 Viktig förberedelse för mer avancerad problemlösning  Verktyg för att underlätta beräkningar  Och jo, man har nytta av algebra, men ofta arbetar vi med retorisk algebra utan symboler!

 Barn och algebra  Lite historia  Vad är skolalgebra?  Olika uttrycksformer  Likhetstecknet  Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion  Aritmetisk och geometrisk talföljd

Problemlösning Generaliserad aritmetik Problemlösning Studera relationer Generaliserad aritmetik Lgr11, år 1-3 om algebra:  Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse  Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Lgr11, år 4-6 om algebra:  Obekanta tal och deras egenskaper …  Enkla algebraiska uttryck och ekvationer …  Metoder för enkel ekvationslösning  Hur mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas

 De hade en ”retorisk algebra”, algebra uttryckt med ord – på sin höjd med ordförkortningar  Algebran hade en väldigt stark praktisk koppling: ◦ Om det fanns två obekanta kallades de för ”längd” och ”bredd”, produkten för ”area”. ◦ Fanns det tre obekanta kallades de för ”längd”, ”bredd” och ”höjd”, produkten för ”volym”.  Retorisk algebra användes sedan av såväl kineser som egyptier.

 Algebran utvecklas av grekerna till ”synkoperad algebra”, där man använde ord för att lösa uppgiften, men med speciella symboler för att minska ned på antalet ord.

 Den persiske matematikern (och poeten) Omar Khayyam (ca ) definierade till slut en klar gräns mellan aritmetik och algebra: ◦ ”bruket av ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av polynom” ◦ (polynom = bokstavsbeteckning för variabel som kan ha potenser)  Därigenom skapades den symboliska algebran

 Under renässansen ( ) lyckades italienska matematiker lösa ännu flera typer av ekvationer och började ersätta retoriska lösningar med lösningar med förkortningar.  Francois Viete ( ) använde vokaler för att beteckna okända tal och konsonanter för kända storheter.  Descartes ( ) använde bokstäver i början av alfabetet för kända storheter och bokstäver i slutet för okända tal.

 Fyra aspekter: ◦ Verktyg för problemlösning  Symbolen betecknar ett obekant tal eller en konstant  Handlar om att lösa och förenkla ◦ Generaliserad aritmetik  Symbolen används för att beskriva mönster  Handlar om att översätta och generalisera ◦ Studera relationer  Symbolen betecknar en variabel eller parameter  Handlar om att relatera (t.ex. genom en graf) ◦ Studera strukturer (kommer vi inte att behandla)

 En matematisk utsaga som innehåller en likhet.  En ekvation innehåller ofta en eller flera obekanta som vanligtvis betecknas med x, y, eller z.  En lösning till en ekvation är ett eller flera tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med högra ledet (HL).

 = 5 (variabeln syns inte och kan anta vilket värde som helst)  a + b = b + a  8x – 13 = 3  7x – y = 14  x 2 – 3x + 2 = 0  Obs! Antalet lösningar kan vara noll, en, två eller flera!

 Symbolen ”=” markerar att VL och HL är exakt lika.  Detta är den enda korrekta innebörden!  En vanlig metafor är balansvågen. Här är ett exempel ur en lärobok för åk 3.

 Det är vanligt att likhetstecknet (helt felaktigt) får symbolisera andra saker, exempelvis:  = (blir) 5, någonting ”händer” = är en ”operator” 100 % = 300 kr 50 % = 150 kr Använd istället ordet ”motsvarar” eller : 25 % = 75 kr  Olika steg i en uträkning = = = Så här får du som lärare aldrig redovisa lösningar. Var noga med hur du använder likhetstecknet. Tänk igenom dina redovisningar i förväg.

 Notera även vilka uttrycksformer som förekommer. (här är det handen som symboliserar det obekanta)

 Många av er har säkert lärt er ekvationslösning genom att: ”flytta på andra sidan likamed och byt tecken”.  Skapar det en förståelse för vad man egentligen gör?  Balansvågsmetaforen skapar förståelse, sedan när man förstått, då är man redo att lära sig genvägarna och förenklingarna.  Alltså: Lyckas ni få eleven att förstå vad likhetstecknet verkligen betyder, blir ekvationslösning rätt enkelt!

 Tänk på prioriteringsreglerna och att vi räknar baklänges ◦ Vi ska ju hitta vilket tal som ger oss ”rätt” beräkning  Förenkla  Manipulera båda sidor  Förenkla igen  Manipulera båda sidor  O.s.v.

 Framhäver olika aspekter och beror på abstraktionsförmåga ◦ Fysiskt (arbeta med konkreta objekt)  Fördela 14 kulor i tre lika stora högar ◦ Bilder (antingen bilder av föremål eller tänkta bilder) ◦ Verbalt (retoriskt)  Beskriv med ord hur du tänker ◦ Numeriskt  Gör sifferexempel (kvantitativt) ◦ Symboliskt  Med algebraiska symboler (manipulativt)  OBS! Detta är ett exempel på hur man kan se på det! Det finns andra indelningar av aspekter.

 Behöver absolut inte vara identisk information! ◦ Ibland tappar vi information ◦ Ibland får vi mer information  Den som är flexibel mellan olika uttrycksformer kan lättare lösa sammansatta matematiska problem!

 Sambandet mellan mängderna X och Y i Exempel 2 definieras av formeln Y = X 2.  X brukar kallas för definitionsmängd och Y målmängd.  Exempel 2

 För att ett samband ska vara en funktion får ett tal i definitionsmängden (X) kopplas till ett och endast ett tal i målmängden (Y).  X=1 ger två olika Y. ◦ Ej en funktion!

 Ekvationer och formler ◦ y = 2x + 1 ◦ y = x 2  Retorisk form ◦ Tag ett tal. Multiplicera med 2. Addera 1. ◦ Tag ett tal. Multiplicera det med sig självt.

xy xy Tabeller

 Punkter och grafer i koordinatsystem

 Mönster: regelbundenhet, återkommande drag  Talföljd: en mängd med tal som följer på varandra Exempelvis: 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4, 6, 8, 10 3, 8, 7, 23, 19, 4, 2  Talföljder kan vara ändliga som i exemplen ovan. Talföljder kan också vara oändliga, vilket markeras med … Exempelvis0, 2, 4, 6, 8, 10, …

 Två intressanta typer av talföljder som är relevanta för skolan är aritmetiska och geometriska talföljder.  Här kan vi relativt enkelt urskilja mönster.

 En följd av tal där differensen mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. Exempel 1 0, 1, 2, 3, 4, 5 Exempel 21, 4, 7, 10, 13, 16, 19

 En följd av tal där kvoten mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. ◦ Exempel 11, 2, 4, 8, 16, 32 ◦ Exempel 21, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81

 En bra början är ofta att beskriva talföljden retoriskt (dvs med ord) för sig själv.  Talföljder kan beskrivas på två sätt: rekursivt respektive allmänt.  Rekursivt beskriver sambandet mellan ett tal och de föregående talen. Det kan vara flera föregående tal, men oftast är det talet innan. (Minnestips: ”re-” betyder tillbaka, åter. Jfr ”retur” ”recycling” ”reverse”)  En allmän beskrivning (även kallat generellt) beskriver samtliga n stycken tal i en talföljd.

 2, 7, 12, 17, 22, …  Retoriskt (rekursivt): ◦ Talföljden börjar med 2. för varje nytt tal lägger vi till 5.

 3, 9, 27, 81, 243 …  Retoriskt: ◦ Börja med talet 3. För varje nytt tal multiplicera det föregående med 3.

 Är alla talföljder aritmetiska eller geometriska? ◦ Nej, många av de talföljder vi stöter på i t ex läroböcker är varken eller.  Kan alla talföljder beskrivas med en allmän formel eller en rekursiv formel? ◦ Nej, ibland går det inte och ibland är det svårt att bestämma dem.  Det måste du komma ihåg när du konstruerar egna uppgifter.

 Ett tal i en ekvation av första graden  Flera tal, till exempel i en andragradsekvation  Oändligt många tal i en olikhet  Vilket tal som helst vid omskrivning av ett uttryck  Vilket tal som helst i funktionsuttryck (det ena beror på det andra)  Men i geometrin kan AB vara sträckan AB och inte produkten AB som i algebran.

 Suggate kap 9  Symbolisk/Retorisk algebra  Vad är skolalgebra? ◦ Algebra som problemlösningsverktyg ◦ Algebra för att studera relationer ◦ Algebra som generaliserad aritmetik  Olika uttrycksformer  Likhetstecknets betydelse  Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion  Aritmetisk och geometrisk talföljd