Talföljder formler och summor Kort presentation med fakta, bevis, exempel samt länkar till övningar.

Talföljd En talföljd är en följd av tal, se tre exempel nedan: 4 6 8 0 12 12 13 13 15 (oregelbunden) 1 3 5 7 9 11 13 15 17… (aritmetisk) 4 8 16 32 64 128… (geometrisk)

Aritmetisk talföljd Exempel på aritmetisk talföljd var enligt förra bilden: 1 3 5 7 9 … En sådan talföljd definieras via skillnaden mellan varje position i talföljden. Varje tal i talföljden kallas element. Vi ser att 9 – 7 = 2 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 Etc Talet 2 är talföljdens differens. Om varje tal i talföljden skrivs som ett a med index (numrering) så kan vi förenkla denna talföljd till: a(n+1) = an + 2 & a1 = 1

Geometrisk talföljd Exempel på geometrisk talföljd var enligt förra bilden: 4 8 16 32 64 …. Denna talföljd har inte samma differens hela tiden, men det finns ett samband. Vi ser att : 64/32 = 2 32/16 = 2 16/8 = 2 Etc Talet 2 är talföljdens kvot. Vi får nästa tal i talföljden genom att multiplicera aktuellt tal med kvoten. Nästa tal i talföljden ovan blir 128 Om varje tal i talföljden skrivs som ett a med index (numrering) så kan vi förenkla denna talföljd till:

Summa (serie) av talföljder En summa eller serie som det också kallas i matematiken är som det låter summan av de tal som ingår i talföljden. Se exempel nedan: Oregelbunden talföljd: T = {1 4 7 9 14} Summan S(T) blir då 1 + 4 + 7 + 9 + 14 = 35 Det finns inga genvägar att räkna ut en oregelbunden summa utan vi är hänvisade till huvudräkning, miniräknare eller Google. Ibland används summatecknet för att beskriva att vi vill räkna med summa:

Aritmetisk serie En aritmetisk serie är summan av alla eller några tal i en aritmetisk talföljd. T = 5 9 13 17 21 25 … 101 I talföljden T ovan finns många tal och … betyder att jag hoppat över att skriva vissa tal men att mönstret stämmer enligt det vi ser av talföljden. Talföljden är aritmetisk med differensen 4. Nu skall vi beräkna summan av hela denna talföljd. Vi kallas summan för S. S = 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + … + 101 Vi skulle kunna använda huvudräkning, miniräknare eller Google men det blir lite välj jobbigt. Istället skall vi försöka hitta på något smart sätt. Summan räknas ut på nästa sida.

Aritmetisk serie S = 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + … + 101 Skriv nu upp samma summa fast baklänges. S = 101 + 97 + 93 + 89 + … + 13 + 9 + 5 Skriv dem ovan för varandra och summera varje term vertikalt. Antal termer kan vi lätt räkna ut eftersom vi kan kolla med en ekvation hur många steg det är från 5 till 101. Varje steg är 4. 5 + 4x = 101 4x = 96 x= 24 Vi går alltså 24 steg fram vilket innebär att vi har 25 termer i denna summa.

Geometrisk serie Vi vill nu beräkna summan av en geometrisk talföljde och denna kan vi skriva på följande sätt: S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 Vi tjänar inget på att skriva upp summan baklänges i detta fall, prova själv. Istället skall vi multiplicera båda sidor med kvoten som i detta fall är 2. 2S = 8 + 16 + 32 + 64 + 128 Nu beräknar vi skillnaden mellan 2S och S 2S – S = 8 + 16 + 32 + 64 + 128 – (4 + 8 + 16 + 32 + 64 ) = 128 – 4 S = (128 – 4 )

Geometrisk serie Formel Nytt exempel S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 Multiplicera med kvoten som här är 3. 3S = 3 + 9 + 27 + 81 +243 Nu beräknar vi skillnaden mellan 3S och S 3S – S = 243 - 1 2S = 242 S = 121

Tillämpning - Annuitetslån Ett annuitetslån är ett lån där du betalar samma belopp varje inbetalning. Med en given ränta och ett givet antal år skall vi nu räkna ut den årliga annuiteten.   Hur skall vi förstå annuitetslån? Om vi först tänker oss att låna är som att spara. Vi lånar 100 000 kr med en konstant ränta på 5 %. Lånet skall vara betalt efter fyra år. Om vi inte gör några inbetalningar till låneinstitutet utan istället väljer att spara pengar varje år på ett konto med samma ränta som lånet kan vi beräkna hur stor varje sparinsättning måste vara för att de totalt skall vara värda lika mycket som lånet efter tio år. Vi kommer efter 4 år vara skyldiga banken . Efter ett år sätter vi in x kronor som då kommer att förräntas i sammanlagt 3 år. Efter ytterligare ett år sätter vi in x kronor till som kommer att förräntas i 2 år. När det har gått tre år sätter vi in x kronor till som endast kommer att få växa ett år. När det har gått fyra år är det dags för den sista inbetalningen men de kommer inte att förräntas eftersom det då är dags att ta ut alla pengarna och betala till banken. Fortsättning nästa bild.

Fortsättning Annuitetslån

Beräkning Annuitetslån Det vi beräknar i med hjälp av formeln i annuitetslån är första termen som i exemplet ovan kommer sist. a1 = x i vårt exempel.

Formler och rekursion I detta avsnitt stöter man på olika formler som gäller för heltalssamband. a(n+1) = an + 2 är en rekursionsformel som beskriver en aritmetisk talföljd. En rekursionsformel ger ett tal genom att använda föregående tal. En ”vanlig” formel även kallad enkel formel anropar en position i talföljden och returnerar värdet. Dessa liknar de funktioner vi arbetat med i tidigare avsnitt men här är n både variabel (ofta heltal) samt position. Exempel: an = n + n2 ger a1 = 2, a3 = 12, a6 = 42 Talföljden 1, 5, 26, 677… är inte aritmetisk eller geometrisk men vi kan skriva den som en rekursionsformel: an+1 = (an)2 + 1

Övning och examination När man arbetar med detta avsnitt är det viktigt att ha tålamod och försöka lösa problem genom att tänka först och sedan kolla efter eventuella formler som kan vara till hjälp. Skriv upp era tankar om problemet och försöka beskriv det så att ni själva förstår det först och främst. Man bör kunna starta med examinationsuppgiften direkt om man vill. För fler övningar vänligen kontakta er lärare. Examinationsuppgift