Kapitel 2 Förändringshastighet och derivator manada.se

2.3 Deriveringsregler I Derivatan av polynom Derivatan av potensfunktioner manada.se

Derivatas definition 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ derivatan då 𝑥=𝑎 Funktionens derivatan för alla 𝒙 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ manada.se

Konstanta funktioner Om funktionen 𝒇 𝒙 =𝒌, där 𝒌 är en konstant, så funktionens derivatan 𝒇′(𝒙) = 0 manada.se

Derivata för linjära funktion 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 Om 𝑓 𝑥 =𝑘𝑥+𝑚 är 𝒇′(𝒙) = 𝑘 manada.se

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , så är 𝑓 ´ (𝑥) = 2𝑥 Om 𝒉 går mot noll, så går 𝑓´(𝑥) mot värdet 2𝑥 Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , så är 𝑓 ´ (𝑥) = 2𝑥 manada.se

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝟑 𝑓(𝑥)= lim ℎ→0 (3 𝑥 2 +3𝑥ℎ + ℎ 2 )= 3𝑥 2   𝑓(𝑥)= lim ℎ→0 (3 𝑥 2 +3𝑥ℎ + ℎ 2 )= 3𝑥 2 Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =3 𝑥 2 manada.se

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝟒 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 (4 𝑥 3 +6 𝑥 2 ℎ + 4𝑥ℎ 2 + ℎ 3 )= 4𝑥 3 (𝑥+ℎ) 4 − 𝑥 4 ℎ ⟹ 𝑥 4 +4 𝑥 3 ℎ+6 𝑥 2 ℎ 2 +4𝑥 ℎ 3 + ℎ 4 − 𝑥 4 ℎ ⟹ 4 𝑥 3 ℎ+6 𝑥 2 ℎ 2 +4𝑥 ℎ 3 + ℎ 4 ℎ ⟹ ℎ(4 𝑥 3 +6 𝑥 2 ℎ+4𝑥 ℎ 2 + ℎ 3 ) ℎ ⟹ 4 𝑥 3 +6 𝑥 2 ℎ+4𝑥 ℎ 2 + ℎ 3 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 (4 𝑥 3 +6 𝑥 2 ℎ + 4𝑥ℎ 2 + ℎ 3 )= 4𝑥 3 Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =4 𝑥 3 manada.se

Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝒏 𝑭𝒖𝒏𝒌𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇(𝒙) 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒕𝒂 𝒇´(𝒙) 𝑥 1 𝑥 2 2𝑥 𝑥 3 3 𝑥 2 𝑥 4 4 𝑥 3 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛−1 Om 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =𝑛 𝑥 𝑛−1 manada.se

Deriveringsregler i formelblad manada.se

Om 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑛 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =𝑘∙𝑛 ∙𝑥 𝑛−1 𝑓(𝑥) = 𝒌𝑥 𝒏 Vad är derivatan av 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 2 ? 5 (𝑥+ℎ) 2 −5 𝑥 2 ℎ = 5 (𝑥 2 +2𝑥ℎ+ ℎ 2 − 𝑥 2 ) ℎ = 5 2𝑥ℎ+ ℎ 2 ℎ = 5(2𝑥+ℎ) 𝑓´ 𝑥 = 5∙lim ℎ→0 (2𝑥+ℎ )=5∙2𝑥=10𝑥 Om 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑛 , så är 𝑓 ´ (𝑥) =𝑘∙𝑛 ∙𝑥 𝑛−1 manada.se

Derivatan av polynom Ett polynom får deriveras ”term för term” 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 2 −3𝑥 Bestäm 𝑓´(𝑥) 𝑓´ 𝑥 =2∙4∙𝑥−3=8𝑥−3 Svar: 8𝑥−3 𝑓 𝑥 =3 𝑥 7 −3𝑥+8 Bestäm 𝑓´(𝑥) 𝑓´ 𝑥 =7∙3∙ 𝑥 6 −3+0= 21𝑥 6 −3 Svar: 21𝑥 6 −3 Om 𝑓 𝑥 =𝑝 𝑥 +𝑞(𝑥) så är 𝑓´ 𝑥 =𝑝´ 𝑥 +𝑞´(𝑥) manada.se

Betäckningar för derivatan 𝑓´(𝑥) 𝑦 ´ 𝑦´ 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐷𝑓(𝑥) manada.se

Derivatan av potensfunktioner 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒂 Derivera 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 1 2 𝑥+ℎ − 𝑥 ℎ = ( 𝑥+ℎ − 𝑥 )∙( 𝑥+ℎ + 𝑥 ) ℎ∙( 𝑥+ℎ + 𝑥 ) = 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ( 𝑥+ℎ + 𝑥 = 1 𝑥+ℎ + 𝑥 Om ℎ går mot noll 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 1 𝑥+ℎ + 𝑥 = 1 𝑥 + 𝑥 = 1 2 𝑥 = 1 2 ∙ 𝑥 − 1 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 1 2 så är𝑓´ 𝑥 = 1 2 ∙ 𝑥 − 1 2 = 1 2 𝑥 manada.se

Derivatan av potensfunktioner 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒂 Potensfunktionen 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎 där 𝑎 är ett reellt tal har derivatan 𝒇´ 𝒙 =𝒂∙ 𝒙 𝒂−𝟏 för 𝑥>0 manada.se

Exempel Derivera 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 = 𝑥 −1 𝑓´ 𝑥 =−1∙ 𝑥 −1 −1 =− 𝑥 −2 =− 1 𝑥 2 Derivera 𝑦= 𝑥 5 + 𝑥 3 2 𝑦´= 5𝑥 4 + 3 2 𝑥 3 2 −1 = 5𝑥 4 + 3 2 𝑥 1 2 = 5𝑥 4 + 3 2 𝑥 manada.se