Dagens ämnen Linjära avbildningar Definition och exempel Linjära avbildningar som matrisprodukt ”Rätt bas” till en given avbildning Exempel på matriser till standardavbildningar i ”rätt bas”
Definition 7.2.1 Låt U och V vara två vektorrum. En funktion F: U→V för vilken gäller att F(u+v) = F(u) + F(v) för alla u,v∊U F(λu) = λF(u) för alla u∊U och alla λ∊R kallas en linjär avbildning. Definition 1, sid 433. Låt V och W vara vektorrum. En funktion T: V→W. f kallas en linjär avbildning från V till W om följande gäller Om V=W så kallas f också en operator. Låt U och V vara vektorrum. En funktion F: U→V från V till W om följande gäller för alla u och v i V och alla skalärer k: T(ku) = kT(u) [Homogenitets egenskapen] T(u+v) = T(u) + T(v) [Additivitets egenskapen] Om V=W så kallas T en linjär operator. Låt U och V vara vektorrum. En funktion F: U→V från V till W om följande gäller för alla u och v i V och alla skalärer k: T(ku) = kT(u) [Homogenitets egenskapen] T(u+v) = T(u) + T(v) [Additivitets egenskapen] Om V=W så kallas T en linjär operator.
Exempel F: R→R linjär ⇔ F(x)=konstant·x, Derivering, F(f )=f ’ är en linjär avbildning, Geometriska standardoperationer, projektion, vridning, sträckning, etc är linjära avbildningar A nxm-matris, X mx1-matris. F(X)=AX är linjär
Matriser till linjära avbildningar
Vridning i planet −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 F(e2)=(-sinθ,cosθ)= e e2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 F(e1)=(cosθ,sinθ)=e θ θ e1 𝐴= 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
Vridning i rummet
Ortogonalprojektion på vektor u 𝐴= 1 0 0 0 e2 F(u) F(e2)=0 e1=F(e1)
Ortogonalprojektion i plan u f1 F(f3)=f3 F(u) F(f2)=f2 F(f1)=0 𝐴= 0 0 0 0 1 0 0 0 1
Spegling i x-axeln u f2 𝐴= 1 0 0 −1 F(f1)=f1 F(f2)=-f2 F(u)
Spegling i plan u f1 F(f3)=f3 F(f2)=f2 F(u) F(f1)=-f1 𝐴= −1 0 0 0 1 0 0 0 1 F(f1)=-f1