·104+ (-8)·103+(-2)·102+ (-9)·101+ (-1) Detta kan omskrivas så här: 100 000 – (3 8 2 9 1) = 6 1 7 0 9 För att snabbt konvertera 1 3 8 2 9 1 till vanlig form kan man använda NIKHILAM SUTRA Vilket kan översättas med ”Alla från 9 & den sista från 10”. Att man ska minska siffran före en ”bar-siffra” med ett får man fatta själv. Alltså: 1-1=0, 9-3 = 6, 9-8=1, 9-2=7, 9-9=0, 10-1 = 9 Talet 61709 kan skrivas om på flera sätt: 6 2 2 1 1 är ett exempel Problem: a) skriv om 61709 på två sätt till. b) på hur många sätt kan talet skrivas

Konverter till Vanlig form. a) 614 b) 423 c)222 d) 9283 e) 612 f) 706 Mer oppgaver Konverter till Vanlig form. a) 614 b) 423 c)222 d) 9283 e) 612 f) 706 g) 7333 i) 71031 Berekna med urdhva sutra: 423 x 612 Merk att 3x2 = 6 Merk negative minnessiffror! a)594 b)383 c)182 d) 8877 e) 588 f)) 694 g) 6667 h) 68971 4 2 3 6 1 2 2 3 15 12 1 6 Svaret konverterat till vanlig form: 2 2 4 2 0 4 Berekning med negative siffrer er som du upptecker krevande

NIKHILAM MULTIPLIKATION Båda under basen En över och en under basen Basen = 100; 88-100 = 12 93-100 = 07 Basen=1000 1 1 2 3 1 2 3 1123-1000 9 9 2 0 0 8 992-1000 9 8 4 123·008 1 1 2 3 1 2 3 1123 + 008 = 1115 9 9 2 0 0 8 992 + 123 = 1115 1 1 1 5 9 8 4 12 · 7 = 84 Korsvis: 88 + 7 = 81 Eller: 93 + 12 = 81 Skriv om resultatet med enbart positiva siffror ! 1115984 = 1114016

oppgaver 1) 97 · 98 2) 87 · 93 3) 106 · 114 4) 106 ·116 5) 106·118 6) 988 · 985 7) 1014 · 1030 8) 1015 · 988 Facit: Kalkylatorn

KVIFOR FUNKAR NIKHILAM MULTIPLIKATION ? 1 2 4 5 93 7 88 12 93 7 88 12 8800 Den her må vi komputera Resonemanget er giltig for fallet ”båda faktorer er under basen” Det finns ju to fall mer. Resonemangen er analoga med detta 93 7 88 12 700 3 93 7 88 12 8100 84 93 7 88 12 8184

By one more than the one before Kvadrera tal som slutar på 5 65² = 125² = Samma tiotal, entalssiffrorna har summa 10 63·67 = 192·198 7·6 ; 5·5 13·12 ; 5² 7·6 ; 3·7 20·19 ; 2·8 = 4225 = 15625 = 4221 = 38016 Litt å pille med kansje ? A: 35² = B: 29·21= C: 29·31 = D: 65² - 35² =

Vi tar en ny tur med samme sutra By one more than 1 alltså by 2 2 går i 1 (teljeren) 0 gånger 1 i minnet. Skriv ned! 2 går i 10 5 gånger. Skriv 5 2 går i 5 2 gånger ; 1 i minnet 2 går i 12 6 ganger etc. etc etc. Obs att 1/19 och 11/19 visar liknande följder av siffror, men decimalutvecklingen borjar på forskellige steder. Ibland kan ”halva vegen- egenskapen benyttes for en ”short cut” Nå må dere putte ner 1/19 i decimal form med 21 decimaler ! 1/19 = 0,105126311151718 914 71316 8 4 2 110 512

9-punkts cirkeln 1/19 = 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 Halva vegen ? Efter 9 decimaler. 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 9 8 1 S =0, 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 7 Ibland kan ”halva vegen- egenskapen benyttes for en ”short cut”. Proev den for 11/19! Vill du decimalutvikle f,eks. 17/29 så er det bra å vite att den har 28 decimaler i perioden. Etter 14 decimaler er vi halvvegs å kan benytte shortcutten: De forste 14 decimalerne får du her: 17/29 = ´0, 5 8 6 2 0 6 8 9 6 5 5 1 7 2 (etter folger 4, ikke sant?) Kan dere finne på ett annet sett att decimalutvikle 11/19 , hvis dere kjenner utviklinga av 1/19 ? Vi vet att 11/19 = 1/19 + 10/19. Nå er det enkelt, ikke sant? 6 3 5 4

OPPGAVER Starthjelp: 17/29. The one before (9) er 2. og one more er 3. Man siger EKHADIKAN er 3. Vi må alltså gå ”by 3”. 3 går i 1 0 ganger (1 i minne) og 3 går i 17 5 ganger med 2 i minne. Nå har dere: 0,25. Nest gang: 3 går i 25 8 ganger og 1 i minne . Dere har 0,25 18 Fortsett sjøl Vill du decimalutvikle f,eks. 17/29 så er det bra å vite att den har 28 decimaler i perioden. Etter 14 decimaler er vi halvvegs å kan benytte shortcutten: De forste 14 decimalerne får du her: 17/29 = ´0, 5 8 6 2 0 6 8 9 6 5 5 1 7 2 (etter folger 4, ikke sant?) Obs fiffig omskrevnig av 5/7. Perioden på 35/49 er 6 siffrer lång , ikke sant ? Du starter med 1 mer enn 4, alltså 5 (By 5) . 5 i 3 går null ganger, 3 i minne. 5 i 35 går 7 ganger

Integraler också ! Med urdhva sutra att stole på kan vi lage det mer ratsjonellt: Svaret kommer her: Partialintegrasjon er ibland jobbigt med massor av termer och minustecken att hålla reda på. Den her algoritmen passar in i systemet (vertikalt & korsvis har vi der), men finns också på annet håll. Spesiellt inom fourieranalys forekommer slike integraler. Eg har sett algoritmen i en sådan bok (Kroneckers sats eller Kroneckers metode). Ibland behöver man ”återvinna” integralen. Då måste algoritmen trunkeras på lempligt stelle. Det grejer vi inte idag (Henviser till Vedic mathematics Teachers Manual , Advanced level av Kenneth Williams. (Se litteraturlistan)

OPPGAVER

Ja det var det Detta var bara en del av det som idag kallas Vedisk matematik. Jag ser att jag har ”missat” flera intressanta delar Jag rekommenderar Kenneth Williams böcker. Titta på hemsidan för vedic mathematics academy: www.vedicmaths.org Där kan du beställa böcker samt laera dig er om Vedisk matematik och se andra intressanta tillempningar.

T A K K F O R M E G Tack för mig 2017-04-04

Bonusbild: Om samukajan er like så er den null Ett speciellt sutra som kan brukes når forskellige symmetrier er til stedes Om A(x) + C(x) = B(x) + D(x), så gäller: Rotterna till ekv: A(x) + C(x) = 0 är också rotter till: (om inte B(x) eller D(x) är noll för dessa x) Rotterna till A(x) – B(x) = 0 är också rotter till Samma rationella ekvation, om Beloppet av A(x) - B(x) = Beloppet av C(x) – D(x). Finn rotterne till ekv: En lösning: 3x – 12 = 0 alltså x = 4 En annan lösning x – 7 = 0 alltså x = 7 Villkoren är uppfyllda for ekvationen Samukajametoden kan brukes.