Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetsteori Moment STAT2 Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetsteori

Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetsteori

Mängdlära Kapitel 3.1

Definitioner Verktyg för att visualisera sannolikheter/utfall Viktig byggsten inom matematik och logik

Utfallrsum (sample space) Alla möjliga utfall (händelser) av ett experiment betecknas med 𝑆 Utfallrsummet av ett tärningskast med en sexsidig tärning är: 𝑆={1, 2, 3, 4, 5, 6} Vardera utfall kallas element

Delmängder Varje enskilt, eller samling av, element från 𝑆 är en delmängd av 𝑆 Mängden av utfall med udda prickar kan betecknas som: 𝐴={1, 3, 5} 𝐴 är en delmängd av 𝑆, och betecknas 𝐴∈𝑆

Delmängder En mängd som inte innehåller några element kallas den tomma mängden ∅=

Komplement Element som inte tillhör en mängd kallas för komplement, betecknas 𝐴 Ex: 𝐴= 1, 3, 5 𝐴 ={2, 4, 6}

Snitt (intersection) Element som tillhör både 𝐴 och 𝐵, betecknas 𝐴∩𝐵 Ex: Låt 𝐴=ℎä𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛 𝑢𝑑𝑑𝑎 ö𝑔𝑜𝑛 𝑝å 𝑡ä𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝐵=ℎä𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛 ℎö𝑔𝑠𝑡 3 ö𝑔𝑜𝑛 𝑝å 𝑡ä𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝐴= 1, 3, 5 𝐵={1, 2, 3} 𝐴∩𝐵={1, 3}

Union Element som tillhör 𝐴 eller 𝐵, betecknas 𝐴∪𝐵 Ex: 𝐴∪𝐵={1, 2, 3, 5}

Venn diagram Visualiseringsmetod för mängder (och senare sannolikheter)

Disjunkta händelser (mutually exclusive) Om två händelser inte har några överlappande element är händelserna disjunkta 𝐴∩𝐵=∅ innebär att 𝐴 och 𝐵 är disjunkta Kollektivt uttömmande

Exempel Kasta en tärning. Låt: A = händelsen att minst 3 ögon visas B = händelsen att ett jämnt antal ögon visas

Kombinatorik Kapitel 3.2 Extra FL4 halvtid

Definitioner Beräkningar av på hur många sätt ett givet antal element kan ordnas i mängder Ordnade och icke-ordnade mängder

Ordnade mängder, olika Om ordningen spelar roll används: Brevlådeprincipen Permutationer Ordna en mängd av storlek 𝑥 där alla element ska väljas. Ex: Hur många sätt kan en brevbärare stoppa 10 brev i 10 brevlådor? 𝑥!=𝑥⋅ 𝑥−1 ⋅ 𝑥−2 ⋅…⋅2⋅1

Ordnade mängder, olika Hur många sätt kan 100m löpare få medaljer bland de tio som springer? 𝑃 𝑥 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑥 ! Här spelar ordningen roll eftersom valören på medaljerna är olika Notera att beteckningen 𝑃 𝑘 𝑛 också kan förekomma i föreläsningar och lektioner x har bytts ut mot k

Ordnade mängder, lika Om vissa element är lika kommer vissa ordnade mängder vara densamma Ex: Alla kulor ska dras efter varandra från en korg med 3 blåa och 3 röda. Hur många olika ordningar kan vi få? 𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,… 𝑛 = 𝑛! 𝑥 1 !⋅ 𝑥 2 !⋅ 𝑥 3 !⋅…

Icke-ordnade mängder, utan återläggning Om ordningen inte spelar roll används: Kombinationer Hur många sätt kan man bilda en grupp om fyra personer från klassen? 𝐶 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! = 𝑃 𝑥 𝑛 𝑥!

Icke-ordnade mängder, med återläggning Om vi lägger tillbaka elementen efter varje dragning förändras förutsättningarna Vi ska dra fyra kulor från en korg med sex stycken. Vi drar kulorna en åt gången och lägger tillbaka den dragna kulan i korgen efter varje dragning. På hur många sätt kan detta göras? 𝐶′ 𝑥 𝑛 = 𝑛+𝑥−1 𝑥 = (𝑛+𝑥−1)! 𝑥! 𝑛−1 !

Sannolikhetsteori Kapitel 3 F5 start

Sannolikhetens grundpelare Sannolikheter måste ligga mellan 0 och 1 Sannolikheten för alla disjunkta händelser i 𝑆 summeras till 1

Definitioner En sannolikhet är… …andelen lyckade utfall av alla möjliga utfall 𝑃 𝐴 = 𝑁 𝐴 𝑁 ...andelen lyckade utfall från en stort antal försök 𝑃 𝐴 = 𝑛 𝐴 𝑛 Samma innebörd/formel men i olika scenarier.

Definitioner … definierad beroende på hur starkt man tror på att en händelse inträffar. Subjektivt skapad. Stor del utav Bayesiansk statistik

Sannolikhetsregler Betingade sannolikheter: Givet att en händelse redan har skett, vad är sannolikheten för en viss händelse betecknas: 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 >0 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐴 >0 Tänk som att man begränsar utfallsrummet till 𝑃(𝐴) eller 𝑃(𝐵)

Sannolikhetsregler Komplement: Om vi vet sannolikheten för 𝐴, P⁡(𝐴), så är sannolikheten att 𝐴 inte inträffar: P A =1−P(𝐴) Additionssatsen för sannolikheter: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) Rita upp venndiagram över dessa.

Sannolikhetsregler Multiplikationssatsen för sannolikheter 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝐵 ∗𝑃(𝐵)

Oberoende händelser Om sannolikheten för en händelse inte påverkas av att en annan händelse inträffar, benämner vi händelserna som oberoende 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵) Om två händelser är oberoende kan vi omformulera multiplikationssatsen till: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ∗𝑃(𝐵)

Case Studies

Case Ni (gruppvis) spelar en variant av Texas Hold’em (poker) med en annan grupp. I er hand har ni två ess. På bordet ligger hjärter ess, ruter dam och 9, samt spader 10. Er motståndare har ruter 10 och knekt. Ett okänt kort ska dras till bordet. Spelaren som har de bästa fem korten vinner (2 egna + 3 från bordet) Kortleken bestod från början av 52 kort Inga andra kort än de som finns visade har använts (inga har slängts) A ? D 10 Kn 9

Case Vad är er subjektiva sannolikhet att ni vinner? Motivera. 10 Kn 9 Case Vad är er subjektiva sannolikhet att ni vinner? Motivera. Vilka kort får inte dyka upp för att ni fortfarande ska vinna? Ledning: https://goo.gl/WIhD4z Vad är (den objektiva) sannolikheten att ni vinner handen?

Case ? Ni ska kasta en sexsidig tärning två gånger. Hur många olika utfall kan ni få på dessa två tärningskast? Ledning: Ordningen spelar roll Första kastet visar en fyra. Vad var sannolikheten att få detta resultat? Beräkna sannolikheten att få en fyra även på nästkommande kast. Är händelserna oberoende?

Case Vad är er subjektiva bedömning om tärningen? Är den viktad eller inte? Motivera. Sitt gruppvis om fyra personer: En kastare Tre antecknare (rekommenderar 2 siffror per person) En tärning Kasta tärningen så många gånger ni kan under fem minuter Sammanställ (visualisera) resultatet och motivera huruvida tärningen är viktad eller ej

Mer om sannolikhetslära FL6 Start

Odds Inom betting betraktas sannolikheter för en händelse som odds 𝑂𝑑𝑑𝑠 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐴

Bivariata sannolikheter Om vi betraktar två mängder av disjunkta händelser kan vi skapa en korstabell över informationen Varje cell i tabellen innehåller den bivariata sannolikheten (snittet) för händelse 𝐴 𝑖 och 𝐵 𝑗 𝑃( 𝐴 𝑖 ∩ 𝐵 𝑗 ) Ex: ”Händelserna” Juridiskt kön ={𝑀𝑎𝑛, 𝐾𝑣𝑖𝑛𝑛𝑎} och Ålder ={−25, 25−50, 50+} En person kan antingen vara man eller kvinna, inte båda (disjunkta). En person kan inte vara mindre än 25 år och mellan 25 och 50 år (disjunkta). Ålder/Juridiskt kön Man Kvinna <25 𝑃(𝑀𝑎𝑛∩<25) 𝑃(𝐾𝑣𝑖𝑛𝑛𝑎∩<25) 25-50 𝑃(𝑀𝑎𝑛∩25−50) 𝑃(𝐾𝑣𝑖𝑛𝑛𝑎∩25−50) 50< ⋮

Bivariata sannolikheter Marginella sannolikheter är rad/kolumnsummor av den skapade korstabellen Den marginella sannolikheten för händelse 𝐴 𝑖 kan då skrivas som: 𝑃 𝐴 𝑖 =𝑃 𝐴 𝑖 ∩ 𝐵 1 +𝑃 𝐴 𝑖 ∩ 𝐵 2 +…+𝑃 𝐴 𝑖 ∩ 𝐵 𝐾 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑡 𝑃 𝐴 𝑖 = 𝑗=1 𝐾 𝑃( 𝐴 𝑖 ∩ 𝐵 𝑗 ) = 𝑗=1 𝐾 𝑃 𝐴 𝑖 𝐵 𝑗 ∗𝑃 𝐵 𝑗 Lagen om total sannolikhet Omformuleringen görs genom multiplikationsregeln.

Bayes Sats Ett alternativt sätt att beräkna betingade sannolikheter när ytterligare information tillkommer, grundstenen till Bayesiansk statistik. Thomas Bayes (1763) 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵 ∗𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 Rita upp ett Venn-diagram.

Exempel Risken för att få en viss sjukdom är 1 på 1 000. Ett test som är skapad för att upptäcka detta är 99 procent effektiv att identifiera sjukdomen, det vill säga den ger ett korrekt positivt resultat i 99 procent av fallen personen har sjukdomen. Tyvärr ger testet också falska positiva resultat i två procent av fallen då personen inte är sjuk. Vad är sannolikheten att testet ska ge ett positivt resultat överlag? Vad är sannolikheten att en person som fått ett positivt resultat verkligen har sjukdomen? Vad är sannolikheten att en person som fått ett negativt resultat verkligen har sjukdomen?