Lars Madej

 Vad är omkrets?  Har jordklotet en omkrets?

 Vad är area?  Har jordklotet en area?

 Vad är volym?

 Vi börjar med något alla känner till: ◦ Rektangel ◦ Omkrets = summan av sidornas längder ◦ Area = basen x höjden … Varför då? ◦ Volym =

 Parallellogram ◦ (OBS! En parallellogram – flera parallellogrammer) ◦ Omkrets = summan av sidornas längder ◦ Area = basen x höjden … Varför då?

 En rektangel är en parallellogram  En parallellogram är inte nödvändigtvis en rektangel  Varför då?  Hur definierar vi parallellogram resp rektangel? ◦ Parallellogram: fyrhörning med parvis parallella sidor ◦ Rektangel: Fyrhörning med fyra räta vinklar

 Vad är en kvadrat? ◦ En kvadrat är en fyrhörning med fyra räta vinklar och alla sidor lika långa  Är en kvadrat en rektangel eller är en rektangel en kvadrat? ◦ En kvadrat är en rektangel(med alla sidor lika långa)

 Vad är en romb? ◦ En romb är en fyrhörning med parvis parallella sidor och där alla sidor är lika långa ◦ Dvs en parallellogram med lika långa sidor  Alla figurer vi hittills gått igenom är parallellogrammer! ◦ Än så länge kan alltså arean alltid beräknas med Arean = basen x höjden

 Vad är en triangel?

 Vad är en cirkel?  En cirkel är mängden av punkter i planet som ligger på samma avstånd, cirkelns radie, till en given punkt, cirkelns mittpunkt.  Observera att cirkeln endast är linjen!

 Prisma – parallella basytor. Basytorna är polygoner och kanterna är parallellogram.  Rätblock – parvis parallella kanter som har rät vinkel mot varandra (tänk: skokartong)  Kub – Rätblock där kanterna är kvadrater  OBS! Ett tvärsnitt parallellt med basytorna är kongruent med basytorna Prismor Rätblock Kub

 Ett klot inskrivet i en cylinder

 Pyramid – Polygon som basyta, sidoytorna är trianglar som möts i en punkt (konens spets)  (cirkulär) kon – basytan är en cirkelskiva, smalnar av till konens spets.  OBS! Ett tvärsnitt parallellt med basytan är likformigt med basytan, har dock (såklart) mindre area Rak cirkulär kon

 Det ryms 3 pyramider i ett rätblock med samma basarea och samma höjd som pyramiden (även kallad kon)  Det ryms 3 (cirkulära) koner i en cylinder med samma basarea och samma höjd som konen  Kan visas med t.ex. laboration med vatten i ihåliga volymmodeller  Dvs samma volymberäkning som tidigare, men delat med tre!

Förläng med 2 Flytta fram 2 och lägg samman alla r till en potens d=2r Höjd = diameter Basyta är en cirkel

 Vilka typer av (2D-)figurer begränsar kroppen?  Räkna ut dess area!  Cirkulär kon och klot är lite klurigt ◦ Det går att förklara formlerna. Vi går inte in på det i detalj, men:  Formeln för konens mantelarea kräver att vi räknar med area av cirkelsektor (begränsningsarean är sedan mantelarea plus bottenarea). Kan du lösa detta själv?  Klotets begränsningsarea kräver en hel del jobb, så vi lämnar det! (Vi kan ju titta på hur Archimedes tänkte)

 Varje punkt på klotet kan projiceras på (föras rakt ut åt sidan till) cylinderns vägg.  Punkten i ”toppen” respektive ”botten” kan vi glömma eftersom en punkt har area 0.  Alltså har klotet samma area som cylinderns mantel!