Belastningar och spänningar i vägar Föreläsning 2013-01-29 Väg- och banteknik, KTH

Belastningar och spänningar i vägar Behov av att kunna förutsäga och förstå fördelningen av spänning, σ, och töjning, ε, inom överbyggnadsstrukturen, och hur dessa storheter relaterar till vägens nedbrytning (sprick- och spårbildning). Numeriska modeller – Hur kan en ideal modell se ut? Behov av modeller för beräkning av deflektioner (δ) och töjningar (ε) Numeriska modeller tillgängliga med olika: förutsättningar antaganden komplexitet krav på materialinformation Ideal modell Förutsäger Input-parametrar Spänningar Töjningar Statiska och dynamiska laster Materialegenskaper Trafik Miljö Möjligt att uppnå rimliga uppskattningar! Ingen modell idag uppfyller dessa krav!

Belastningar och spänningar i vägar Tillgängliga modeller Flerlagermodell baserad på elasticitetsteori Finita elementmetoder Viskoelasticitetsteori (tids- och temp.beroende beteende) Dynamisk analys (tröghetseffekter) Termiska modeller (temperaturändring) Mest använd Rimliga resultat Egenskaper relativt enkla att bestämma Hur bestäms E? Före och efter konstruktion E & ν Före: lab.provning (MR) Efter: fältprovning(FWD)

Belastningar och spänningar i vägar Fallviktsdeflektometer Liten släpvagn Fallvikt Geofoner Deflektionsbassäng Använder elastisk teori för förutsägning av deflektionsprofil för given last. Sedan utförs iterering med olika modulkonfigurationer tills beräknad deflektionsbassäng överensstämmer med uppmätt.

Belastningar och spänningar i vägar Flerlagermodell baserad på elastisk teori E1, ν1 E2, ν2 E3, ν3 ∞ z1 z2 z3 a = radie q = tryck Egenskaper @ A = Egenskaper @ B Samma egenskaper i alla riktningar Punkt A Punkt B Hookes lag Antaganden: Varje lager Kontinuerligt Homogent Isotropt Linjärelastiskt Materialet viktlöst och ytan oändligt stor Bestämnd tjocklek (utom sista lagret)

Belastningar och spänningar i vägar Flerlagermodell baserad på elastisk teori (forts.) E1, ν1 E2, ν2 E3, ν3 ∞ z1 z2 z3 a = radie q = tryck Punkt A Punkt B Antaganden (forts.): Spänningar på ytan Cirkulär Vertikal Jämnt fördelat Full friktion mellan lagren Kontinuerligt stöd för varje lager Varför önskar vi fullstän-dig friktion mellan varje lager?

Belastningar och spänningar i vägar Dimensioner Spänning: - Givet i psi: (Last/Yta) Töjning: - Givet i microstrain: (Dimensionslöst) Deflektion: - Givet i mils: (Sträcka) Vid hemuppgifter, tentamen och projekt förväntas ni omvandla edra svar till dessa dimensioner

Belastningar och spänningar i vägar Ett-lagersystem 3.1 Baserat på Boussinesq (1885) Halv-rymd: oändlig yta och djup Punktbelastning på en elastisk halv-rymd Undersök σ-fördelning längs Z & X P r z σz Z σz där: σz = vertikal spänning r = radiellt avstånd från last z = Djup P = punktlast σz X Lägg märke till att spännings-fördelningen är oberoende av E

Belastningar och spänningar i vägar 3.2 Ett-lager lösningar (Foster & Ahlvin 1950-talet) Utvecklade diagram för bestämning av σz, σt, σr, τrz & w (ν=0.5) Figurerna 2.2 – 2.6 Axelsymmetrisk belastning: σz = Vertikal spänning σr = Radial spänning σt = Tangentiell spänning τrz = Skjuvspänning w = Deflektion Bestämd @ radiella avstånd 2a q z r σz σr σt τrz a q 2a 1a 3a Avstånd Djup

Belastningar och spänningar i vägar 3.2 Ett-lager lösningar (Foster & Ahlvin) Diagram Djup (z) and avstånd (r) uttrycks i radiella kvoter

Belastningar och spänningar i vägar 3.2.1 Vertikal spänning a q Givet: Last, P = 9000 lbs Tryck, q = 80 psi r=6” z=6” σz Bestäm: Vertikal spänning , σz @ z=6” & r=6” 1. Först måste vi bestämma radien: 2. z/a = 6/6 =1 r/a = 6/6 =1 Figur 2.2 (vertikal spänningsfördelning)

Belastningar och spänningar i vägar 3.2.1 Vertikal spänning (forts.) z/a = 6/6 =1 r/a = 6/6 =1 Lös ut

Belastningar och spänningar i vägar 3.2.2 Deflektion Flexibel platta Styv platta Gummi Deflektionsprofil Stål q q Reaktion från undergrund Vilken deflektion är större? Antag att ν=0.5

Belastningar och spänningar i vägar 3.2.2 Deflektion (forts.) a = 6” q = 80 psi ∞ h1= 4” h2= 8” h3= 12” Hur kan vi använda ett-lagerteori för bestämning av systemets deflektion? Överbyggnads-struktur Vi kan anta att överbyggnads-strukturen är inkompressibel A Σ z=24’’ Grund- läggande: I detta fall (ett-lager antas): a=6’’ q=80 psi z=24’’ r=0 i punkten A F erålls från figur 2.6

Belastningar och spänningar i vägar q=80 psi z=24’’ r=0 i punkten A 3.2.2 Deflektion (forts.) Givet: z/a=24/6=4 r/a=0 Resultat: F=0.37

Belastningar och spänningar i vägar För ett-lagerlösning 3.2.2 Deflektion (forts.) a = 6” q = 80 psi ∞ h1= 4” h2= 8” h3= 12” Undersök två fall: Lera Tät sand E=2500 E=25000 A w=71 mils (Hög) w=7.1 mils (Låg) Undergrundens kavalitet är mycket viktig vid dimen-sionering av överbyggnad

Belastningar och spänningar i vägar Spänningar och töjningar för dimensionering Syftet med överbyggnadsstrukturen: Skydda undergrunden; reducera spänningar till acceptabel nivå för att förhindra alltför stora sättningar eller kollaps 4.1 Vertikal spänning Vertikal spänning på undergrundens översida viktigt vid dimensionering av överbyggnad, eftersom den svarar för permanent deformation (spårbildning); Tillåten σz beror på E hos undergrundsmaterialet. Varför används töjningen? Vertikal trycktöjning (εc) använd som dimensioneringskriterum a q ∞ h1 h2 E1 E2 E3 För att kombinera effekten av spänning (σ) och styvhet (E) Effekten av horisontell spänning är relativt liten; vertikal töjning orsakas primärt av vertikal spänning εc

Belastningar och spänningar i vägar 4.2 Dragtöjning Dragtöjning vid botten av asfaltlagret; används inom överbyggnadsdimensionering som utmattningskriterium Två typer av töjning: Minsta genomsnittliga huvudtöjningen, ε3 Horisontella “huvudtöjningen”, εt (inte en verklig huvudtöjning) Horisontella huvudtöjningen (εt) används som dim. kriterium a q ∞ h1 h2 E1 E2 E3 ε

Belastningar och spänningar i vägar 4.2.1 Genomsnittliga huvudtöjningar: Baserat på samtliga 6 komponenter av normal- och skjuvspänningar – σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz Lös kubiska ekvationen för att erhålla σ1, σ2, & σ3 Beräkna sedan huvudtöjningen Minsta huvudtöjning (ε3) anses vara dragtöjning då dragning är negativ a q AC Vilken är riktningen hos ε3? Minsta huvudtöjning (ε3) verkar inte alltid i horisontella planet ε3 ε3

Belastningar och spänningar i vägar 4.2.1 Horisontell huvudspänning: Baserad enbart på horisontella normal- och skjuvspänningar – σx, σy, τxy Horisontell huvudspänning (εt) är något lägre än minsta huvudtöjning (ε3) Maximala horisontella töjningen på X-Y planet Verkar alltid på horisontella planet Används för att prediktera utmattningsbrott a q AC εt

Belastningar och spänningar i vägar Två-lagerteori (Burmister 1940-talet) Utvecklade lösningar för: Vertikala deflektioner (flexibel & styv) Vertikala spänningar (begränsat antal fall) σ & δ starkt beroende av styvhetskvoten E1/E2 Notera betydelsen av styvhetskvoten vid minskande spänningar.

Belastningar och spänningar i vägar 5.1 Tvålagerdeflektioner I ett-lagerteori antar vi att alla lager skulle kunna representeras av ett lager δyta = δundergrundens överyta För två-lagerteori har vi: Vertikal ytdeflektion Vertikal deflektion i gränsytan a q ∞ h1 E1 E2 5.1.1 Ytdeflektioner Flexibel Styv Varför används E2 för ytdeflektion? E2 svarar för större delen av deflektionen (jfr följande exempel) F2 tar hänsyn till styvhetskvoten

Belastningar och spänningar i vägar 5.1.2 Ytdeflektioner - exempel a=6” q=80 psi ∞ h=6” E1=50,000 psi E2=10,000 psi Givet: h1/a=6/6=1 E1/E2=5 Sök: F2=0.6

Belastningar och spänningar i vägar 5.1.3 Gränsytedeflektion - exempel För samma exempel som ovan: F h1/a a=6” q=80 psi ∞ 6” E1=50,000 psi E2=10,000 psi Offset Givet: h1/a=6/6=1 ;r/a=0 r/a=0 Sök: F=0.83

Belastningar och spänningar i vägar 5.1.4 Jämförelse mellan yt- och gränsytedeflektioner Jfr resultaten i exemplet: Ytdeflektion = 43 mils Gränsytedeflektion= 40 mils Kompression i topplagret = 3 mils Topplager Underbyggnad Procentuell andel kompression:

Belastningar och spänningar i vägar 5.2 Två-lager vertikal spänning Vilken tjocklek behöver vi för att skydda undergrunden? a=6” q=80 psi ∞ h1 E1=500,000 psi E2=5,000 psi Maximalt tillåten σc för lermaterial = 8 psi Givet: σc/q=0.1 E1/E2=100 Fig 2.15 Sök: a/h1=1.15

Belastningar och spänningar i vägar 5.2 Kritisk dragtöjning Strain Factor, Fe a=6” q=80 psi εt E1=200,000 psi 6” ∞ E2=10,000 psi e = εt= kritisk dragtöjning Givet: E1/E2=20 h1/a=1 Fig 2.21 Sök: Fe=1.2

Belastningar och spänningar i vägar Brottkriterier 6.1 Modell för sprickbildning vid utmattning Baserad på Miner’s kumulativa skadekoncept Skademängd utryckt som en skadekvot predikterat/tillåten antal upprepade laster f1 = Skiftfaktor laboratorium/fält f2 & f3 = bestämda på lab.provkroppar 6.2 Spårmodell Tillåtet antal upprepade laster relaterat till εc på ytan av undergrunden Förklarar inte brott i andra lager f4 & f5= predikterade skiftfaktorer mellan laboratorium och fält