MaB: Andragradsfunktioner Allmänt En andragradsfunktion kan skrivas y = ax2 + bx + c där a, b och är konstanter, ex. y = 4x2 – 2x + 1 (a = 4, b = -2, c = 1) Ritar vi upp y = x2 i ett koordinatsystem får vi: Några punkter ur värdetabell: x y (= x2) - 2 ( -2 )2 = 4 - 1 ( -1 )2 = 1 02 = 0 1 12 = 1 2 22 = 2 Vi kan se att kurvan är symmetrisk. Det finns två olika x-värden (utom x = 0) som ger samma y-värde, t.ex. -1 och 1, -2 och 2!

MaB: Andragradsfunktioner Ritar vi upp fler andragradsfunktioner kan vi se att alla har samma symmetri och typiska utseende. y = x2 + 4x y = -0,5x2 +3x – 2 Studerar vi ännu fler ser vi att för y = ax2 + bx + c gäller: 1. a > 0 ger att kurvan har ett minsta värde (positiv = glad mun) 2. a < 0 ger att kurvan har ett största värde (negativ = sur mun) 3. max eller min finns på kurvans symmetrilinje 4. värdet på c ger skärning med y-axel Kurvans form kallas parabel

MaB: Andragradsfunktioner Nollställen Vill vi bestämma när kurvan har (y-)värdet noll kan vi ställa upp och lösa en andragradsekvation. ex. y = x2 – 2x – 3, löser vi x2 – 2x – 3 = 0 finner vi lösningarna x1 = -1 och x2 = 3 vilket är funktionens nollställen Nollställen hittar vi på x-axeln Mitt i mellan nollställen finns symmetrilinjen och min-värde Om kurvan ligger ovan eller under x-axeln så saknas nollställen och ekvationen y = 0 saknar lösning! (tangerar kurvan x-axeln så har ekvationen y=0 en s.k. dubbelrot, dvs. en lösning)

MaB: Andragradsfunktioner Exempel Bestäm största eller minsta värde för y = x2 + x – 2 1. Konstaterar att funktionen har ett minsta värde. (x2 = + x2 , positiv x2-term = glad mun, dvs min. finns) 2. Bestämmer nollställen, sätter x2 + x – 2 = 0 och finner x1 = -2 och x2 = 1 3. Mitt i mellan -2 och 1 finns x = -0,5 som är symmetrilinjen! 4. Minimum finns på symmetrilinjen, dvs vi räknar ut minsta värdet genom att sätta in x = -0,5 i y = x2 + x – 2 vilket ger y = -2,25

MaB: Andragradsfunktioner Exempel Hur hittar vi största eller minsta värde om nollställen saknas? I förra exemplet, y = x2 + x – 2, fann vi med hjälp av nollställena funktionens symmetrilinje x = - 0,5 Löser vi x2 + x – 2 = 0 med hjälp av lösningsformeln får vi: Redan här kan vi identifiera symmetrilinjens ekvation. (x=-0,5) Detta värde ligger alltid mitt i mellan ev. nollställen då vi tar + och – med samma värde för att beräkna de två nollställena. Saknas nollställen så kan vi ändå beräkna detta värde som ger symmetrilinjen och sedan gå vidare på samma sätt som tidigare!!

MaB: Andragradsfunktioner Tillämpning En sten kastas uppåt och fångas i handen igen. Höjden hos stenen varierar enligt: h(t) = 10t -5t2 h = höjd i meter mätt från handen som kastar den t = tiden i sekunder från uppkastet Beräkna hur länge stenen är i luften och hur högt den kommer. 1. Bestämmer funktionens nollställen med ekvationen 10t -5t2 = 0 5t( 2-t) = 0 som har lösningarna t1 = 0 och t1 = 2 Tolkar svaret som att den efter 2,0 sekunder är tillbaka. 2. Symmetrilinjen ligger då på t = 1,0 varför vi kan beräkna största värdet h(1) = 10·1,0 - 5 ·(1,0)2 = 5,0 meter, dvs stenen är som högst 5,0 meter över handen. (-5t2 betyder att vi på symmetrilinjen har ett största värde! (sur mun) )