Memorera eller förstå ? två olika sätt att studera matematik Ambjörn Naeve Kungliga Tekniska Högskolan, Stockholm ARC lunchseminarium,

Strukturen hos dagens matematikundervising Sluten lagrad arkitektur baserad på: brist på ämnesförståelse i de tidiga lagren. minimering av undervisningsbördan i de senare lagren. livslångt utlärande med: Läroplansorienterad ”knowledge push”.

Problem med dagens matematikundervisning Den har svårt att: skapa förståelse. stödja individualisering. integrera matematiken med den övriga kulturen. stimulera intresse. integrera abstraktioner med tillämpningar. underlätta övergång mellan olika lager.

Möjligheter till förbättrad matematikundervisning visualisering av begreppen. interaktion med formlerna. använda IT för att öka den ”kognitiva kontakten”: individualisering av presentationen. Stödja livslångt in-lärande baserat på intresse: förstärka berättelsen genom att: visa innan man bevisar. fokusera på den matematiska idéhistorien. slussande av frågorna till levande resurser. bevisa enbart när behovet är uppenbart.

Ideologi: Betona de spekulativa och kreativa aspekterna av matematiken. Matematiken som konstform. Mål: Att stimulera intresset för matematik bland alla åldersgrupper. Grundidé: Avdramatisering genom dramatisering. Problematisera och dramatisera de matematiska begreppen och förankra dem i idéhistorien. Metod: Förstärka berättelserna- visa utan att nödvändigtvis bevisa. Form: “Gårdagens Nyheter”: Proust: “På spaning efter den matematik som flytt.” Kunskapskomponenter genom historien (Pythagoras, Archimedes, Newton, …) knyts samman av ett ”nyhetsankare i rum-tiden” som följer olika spår genom utvecklingen av matematiska begrepp och idéer. Helgdagsmatematik

De matematiska kugghjulen 1 Ambjörn Naeve

De matematiska kugghjulen 2

# # # # The pattern that connects 1

# # # # The pattern that connects 2

Tar bortHar kvar Lägger till för att återställa 1/3 av vad jag hade = = 33,33…% av vad jag hade 2/3 av vad jag hade = = 66,66…% av vad jag hade 1/3 av vad jag hade = = 1/2 av vad jag har kvar = = 50% av vad jag har kvar 1/2 av vad jag hade = = 50% av vad jag hade 1/2 av vad jag hade = = lika mycket som jag har kvar = = 100% av vad jag har kvar = 50% av vad jag hade 1/2 av vad jag hade = 1/4 av vad jag hade = = 25% av vad jag hade 3/4 av vad jag hade = = 75% av vad jag hade 1/4 av vad jag hade = = 1/3 av vad jag har kvar = = 33,33…% av vad jag har kvar 1/5 av vad jag hade = = 20% av vad jag hade 4/5 av vad jag hade = = 80% av vad jag hade 1/5 av vad jag hade = = 1/4 av vad jag har kvar = = 25% av vad jag har kvar Procenträkning: Ambjörn Naeve

Distributiva Lagen Definition (för att utvidga DL till negativa tal):

Produkt av Summor --> Summa av Produkter: Designbeslut: Snitt av Unioner --> Union av Snitt: Union av Snitt --> Snitt av Unioner : ELLER av OCHs --> OCH av ELLERs: OCH av ELLERs --> ELLER av OCHs : Den distributiva lagen: ett mönster som förenar

Multiplikation av komplexa tal i kartesiska koordinater: i polära koordinater: där

Math Makers versus Math Fakers Ambjörn Naeve

Fundamentalsatsen för ’utbildningskalkyl’

Begreppsbildning syftar till att hjälpa oss Exempel: Begreppsbildning “Styrkan i tänkandet ligger i att veta vad man inte ska tänka på.” Effektiva begrepp bortser från det mesta Punkt, Linje, Plan, ….. inom geometrin. Syfte: att bortse från oväsentligheter genom att bygga upp idealiserade strukturer som fokuserar på det väsentliga. så att det märks så lite som möjligt. Effektivitet : En beskrivning av de viktigaste begreppen Def: och deras inbördes relationer inom ett visst område kallas en begreppsmodell över området.

KunskapsMappning Att hjälpa människor att bygga sina egna kunskapskartor

Forward and backward competency gaps

KunskapsGapsMappning

Svårighetsbedömning

Möjliga KunskapsLeder

KunskapsUtvecklingsPlan

Kunskapsled från A till B med en utkikspunkt

Matte 1 för Bio och K (2007)

CyberMath (2000): En delad virtuell miljö för interaktivt utforskande av matematiken presentation av både elementära, och avancerade matematiska begrepp. Mål: CyberMath miljön ska stödja: Medel: Användande av avancerad VR teknologi (t.ex. DIVE). globalt samutnyttjande av resurser. traditionell lärarledd undervisning. gruppsamarbete mellan studenter. lärarledd presentation av material som är svårt att visualisera med traditionella metoder. Mer info + demo:

CyberMath: läraravatar med en laserpekare

CyberMath: att hitta nollrummet till en linjär avbildning = = =

Mera material finns på webbsida på ARC: Ambjörns seminariemapp:

APPENDIX

Lärande Aktivitet Input Stöd Output Kompetens FörkunskapsEfterkunskaps för- utvärdering efter- utvärdering Före- och Efter-kunskaper för en lärandeaktivitet

Lärande Aktivitet För- Kompetens Ingångs- Kunskaper Stöd- Kunskaper Efter- Kompetens LovarLevererar BehöverMottar BehöverMottar ”Supply-Support” nätverk för Lärandeaktiviteter

Lärande Aktivitet Behöver Mottar Behöver Mottar Lärande Aktivitet Mottar Lärande Aktivitet Behöver Mottar Behöver Mottar Lovar Behöver Mottar Behöver Levererar Lovar Levererar Mottar Lovar Behöver Levererar ProSumer-metriken: Lovar ∆ Levererar / Behöver ∆ Mottar

Student Lärande Aktivitet Mottar Lovar Behöver Lovar Levererar Mottar Behöver Levererar Lovar Levererar Deltagandemöjligheter Mottar strävar efter att skaffa sig kompetenser som den upplever att den kontrollerar begränsar kompetenser som utvidgar kunskapsbasen för utvärderar Utbildningsanordnarens ansvar Studentens och skolans ansvarsfördelning i ett kompetensgapsbaserat utbildningssystem

NuvarandeÖnskvärd Generell Special Specifik Verksamhet Lärandeprofil Lärobjekt Beskrivning Kompetens Matchning Komposition Minikurser Personaliserade Personalisering LUISA Organic.Edunet H-net …

Ericsson: Employee Competence Gap

Ericsson: Employee Competence Gap Analysis

# # # # The pattern that connects - 2

Associativitet: Kommutativitet: Distributivitet: Exempel: Några matematiska interaktionsmönster

AssociativitetKommutativitet Distributivitet kommutativ algebra associativ algebra