Föreläsning 8 732G81

Kapitel 8 Inferens om en ändlig population Sid

3 Dubbelsidigt konfidensintervall för populationsmedelvärde vid urval från ändlig population Om betraktas populationen som ändlig. Givet att  stickprovet är draget som ett OSU  samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet kan betraktas som normalfördelad bildas intervall enligt 3 Kom ihåg: detta uppfylls om - Stickprovet är större än 30 enheter (Centrala gränsvärdessatsen). eller - Stickprovet har dragits ur en normalfördelad population.

4 Dubbelsidigt konfidensintervall för totalmängd En punktskattning för totalmängden beräknas enligt och ett dubbelsidigt konfidensintervall ges av 4

5 Dubbelsidigt konfidensintervall för populationsandel vid urval från ändlig population När Kräver att  stickprovet är draget som ett OSU  np(1 – p) > 5 5

6 Dubbelsidigt konfidensintervall för totalt antal En punktskattning för totalantalet beräknas enligt och ett dubbelsidigt konfidensintervall ges av 6

7 Exempel En frukthandlare har fått hem ett parti om 250 påsar äpplen. För att undersöka kvaliteten på äpplena väljer handlaren slumpmässigt ut 30 påsar. 7 av påsarna innehöll minst ett ruttet äpple. Beräkna ett 95-procentigt konfidensintervall för antalet äppelpåsar som innehåller ruttna äpplen. 7

8 Dubbelsidiga konfidensintervall för populationsmedelvärde vid stratifierat urval Krav:  vi har dragit ett stratifierat urval  n ≥ 30 ur respektive stratum Väntevärdesriktig skattning av populationsmedelvärdet: där L = antalet stratum som populationen delats upp i Dubbelsidigt konfidensintervall: 8

9 Exempel Personalavdelningen vid ett stort företag vill undersöka frånvaro. Man delar upp de anställda i tre kategorier: chefsbefattning, administrativ personal samt operativ personal, och skickar med månadens lönespecifikation en enkät till slumpmässigt utvalda personer i respektive kategori. Följande information sammanställes. Bestäm ett 95-procentigt konfidensintervall för den genomsnittliga frånvarotiden senaste månaden bland de anställda vid företaget. 9 OmrådeAntal personer Antal utvalda Genomsnittligt antal frånvarotimmar senaste månaden Standardavvikelse Chefsbefattning Administrativ personal Operativ personal

10 Dubbelsidiga konfidensintervall för populationsandel vid stratifierat urval Krav:  vi har dragit ett stratifierat urval  np(1 – p) > 5 i respektive stratum Väntevärdesriktig skattning av populationsandelen: där L = antalet stratum som populationen delats upp i Dubbelsidigt konfidensintervall: 10

Exempel I enkäten som personalavdelningen utsände till slumpmässigt utvalda anställda ställdes också frågan Svaren kodades 1 – 5, där 1 = mycket dåligt, 2 = ganska dåligt, 3 = varken bra eller dåligt, 4 = bra och 5 = mycket bra, varpå följande resultat erhölls: Finns det, på 5 procents signifikansnivå, belägg för påståendet att majoriteten av de anställda vid företaget trivs bra eller mycket bra med sina arbetsuppgifter? 11 Hur bra trivs Du med Dina arbetsuppgifter? Mycket bra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mycket dåligt SvarChefsbefattningAdministrativ personal Operativ personal 554%22%13% 425%42%32% 39%28%30% 212%8%20% 10% 5%

12 Allokering Att välja hur stort stickprov som ska dras ur respektive stratum.  Lika allokering: vi drar ett lika stort stickprov ur respektive stratum.  Proportionell allokering: stickprovsstorleken ur respektive stratum bestäms enligt 12

13 Neymanallokering Om vi har förhandsinformation om standardavvikelsen i strata, exempelvis från en tidigare studie, kan vi allokera optimalt ur spridningssynvinkel. Tanken bakom Neymanallokering är att dra större OSU ur stratum med stor standardavvikelse. Formelmässigt bestäms stickprovsstorleken ur respektive stratum enligt  För medelvärden där  som vanligt betecknar populationsstandardavvikelsen.  För andelar 13

14 Optimal allokering När vi vill inkludera kostnaden för att undersöka ett element i varje stratum. Låt c i = kostnad för att undersöka en enhet i stratum i Enligt principen för optimal allokering ska vi då ur varje stratum välja ut  För medelvärden  För andelar 14

Kapitel 9 Samband mellan kvalitativa variabler Sid

16 Exempel Tröjor av en viss sort tillverkas i tre färger: röd, blå och grön. Försäljningen (i tusental) av tröjor i respektive färg en viss månad presenteras i följande tabell. Finns det några skillnader i popularitet mellan färgerna på 5% signifikansnivå? 16 FärgAntal sålda tröjor (f) Röd13 Blå21 Grön17 Totalt51

17 Krav:  det råder oberoende mellan grupperna i tabellen. Innebörden i detta är att samma element (person) endast får ingå i en grupp.  max 20% av de förväntade frekvenserna är mindre än 5  alla förväntade frekvenser är större än 1. Steg 1: Välj signifikansnivå och formulera hypoteser H 0 : Det finns inga skillnader i frekvens mellan grupperna H a : Det finns skillnader i frekvens mellan grupperna Steg 2: Bestäm testvariabeln där V = antalet grupper i frekvenstabellen 17

18 Chitvåtest för analys av frekvenstabell 18

19 Exempel Man drar ett OSU om medlemmar ur en stor politiskt oberoende organisation, och frågar dels om kön, dels om politisk tillhörighet (vänster eller höger). Följande resultat erhålles. Går det att på 5 procents signifikansnivå påvisa några skillnader mellan kvinnor och män som är medlemmar i organisationen i fråga om politisk tillhörighet? 19 VänsterHöger Kvinna98141 Man6759

20 Exempel (forts) 20

21 Krav:  det råder oberoende mellan cellerna. Innebörden är att samma element (person) inte får förekomma i flera celler i tabellen  max 20% av de förväntade frekvenserna är mindre än 5  alla förväntade frekvenser är större än 1 Steg 1: Välj signifikansnivå och formulera hypoteser H 0 : Det finns inga skillnader i fördelning mellan grupperna (alternativt: det finns inget samband mellan grupperna) H a : Det finns skillnader i fördelning mellan grupperna (alternativt: det finns samband mellan grupperna) 21

22 22

23 23