© Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 12.

En presentation över ämnet: "© Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 12."— Presentationens avskrift:

1 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 12

2 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 2 Innehåll  Handledning, labbar, samarbete, etc  Sökträd  Sökning  Delar av kapitel 15.4-15.5 i boken + OH- bilderna

3 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 3 Handledning/labutlämning  Ingen labhandledning via mail  Alla handlednings/labutlämningsresurser finns i schemat  Ingen handledning/labutlämning sker utanför dessa tider  Gruppövning 5 (den 22/5) ställs in  OU4 kommer att vara rättad och lämnas ut tis 29/5- ons 30/5.  Se schemat för utlämningstider.  C/DV-studenterna skriver tenta den 29e men alla ID- studenter kan passa på att hämta ut sina labbar då.  OU4 kompletteras senast torsdag 7/6

4 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 4 Samarbete, plagiat och vilseledande vid prov  Samarbete, diskussion kring tex problemställningen, mindre syntaxproblem men inte gemensamt lösande av uppgiften i sin helhet.  Plagiat, oredovisad imitation eller kopiering av ett verk som framställs som egen skapelse; litterär, vetenskaplig eller konstnärlig stöld.  Vilseledande vid prov, fusklappar, inlämnande av kod/rapport som någon annan (helt eller delvis) skrivit

5 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 5 Hederskodex http://www.cs.umu.se/information/hederskodex.html  The Honour Code is an agreement from the students, individually and collectively:  that they will not give or receive aid in examinations; that they will not give or receive unpermitted aid in class work, in the preparation of reports, or in any other work that is to be used by the instructor as the basis of grading;  that they will acknowledge any (permitted) help they have received and resources they have used for doing such work; that they will make sure they understand the entirety of submitted works, including all parts they received help for;  that they will do their share and take an active part in seeing to it that others as well as themselves uphold the spirit and letter of the Honour Code.  While the faculty alone has the right and obligation to set academic requirements, the students and faculty will work together to establish optimal conditions for honourable academic work.

6 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 6 Binärt sökträd -repetition  Ett binärt träd som är sorterat med avseende på en sorteringsordning R av etikettypen så att  I varje nod N gäller att alla etiketter i vänster delträd går före N som i sin tur går före alla etiketter i höger delträd.  Alla noder är definierade.

7 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 7 Binära sökträd  Om trädet är komplett så vet vi att både medel- och värstafallskomplexiteten är O(log n).  Men…  Det tar tid och kraft att se till att trädet är komplett.  Ibland kan man tvingas bygga om hela trädet.  Det räcker att se till att balansen är god…

8 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 8 AVL-träd  Kallas även höjdbalanserat binärt sökträd.  Adelson – Velskii and Landis, 1962  Noderna är fördelade så att trädet är väl balanserat. För varje enskild nod gäller:  Höjden för vänster och höger delträd skiljer sig åt med högst 1.

9 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 9 AVL-träd  Vi får värstafallskomplexitet för sökning O(log n) utan att försämra komplexiteten för insättning och borttagning (som alltså också är O(log n)).  Algoritmerna för insättning och borttagning blir lite bökigare att konstruera.  Måste lagra information om höjden på delträden i noderna.

10 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 10 Exempel på ett AVL-träd 44 17 78 32 50 88 48 62 3 1 2 0 1 0 00

11 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 11 AVL-träd  Minimala höjdbalanserade träd Bild från sidan 319 i Janlert L-E., Wiberg T., Datatyper och algoritmer, Studentlitteratur, 2000

12 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 12 Insättning i ett AVL-träd  Det nya elementet gör att trädhöjden förändras och att trädet måste höjdbalanseras.  Man kan hålla reda på delträdens höjd på olika sätt:  Lagra höjden explicit i varje nod  Lagra en balansfaktor för noden (-1, 0, +1 men kan temporärt bli +/-2) oBalansen = h(vänster barn) – h(höger barn)  Förändringen brukar beskrivas som en höger- eller vänsterrotation av ett delträd.  Det räcker med en rotation för att få trädet i balans igen.

13 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 13 Insättningsalgoritm  Börja med att sätta in elementet som vanligt i ett binärt sökträd.  Starta från den nya noden och leta uppåt tills man hittar en nod x så att ”grandparent” z är obalanserat. Markera x:s förälder y.  Gör en rekonstruering av trädet så här:  Döp om x, y, z till a, b och c baserat på inorder-ordning.  Låt T 0, T 1, T 2 och T 3 vara delträden till x, y och z i inorder-ordning. (Inget av delträden får ha x, y eller z som rot.)  z byts ut mot b, dess barn är nu a och c.  T 0 och T 1 är barn till a och T 2 och T 3 är barn till c.

14 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 14 Exempel: Insättning i ett AVL-träd 44 17 78 32 50 88 48 62 4 1 3 0 2 0 01 54 x/b z/c y/a T0T0 T1T1 T3T3

15 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 15 Exempel: Insättning i ett AVL- träd 44 17 62 32 50 78 48 54 3 1 2 0 1 0 00 b ac T0T1T2T3 88 1

16 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 16 Fyra olika rotationer (1) Om b = y kallas det en enkel rotation ”Rotera upp y över z”

17 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 17 Fyra olika rotationer (2) Om b = y kallas det en enkel rotation ”Rotera upp y över z” T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

18 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 18 Fyra olika rotationer (3) Om b = x kallas det en dubbel rotation ”Rotera upp x över y och sedan över z”

19 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 19 Fyra olika rotationer (4) Om b = x kallas det en dubbel rotation ”Rotera upp x över y och sedan över z” T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

20 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 20 y x T0T0 Anta att vi har balans… T1T1 T2T2... och sen stoppar in något som sabbar den T0T0 Ett annat sätt att beskriva det på

21 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 21 y x Gör en enkel rotation. Ett annat sätt att beskriva det på T0T0 T1T1 T2T2

22 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 22 y x Ett annat sätt att beskriva det på T1T1 T2T2 Gör en enkel rotation. T0T0

23 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 23 yx Ett annat sätt att beskriva det på T1T1 Gör en enkel rotation. T0T0 T2T2

24 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 24 y x Ett annat sätt att beskriva det på T0T0 T1T1 T2T2 Klart! Gör en enkel rotation.

25 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 25 y x I ett steg: Ett annat sätt att beskriva det på T0T0 T1T1 T2T2

26 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 26 y x Ett annat sätt att beskriva det på T0T0 T1T1 T2T2 I ett steg:

27 Exempel från boken c/z a/x b/y T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 Döp om x, y, z till a, b och c baserat på inorder-ordning. Låt T0, T1, T2 och T3 vara delträden till x, y och z i inorder-ordning. (Inget av delträden får ha x, y eller z som rot.) z byts ut mot b, dess barn är nu a och c. T0 och T1 är barn till a och T2 och T3 är barn till c.

28 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 28 z y Ett nytt exempel dubbelrotation Ett annat sätt att beskriva det på

29 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 29... den här gången stoppar vi in något här Ett annat sätt att beskriva det på z y

30 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 30 … och tittar på strukturen i Y Ett annat sätt att beskriva det på z y

31 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 31 Vi får lov att göra en dubbel rotation Ett annat sätt att beskriva det på z y x T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

32 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 32 Ett annat sätt att beskriva det på z y x T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 Klart!

33 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 33 I ett steg... Ett annat sätt att beskriva det på z y x T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

34 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 34 Ett annat sätt att beskriva det på z y x T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 I ett steg...

35 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 35 Borttagning ur ett AVL-träd  Borttagningen börjar som en vanlig borttagning ur ett binärt sökträd.  Men även borttagning ur ett AVL-träd kan störa balansen.  Vi gör en rotation som tidigare för att återställa den (behövs bara enkla rotationer).  När vi återställer balansen på ett ställe kan det uppstå obalans på ett annat…  Måste upprepa balanseringen (eller kontroll av balansen) till dess vi nått roten.

36 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 36 Flervägs sökträd  Ett m-vägs sökträd (m-way search tree, m-ary search tree) är en generalisering av ett binärt sökträd.  Trädet är ett ordnat träd där varje nod har högst m delträd.  Etiketterna är sekvenser av upp till m-1 värden i stigande sorteringsordning som fungerar som delningspunkter vid sökning.  Oftast är etiketterna nycklar och värdet till en viss nyckel finns i lövet.

37 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 37 Flervägs sökträd  Till en nod med k+1 delträd, t 0, t 1, …, t k hör en sekvens med värden v 1, v 2, …, v k. Sorteringsvillkoret för trädet är att:  alla värden i t 0 går före v 1 (i sorteringsordningen)  alla värden i t j ligger mellan v j och v j+1 för 1<j<k  alla värden i t k går efter v k  Operationerna blir liknande de för binärt sökträd.  Plattare träd. Höjden = log m n  Mer jobb i noderna

38 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 38 Exempel Bild från sidan 323 i Janlert L-E., Wiberg T., Datatyper och algoritmer, Studentlitteratur, 2000

39 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 39 B-träd  Ett B-träd av ordning m är en typ av balanserat m-vägs sökträd som uppfyller följande:  Roten är antingen ett löv eller har minst två barn  Alla noder utom roten och löven har mellan m/2 och m barn  Alla löv är på samma djup

40 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 40 B-träd  Insättning av nya element görs alltid på den djupaste nivån, i rätt löv för att bevara sorteringsordningen.  En insättning kan leda till att noden blir för stor (dvs > m). Då måste noden delas upp.  Borttagning kan leda till att man måste justera värderna och slå ihop noder eller omfördela värden mellan dem.  B-träd av ordning 3 kallas också 2-3 träd

41 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 41 Exempel på B-träd: 2-4 träd  Varje nod har 1, 2 eller 3 nycklar och varje icke-löv har 2-4 barn.  Regel för insättning:  Man letar sig fram till rätt löv på liknande sätt som i ett vanligt sökträd.  Den nya nyckeln sätts in där. Om det blir för många nycklar i det lövet splittras det.

42 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 42 Denna bild och resterande bilder om 2-4 träd kommer från 529 och framåt i Goodrich M. T., Tamassia R., Datastructures and Algorithms in Java, John Wiley & Sons, 1998 och/eller tillhörande OH-material.

43 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 43 Insert i 2-4 träd  Stoppa in elementen 4, 6, 12  Att stoppa in elementet 15 orsakar en split.  Ersätt den temporära 5-noden med en 3-nod och en 2-nod och flytta upp ett element till föräldern

44 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 44 Insert i 2-4 träd, forts  Sätt nu in först 3 och sen 5(som orsakar en ny split)

45 En split kan sprida sig uppåt...

46 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 46 2-4 träd, borttagning  Man letar sig fram till rätt löv på liknande sätt som i ett vanligt sökträd.  Enkla fallet: Det finns flera nycklar i noden, ta bort den som ska bort.  Halvsvåra fallet: Syskonen har ”extra” element som vi kan sno.  Svåra fallet: Vi får tomt och syskonet har bara ett element. Då måste vi göra en ”fuse”- operation.

47 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 47 Enkla fallet, det finns flera element i noden

48 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 48 Halvsvåra fallet: Syskonen har ”extra” element som vi kan sno. Kallas ”transfer”

49 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 49 Svåra fallet: Måste göra en ”fuse”- operation.

50 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 50 Svåra fallet: Måste göra en ”fuse”- operation som vandrar uppåt i trädet.

51 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 51 Linjär sökning  Starta från början och sök tills elementet hittat eller sekvensen slut.  Komplexitet  Elementet finns: I medel gå igenom halva listan, O(n)  Elementet saknas: I medel gå igenom hela listan, O(n)  Om listan är sorterad:  Elementet saknas: Räcker i medel att leta genom halva listan n/2, O(n)

52 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 52 Binär sökning  Om sekvensen har index (tex i en array eller numrerad lista) kan man söka binärt.  Successiv halvering av sökintervallet.  Vi får värsta-falls och medelkomplexitet O(log n).  Jämför med elementet närmast mitten i intervallet.  Om likhet – klart!  Om det sökta värdet kommer före i sorteringsordningen fortsätt sökningen rekursivt i det vänstra delintervallet.  Om det kommer efter i sorteringsordningen fortsätt sökningen rekursivt i det högra delintervallet.

53 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 53 Exempel:  1 2 4 4 6 7 9 13 14 19  Sök efter elementet 13.  Linjär sökning: 8 jämförelser innan träff.  Binär sökning: 2 jämförelser innan träff.  Sök efter elementet 10  Linjär sökning: 8 jämförelser innan man ger upp.  Binär sökning: 4 jämförelser innan man ger upp.

54 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 54 Strängsökning  Specialfall av sökning.  Man söker inte ett enstaka element utan en sekvens av element.  Elementet ofta tecken.  Formellt:  Vi har ett mönster P med längd m och vi söker i en sekven S av längd n där m<<n.

55 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 55 Första försök till algoritm:  Börja jämföra mönstret med sekvensen med start i position ett.  Jämför mönstret från vänster till höger tills man misslyckas.  Flytta då fram en position i sekvensen och försök igen.  Värsta fallet: Varje element i S avläses m gånger, dvs O(n*m)  I praktiken bättre

56 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 56 Exempel

57 DoA VT -07 © Anders Broberg, Lena Kallin Westin, 2007 57 Boyer-Moores algoritm  Två idéer:  Gör matchningen baklänges, med start i mönstrets sista element.  Utnyttja kunskap om mönstrets uppbyggnad och informationen om värdet på den första felmatchande elementet i S för att flytta fram mönstret så långt som möjligt varje gång. oOm det finns upprepningar av element i mönstret så får man bara flytta fram till den högraste förekomsten. oFörskjutningstabell talar om hur långt man får flytta.