Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström

Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström
Penningmarknaden Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström

Att mäta ränterisker Durationsanalys Immunisering och Hedgning
Value-at-Risk Litteratur: Hässel, Norman och Andersson: kap Asgharian, H. och L. Nordén: kap. 4, 5, 6, 7.3 Vi ska framförallt behandla 2 saker i denna del av kursen: 2 riskmått: duration och VaR Vi ska också kort beskriva 2 sätt att hantera sin ränterisk, immunisering och hedgning

Att mäta ränterisker Risk: sannolikheten för en negativ avvikelse från en viss nivå på en målvariabel på grund av en förändring i en extern variabel, som t. ex. räntan. Det finns många olika sorters risker: Affärsrisk: försäljning av företagens produkter? Strategisk risk: fundamentala ekonomiska eller politiska förändringar? Finansiell risk: bl. a. kreditrisk, likviditetsrisk, inflationsrisk, växelkurs- och ränterisk. Risk är inte samma sak som osäkerhet (risk är en undergrupp till osäkerhet, alla osäkra situationer är ej riskabla men tvärtom däremot....) visa normalfördelning med 2 svansar men bara en som är kopplad till risk (visa 2 förd med olika sigma, olika risk) Visa figur med obl pris som varierar och kraschar! Det är denna typ av händelser man är rädd för när man pratar om risk (realisering av risken) I detta fall är prisförändringen orsakad av en ränteuppgång hos obligationen (pga riksbanken eller kreditriskökning) Det finns många olika sorters risker Affärsrisk För Nokia: Ericsson 3G telefon kanske har inbyggd anoto öga  säljer kanske bättre än Nokia Strategisk risk För IKEA: risken för att kina stänger sina gränser igen precis som de gjort tidigare vart 50?? År i tusentals år  IKEA etc drabbas Finansiell risk kreditrisk (konkurs typ Enron, aktiekursen), likviditetsrisk (LTCM, svackan), inflationsrisk (trist att ha pengarna på banken, visa 2 kurvor: en bankkonto en infl och visa negativt netto), vx-risk (skogsindustrin då dollarna försvagas), ränterisk (räntan går upp då du köpt hus)

Att mäta ränterisker Målvariabler:
Räntenetto: hur framtida ränteförändringar påverkar nettot av avkastningen på räntebärande tillgångar och kostnaderna för räntebärande skulder. Marknadsvärdet på tillgångar: hur ränteförändringar påverkar marknadsvärdet (MV) på räntebärande tillgångar och skulder. MV är nuvärdet av kassaflöden som genereras av tillgångarna och skulderna. Ränterisk: risken att variationer i det allmänna ränteläget leder till kapitalförluster eller lägre räntenetto. (känsligheten i målvariablerna för förändringar i ränteläget.) För att fastställa ränterisken måste vi fastställa en målvariabel (vad är det som vi är rädda ska påverkas negativt?) de 2 vanligaste målvariablerna för en bank är räntenettot och marknadsvärdet hos tillgångarna. Räntenettot kan sägas vara ett redovisningsmässigt perspektiv där ränteändringars påverkan på bankens framtida intjäningsförmåga fokuseras på. Det är ett resultatorienterat synsätt. Marknadsvärdesperspektivet är i stället kapitalorienterat och fokuserar på hur ränteändringar påverkar marknadsvärdet idag. Det är ett ekonomiskt perspektiv Jmfr fastränteobl och rörligränteobl. dRDMV+oförändrad intjäning i första fallet och dIncome+oförändrat MV i andra fallet Vi tittar inte så mycket på den första målvariablen: räntenetto Istället är fokus för oss i denna kurs: marknadsvärdet på räntebärande (inte aktier etc) tillgångar och hur detta påverkas av  ränteförändringar Så precis som i så många andra finansiella sammanhang är det marknadsvärden vi tittar på, i detta fall obligationers marknadsvärde (och marknadsvärdets känslighet för ränteförändringar: ränterisk

Att mäta ränterisker Durationsanalys
Det aktuella marknadsvärdet för en portfölj av räntebärande tillgångar kan beräknas som nuvärdet av alla framtida kassaflöden. Känsligheten i detta marknadsvärde för en given ränteförändring är ett mått på risk i denna målvariabel. Ett sätt att mäta marknadsvärdets räntekänslighet baseras på durationsanalys. Det vet vi ju, eller hur: visa formeln P=sum(Ct/(1+rt)t + N/(1+rn)n Uppenbarligen är P=P(ri) priset är en funktion av räntan och därför ändras P då r ändras Vilket ri ska vi välja? Enklast är att vi skriver om P=P(ri) ovan som visa formeln LÅT STÅ! P=sum(Ct/(1+y)t + N/(1+y)n (denna formel har vi sett förut) så att P=P(y) där y är yielden Och ju mer P ändras för en viss ändring i y desto större är obligationens ränterisk. Hur mäter vi då lämpligen denna ränterisk? Ett sätt är att använda riskmåttet duration, durationsanalys. Detta mått är gammalt men det första som försökte sammanfatta en hel banks totala ränterisk i en siffra. (VaR gör samma sak)

Marknadsvärdet för en kupongobligation, givet en yield på Y, kan skrivas enligt prisformeln: För att förstå begreppet duration börjar vi med att återigen skriva upp formeln för en kupongobligations pris som en funktion av räntan (eller yield to maturity) (alt1. vi använder obligations ytm alt 2. vi antar att räntor vid olika löptider är identiska, horisontell avkastningskurva) Vi skriver om formeln lite för att göra den följande analysen enklare CF är nu ett kassaflöde som är = kupongen om t<n och = kupong+nombelopp om t=n Som vi redan vet så är alltså P omvänt proportionell mot räntan (en ökning av räntan sänker obligationens pris)

Obligationens pris som en funktion av dess yield. P Prisfunktionen är icke- linjär och konvex i Y. Om vi ritar upp denna funktion ser den ut så här, P=P(y) Den är uppenbarligen inte linjär (ingen rak linje) och uppenbarligen konvex (böjer inåt, visa konkav funktion) Detta betyder att lutningen minskar då y ökar (känsligheten hos priset för ränteändringar är större då y är liten) Lutning minskar i absolutvärde när Y ökar. Y

Obligationens pris som en funktion av dess yield. En räntehöjning i punkt A medför en större minskning i obligationspriset jämför med punkt B. P A Det innebär att ju lägre marknadsräntan (yielden) är, desto känsligare är obligationspriset för ränteförändringar. Det sistnämnda kan vi se exempel på i denna figur där vi ser hur P ändras mer vid en viss ändring i Y då Y från början är låg än när den är hög (vi pratar förstås om en ränteförändring som är lika stor i procentenheter, t.ex. 23% eller 78% (olika procentuell ändring förstås) B Y

Obligationens pris som en funktion av dess yield. Exempel: Vi antar att vi från början har en ränta på 10%. Priset är då 100 kr. För +/-1 procentenhet ser vi de nya priserna och kr. PVBP = price value per basis point ska vi prata om mer senare

I figuren visas även den räta linje som tangerar prisfunktionen i punkten vid (P = 100) (Y = 0.10). Lutningen på linjen erhålls genom att derivera prisfunktionen med avseende på (1+Y): Vid ett visst pris beskriver lutningen på kurvan i den punkten ett mått på ränterisken (hur mycket P ändras av dY) Lutningen hos en kurva i en viss punkt ges av lutningen hos tangenten till kurvan i den punkten, eller hur? Denna lutning fås genom att derivera P=P(Y) med avseende på (1+Y), eller Y, (vilket är samma sak) Visa deriveringen på tavlan genom att använda formeln med C och N separat. Ni kanske tycker att man borde derivera med Y om vi ska ha lutningen i figuren? Jo det är helt rätt. Det ger dock precis samma svar (eftersom inre derivatan till 1+x är 1) dP/dY=dP/d(1+Y)

Obligationens duration definieras som obligationsprisets ränteelasticitet (vad som händer med priset i procent om räntan förändras med 1%). Man brukar multiplicera med -1 för att ta bort det negativa tecknet från durationen. Duration = OK, lutningen är ett mått på ränterisken! Ju större lutning desto större risk förstås. Men det visar sig att det är lämpligare att definiera lutningen som en elasticitet, dvs som en procentuell prisförändring orsakad av en procentuell ränteförändring. Och så byter vi tecken på den negativa lutningen för att få ett riskmått som är positivt. Detta är det vi kallar duration och det är exakt det som nationalekonomer kallar prisets ränteelasticitet! Jag gillar inte elasticitetsbegreppet så jag ser det helt enkelt som derivatan (fast för procentuella förändringar av P och Y) Visa: duration=...på sliden...= dP/P / d(1+Y)/(1+Y) dvs procentuella förändringar (t.ex P1=100 och P2=101  dP=1 och dP/P= 1/100 =1%) Detta är ett lämpligare riskmått då man normalt pratar om prisförändringar i % (returns) i risksammanhang Detta är mer allmängiltigt då en 2% prisförändring alltid innebär samma sak medan en prisförändring om 2 kr är helt olika om obl kotar 1000 kr än om den kostar 10kr. Eller hur? Summa summarum, peka på formeln, detta är slutresultatet (1+Y förkortas bort), dvs definitionen på duration. Durationen är enkel att räkna ut. Om vi kan räkna ut priset på obligationen kan vi också räkna ut durationen. Mycket liknande formler, eller hur. Peka på prisformeln på tavlan, eller slide 6. Observera att vi antar en horisontell avkastningskurva (alt Y=ytm) och därför är det egentligen en parallellförskjutning av kurvan vi pratar om när vi pratar om dY. RITA FIG Duration

Durationen, d, är identisk med den nuvärdesvägda medellöptiden: (Durationsmåttet utvecklades av Macauley på 30-talet för att bestämma livslängden på obligationer.) Ett vägt genomsnitt av tiden till varje utbetalning, där vikterna är nuvärdet av varje betalning i procent av det totala nuvärdet av samtliga kassaflöden (obligationens pris). Detta är en viktig slide. Duration= 1/P [1*C/(1+Y) + 2*C/(1+Y)^2 + 3* C/(1+Y)^ n*(C+N)/(1+Y)^n] Peka på löptiderna i täljarnavi summerar alltså löptiderna fast viktade. Mer exakt är löptiderna nuvärdesviktade! Så de kortare löptiderna får mer vikt. Detta är intressant, vi härledde durationen som ett riskmått genom att titta på lutningen i P=P(Y) formeln. Här visar det sig att samma mått, durationen, kan tolkas som en livslängd hos obligationen (om än viktad med betydelsen av resp. kassaflöde) det var också så måttet en gång i tiden utvecklades av Macauley. Kom ihåg, en kupongobligations livslängd är inte entydigt specificerad av tiden till dess nom beloppet betalas tillbaks eftersom mångs kassaflöden kommer innan dess.  duration är ofta ett bättre mått på den effektiva livslängden. Jmfr nollkupongare som har en livslängd som till 100% bestäms av när det enda kassaflödet, nominella beloppet, utbetalas. Durationen är också identisk med livsländen för en nollkupongare som nästa slide visar. Prata igenom härledningen. Peka på sista formeln. Nämnaren i formeln är priset, P. Eller hur? Läs texten t h.

Durationen hos en nollkupongobligation är helt enkelt lika med obligationens löptid: För en nollkupongare är det enkelt: Om vi använder formeln fast med det lilla tillägget att en nollkupongare inte betalar några kuponger får vi följande, peka, och eftersom P för en nollkupongare är just P=N/(1+Y)^n blir det bara n kvar! Durationen är alltså helt enkelt identisk med obligationens löptid! Detta kan tolkas på det uppenbara sättet att den nuvärdesvägda medelöptiden (durationens def.) förstås är identisk med n. What else? Vi har ju bara ett kassaflöde. Peka på texten på förra sliden  durationen är förstås lika med n. Som ni förstår är durationen som mått på en effektiv livslängd (eller som riskmått) mest använd för kuponobligationer. Durationen för en nollkupongare är ju alltid identisk med nollkupongarens löptid. Denna är känd! Det enda man kan säga om duration och nollkupongare är att tydligen är obl. med längre löptid mer riskabla än de med kortare löptid eftersom de har högre duration (dP/dy) En nollkupongare är alltid mer riskabel än en kupongobl med samma löptid eftersom det inte är förrän i slutet av löptiden som man får tillbaks sitt satsade kapital+ränta. För en kuponobl får man tillbaks pengarna mycket tidigare eftersom kupongerna betalas ut varje år  durationen (medellöptiden) är mycket kortare än för nollkupongaren

Om räntan (yielden) ökar faller priset men samtidigt stiger avkastningen på återinvesteringen av framtida kupongutbetalningar.  Duration kan även tolkas som den tid (uttryckt i år) det tar att återvinna en förlust i en obligations marknadsvärde orsakad av en ränteökning. Om vi återvänder till kupongobligationernas värld. När räntan (YTM) går upp har vi sett att priset på en kupongobligation faller. Dvs marknadsvärdet sjunker. Men samtidigt kan man återinvestera sina framtida kuponger till en högre ränta. Dvs framtida kassaflöden från ens kupongobligation investering stiger. Hur många kuponginvesteringar till den högre räntan som behövs beror på obligationens duration. Efter d år tar de två effekterna precis ut varann. d är som sagt ett mått på hur känslig obligationens pris är mot en ränteförändring. Stort d = det krävs många år för att ta igen en ränteökning och dess neg effekt på obl.s pris.. Durationen för en kupongobl är den tidpunkt där återinvesteringsrisken för framtida kuponger balanserar prisrisken. Om r faller  P går upp (positiv effekt) men samtidigt förväntas framtida kuponger bara kunna återinv till en lägre ränta (neg effekt)

Exempel: En investerare med en placeringshorisont på 5 år har två alternativ: Köpa en kupongobligation som förfaller precis i slutet av placeringshorisonten. Köpa en kupongobligation med en löptid längre än 5 år och sälja denna vid placeringshorisontens slut. Alternativ 1 har en återinvesteringsrisk; vilka räntor de fyra första kupongutbetalningarna kan återinvesteras till. Men ingen prisrisk. Alternativ 2 har både en återinvesteringsrisk och en prisrisk (sälja obligationen före dess förfallodag till ett okänt pris.) Vi tar ett exempel: Alt 1: I det första fallet har inv bara en återinvesteringsrisk Alt 2: I det andra fallet har inv både en återinvesteringsrisk och en prisrisk (durationsbegreppet är centralt som riskmått här)

Exempel (forts.): Betrakta den 5-åriga obligationen. Antag att räntan stiger med 1% (enda ränteförändringen under obligationens 5-åriga löptid). Det har två effekter: Initial värdeminskning (obligationens pris sjunker). Högre avkastning på de återinvesterade kupongutbetalningarna. Obligationens duration talar om hur lång tid det tar innan återinvesteringsinkomsterna täcker den initiala värdeminskningen. För den som köper en 5-årig obligation och har samma inv horisont (samma placeringshorisont som löptid) är räntehöjningen en positiv nyhet För den som har en kortare inv horisont (som ska sälja obligationen innan den förfaller) har vi prisrisk förutom återinvrisk. Durationen fungerar i detta fall som riskmått och talar om hur lång tid det tar innan den högre räntan på kupongerna ersatt en för det lägre försäljningspriset.

Exempel (forts.): figur 5.5 i Söderlind Det tar 4.17 år innan reinvesteringsinkomsterna från en räntehöjning är tillräckliga för att täcka prisfallet. Ju mindre durationen är desto snabbare kan förlusten täckas (risken för prisförlust minskas). Hade durationen varit lägre, tex 2.5 år, hade obligationen haft lägre risk eftersom den varit mindre känslig för en ränteförändring (prisminskningen återhämtas redan efter 2.5 år i stället för 4.17år. Man är tvungen att hålla obl i 2.5 år (i stället för 4.17 år) för att gå skadeslös ur det hela.) Obs! Oavsett deltaR deltaR=3% eller deltaR=10%  samma tid till recoup Dessutom: Durationen minskar förstås hela tiden allt eftersom vi kommer närmare och närmare löptidens slut. Durationen 4.17 år ovan gäller vid tiden noll. Duration är inget dumt riskmått! Mäter både hur känslig priset är för en ränteförändring, anger hur snabbt en ränteökning kan hämtas upp genom större kupongavkastningar samt är också tolkas som ett sorts medellöptid för en obligation. T=D  ingen risk T<D  prisrisk och återinvrisk T>D  återinvrisk

Beräkning av duration (ex. s. 385 i Hässel, Norman och Andersson): Betrakta en 4-års obligation med nominellt belopp N = 100, kupongränta på 11% (C = 11), och marknadsräntan Y = 0.072 Obligationens pris idag är: Vi ska nu i ett exempel se hur durationen beräknas. Durationen ges av det vägda genomsnittet, i tid, för varje kassaflöde enligt följande: visa figur 11.3 på tavlan Först räknar vi ut priset för denna obl: peka på första formeln, samma ränta för alla löptider (alt. Y är ytm) Peka på andra formeln och hur löptiderna adderas (viktade) Durationen är lika med:

Durationsberäkningen kan utföras i tabellform enligt: Exempel: t = 2 Om ni tycker det är enklare (det tycker inte jag) så kan man skriva det hela i tabellform. Det gör det enkalre att se vad varje term representerar: t.ex. nuvärdesvikten vid 2 år är nuvärdet av kassaflödet efter 2 år som proportion av nuvärdet av alla kassaflödena (obligationens pris) (t.ex. nuvärdesvikten gånger tid till kupong vid 2 år är andra kupongens bidrag till durationen.) Observera att nuvärdet av kassaflödet från år 5 bara repr 74% av totala kassaflödet. Det är med andra ord missvisande att beskriva obl som en 5-årig obl! Det är precis det som durationsbegreppet fångar upp.

Durationen påverkas av en obligations löptid, kupongränta samt yield enligt: Längre löptid  högre duration Högre kupongränta  lägre duration (större kassaflöde innan förfall  återinvesteringsrisk och prisrisk balanseras vid en tidigare tidpunkt) Högre yield  lägre duration (högre återinvesteringsränta  återinvesteringsrisk och prisrisk balanseras vid en tidigare tidpunkt). Durationen påverkas av följande tre faktorer, löptiden, kupongräntan (kupongens storlek). och marknadsräntan. Visa förrförra sliden och peka på dessa tre storheter. Relationen mellan duration och dessa faktorer är som visas här: Längre löptid hos en nollkupongare motsvaras förstås av en högre duration eftersom det är samma sak! För en kupongobl gäller samma relation vilket man kan se om man ändrar n i formeln på förrförra sliden. visa figur 11.4 durationen växer långsamt då löptiden är väldigt stor! 110 års löptid ger en mycket stor förändring av durationen 91100 års löptid ger en mycket liten förändring av durationen Högre kupongränta ger förstås lägre duration eftersom mycket av obligationens kassaflöden betalas ut långt innan löptidens slut (ju lägre kupongränta desto mer likt en nollkupongare, och dessa betalar ut allt vid förfall) Återinvestering av kuponger utgör en större del av totala avkastningen på obl ju större kupongerna är  återinvrisk och prisrisk balanseras tidigare  lägre duration visa figur 11.5 Högre yield motsvaras av lägre duration och detta kan inses på tre sätt Om räntan är hög kan man återinv sina kuponger till en högre ränta än om räntan är låg  man får tillbaks sina pengar tidigare Nuvärdet av avlägset liggande kassaflöden väger lättare i sammanvägningen då räntan är högre. durationen är lägre Titta på på relationen mellan en obligations pris och dess yield visa vanliga figuren med P=P(y) (obs fel enhet på y-axeln i boken, fig 11.6, ska vara pris). Durationen är som vi vet sedan tidigare (proportionell mot) lutningen på denna kurva och den är uppenbarligen lägre ju högre yielden är. peka

Obligationers duration ändras och är olika för olika löptider (durationsdrift). Exempel. En 20-årig obligation med en kupong på 11,875 per år och par pris: Durationen för en viss obligation ändras (minskar) allteftersom man kommer närmre löptidens slut. Durationen ”driver”. Ränterisken blir mindre och mindre. Par pris betyder att P=N och Y=C. Observera först att då bara ett år återstår av löptiden har vi också precis ett års duration (vi har alltså en 1-års nollkupongare) Då två år återstor är durationen < än 2år eftersom en kupong utbetalas om ett år för den då 2-åriga kupongobligationen Osv osv Observera att durationen mer och mer avviker från löptiden ju längre löptiden är. Jmfr figuren på tavlan som visar hur durationen växer långsammare och långsammare ju längre löptiden hos obl. Är (det bara är så matematiskt)

Exempel: Om vi beräknar durationen precis före och efter kupongbetalningar för en 10-årig obligation med ett nominellt värde på 100 samt kupongränta och yield på 10%: Förra bilden var konstruerad av durationerna varje år precis efter en kupong utbetalats. Egentligen sker ett ganska stort hopp i duration just kring kupongutbetalningen. Det visas i denna bild, peka. Även i detta fall är vi från början i par, dvs Y=C och P=N. Vid varje kupongutb hoppar förstås priset 10 kr. Enklast att förstå varför är möjligen att titta på obl när den har ett år kvar till förfall. Innan kupongen om 10kr utbetalats är förstås obl värd 110 (10+100, kupong+nuvärde av 110 om ett år). Efter kupongen om 10kr utbetalats är förstås obl bara värd 100 (nuvärde av 110 om ett år). Samma sak för längre löptider, efter kupongutb handlas obl åter till par. Visa ev gross price vågen. Vid varje kupong hoppar också durationen ganska kraftigt. Den stiger! Anledningen är förstås att precis innan kupongen betalats är det närmre till de framtida utbetalningarna durationen är alltså kortare. Vi får alltså zicksack mönstret i figuren, peka.

Sammanfattning av diagrammet: Durationen minskar när löptiden kvar till förfall minskar. Durationen minskar långsammare i början och snabbare i slutet. (Att tappa ett år när det är många år kvar till förfall har inte så stor betydelse för genomsnittet men att tappa ett år när det är bara få år kvar till förfall minskar genomsnittet (durationen) kraftigt.) Durationen ökar när man betalar kupong. Ökningen är större i början och mindre när man närmar sig till förfall. Mellan kupongbetalningarna (inom året) minskar duration en dag för varje dag minskning i obligationens livslängd. Som sagt, *Durationen minskar när löptiden minskar. Framförallt ju närmre förfall vi kommer. *Durationen ökar vid kupongbetalningen. *om man tittar i tabellen minskar durationen precis ett år när löptiden minskar ett år (från tidpunkten precis efter kupon till tidpunkten precis före kupong, dagar) en dags minskning av löptiden ger en dags minskning av durationen, peka på förra sliden (t.ex 5.874.87)

Modifierad duration definieras som procentförändring i en obligations pris som följer av en förändring i marknadsräntan: Eftersom räntor redan anges i procent och man oftast mäter ränteförändringar i antalet procentenheters ändring (t.ex räntan gick upp en procentenhet (100 räntepunkter) eller räntan gick upp från 5 till 5.5%) i stället för (räntan gick upp 10% då räntan gick från 5% till 5.5%) Har man introducerat en modifierad variant av durationen kallad just modifierad duration. Den definieras helt enkelt som, peka på texten. Innan var det en procentuell ändring av räntan vi pratade om, nu är det en absolut ändring av räntan vi pratar om. Räntepunkter. (definiera 100 räntepunkter som 1% (0.01 i decimalform), dvs en punkt är 0.01% ( i decimalform)) Formeln för MOD är samma som för D, med tillägget att vi dividerar med 1+Y. Peka I vårt exempel från tidigare har vi räknat ut D och nu kan vi räkna ut MOD så här, peka. I exemplet på s. 385 i Hässel, Norman och Andersson:

Modifierad duration: Med hjälp av modifierad duration kan en approximativ procentuell prisförändring uttryckas enligt: Om vi nu vill se hur mycket priset på en obl ändras (procentuellt, return) vid ett visst antal räntepunkters uppgång/nedgång så kan vi använda MOD på följande vis. Approximativt (om inte ränteförändringen, d(1+Y) är för stor) kan vi skriva d som Delta, peka. När Delta(1+Y) är liten kan vi skriva om uttrycket så här, peka på DeltaP/P. Ju mindre Delta(1+Y), ränteförändring, desto bättre överensstämmelse (mindre appr.) Vi kan alltså beräkna den procentuella prisförändringen (jmfr return) genom att helt enkelt mult MOD med (den absoluta) ränteförändringen. Ex. Om MOD=7.7 och Y stiger från 5% till 5.1% (10 räntepunkter) är DeltaP/P =(appr) -7.7* = = 0.77% Observera i detta sammanhang att både duration och modifierad duration bara ger en god appr. På hur priset ändras då räntan ändras lite grann (rita konkava kurvan och påminn att dur är lika med lutningen hos första termen i taylorutv, dvs hos tangenten. I verkligheten ändras priset enligt kurvan, inte tangenten. Det är bara vis små dY som dessa är appr lika) Både duration och MOD ger endast en god approximation av prisförändring vid små marknadsränteförändringar.

Modifierad duration: Ett användbart mått för att beräkna hur mycket en räntepunktsförändring påverkar priset är PVBP (Price Value per Basis Point): Om vi flyttar upp P från nämnaren får vi den absoluta prisförändringen (inte längre i %) vid ett visst antal räntepunkters förändring i räntan. För specialfallet att ränteförändringen är precis en räntepunkt, ser formeln ut som såhär, peka och skriv ( Delta(1+Y)=0.0001, t.ex 7%7.01% som skrivs ( – ) = ( ) = ). Dena formel ger oss alltså hur mycket en viss obligations pris ändras i kr då räntan ändras mycket litet, nämligen precis 1 räntepunkt (en hundradels procentenhet, 2.75% till 2.74%). Eftersom D(1+Y) är så liten så är vår appr mycket bra. Självklart ökar prisförändringen ju högre duration obl har (längre löptid och därmed längre tid med nya räntan) och ju högre dess pris (nominellet belopp) är. En räntepunkt

Att mäta ränterisker Konvexitet
Konvexitet: Duration (eller modifierad duration) kan användas vid små ränteförändringar, eftersom måttet utgör en linjär approximation av ett icke-linjärt (konvext) samband. P En marknadsränteförändring från Y1 till Y2 minskar obligationspriset från P1 till P2 . Enligt lutningen i punkten Y1 och P1 (duration) minskar priset till P2'. Precis som jag ritade på tavlan ser vi här, peka, att durationen enbart bör användas som riskmått då vi pratar om små ränteförändringar. Egentligen vill vi gå längs kurvan här när Y ändras, inte längs den räta linjen här som vi gör då durationen används som riskmått. Peka och diskutera lite. Skriv: Duration överskattar prisförändringen vid en viss ränteförändring. P1 P2 fel P2' Duration överskattar prisminskningen med P2' P2 Y1 Y2 Y

Konvexitet: Obligationer med samma duration men olika konvexitet påverkas olika av ränteförändringar. P Ju mer buktig prisfunktionen är desto större är felet att mäta prisändringen med hjälp av duration. Konvexitet är positivt för placeraren, vilket innebär att konvexiteten borde prissättas på marknaden. Vi har här två olika obligationer, peka, men båda har samma lutning vid P1. De har alltså samma duration men ej samma konvexitet (konvexitet är ett mått på hur buktig kurvan är). Självklart är felet man gör då man använder durationen som riskmått större ju mer buktig kurvan är (ju mer den avviker från den räta tangenten). Observera att en hög konvexitet är bra för en riskavert investerare då priset sjunker mindre av ränteuppgång och stiger mer av räntenedgång!!  2 obligationer med olika konvexitet men allt annat lika måste handlas till olika pris. Phögkonv>Plågkonv > Yhögkonv<Ylågkonv men samtidigt är högkonv mindre riskabel (vid ränteoro vill man ha högkonv obl  större prisskillnad då)  Konvexitet är alltså en viktig egenskap som måste beaktas. (dock, konvexiteten är relaterad till durationen så när d ökar ökar också konv) P1 Y1 Y

Konvexitet: mäter hur ”buktig” prisfunktionen är, d.v.s. hur snabbt lutningen (durationen) förändras vid en ränteförändring. Konvexitet definieras som Konvexiteten definieras so andraderivatan av P med avseende på räntan (i stället för förstaderivatan som durationen). Precis som för MOD dividerar vi med priset (men mult inte med 1+Y som i durationsber.). VISA deriveringen. Vad vi gör är förstås att successivt närma oss den egentliga relationen mellan P och Y. Vi utnyttjar att en funktion kan approximeras med sin Taylorexpansion kring en viss punkt. I försa approximationen använder man första derivatan och om man vill få bättre appr. Använder man högre derivator, 2:2, 3:e etc. Taylorutveckling av funktionen P=P(Y) P=P0 + dP/d(1+Y) * Delta(1+Y) + ½ * d2P/d(1+Y)2 * Delta2(1+Y) + 1/3 *...... Detta är alltså en approximation av en godtycklig funktion P Rita figur med kurvan, tangenten, kurvan med två termer från Taylor (av grad 2), med tre termer från Taylor etc.... Ju fler termer man tar med desto större ränteförändringar (ränterisker) kan man modellera

Konvexitet: exempel s. 385 i Hässel, Norman och Andersson Betrakta en 4-års obligation med nominellt belopp N = 100, kupongränta på 11% (C = 11), och där marknadsräntan Y = Obligationens pris har vi tidigare räknat ut till (se slide18). Vi har tidigare sett samma exempel ett par ggr och här ska vi räkna ut obligationens konvexitet Vi har sedan tidigare P=112.81 Durationen=3.48 år Konvexiteten: peka i formeln Enhet = år^2 ?

Konvexitet: beräkningen av konvexitet kan utföras i tabellform enligt: Exempel: t = 2 Kolumn och 5 är identiska med de vi hade innan i slide 19.  durationen Kolumn 6 är som kolumn 5 där vi mult t med en viss vikt. Här mult vi istället t*(t+1) med en vikten. Summan dividerad med (1+Y)^2 är just konvexiteten

Att mäta ränterisker Tidseffekt
Obligationsprisets känslighet för en förändring i löptiden kan erhållas genom att derivera prisfunktionen med avseende på t: Observera att derivatan med avseende på tiden avser en ökning av löptiden; därför blir effekten på obligationspriset vid dag 0 negativ. Hittills har vi bara pratat om hur priset på en obl ändras av en ränteförändring. Man kan också studera hur en förändring av löptiden påverkar obligationens pris. Gäller både nollkupongare och kupongobligation. Vi ska inte titta så mycket på detta men det kan vara bra att förstå metodiken. Derivator är bra hjälpmedel för alla som sysslar med kvantitativa problem. Visa härledningen. Vi använder förstås x^a = exp(lnx)^a = exp (a*(lnx)) eftersom det blir enklare att derivera då. Summan kan skrivas ut om man vill men i varje term kommer -ln(1+Y) ingå. Summa summarum, mycket enkelt uttryck om man vill veta hur löptiden påverkar priset. Multiplicera bara priset med –ln(1+räntan) så får du lutningen på P=P(löptid) funktionen. Den är förstås negativ då längre löptid ger lägre pris (tänk på nollkupongare)

Att mäta ränterisker Immunisering och hedging
En investerare som vill disponera en summa pengar om ett år kan placera kapitalet i en 1-årig nollkupongobligation, vilket innebär att durationen är identisk med placeringshorisonten och ränterisken är obefintlig. Immunisering innebär att en obligationsportfölj har en given avkastning över en viss placeringshorisont, oberoende av utvecklingen i marknadsräntor. I strikt mening kan en immun portfölj uppnås genom att investera i nollkupongare med löptid=inv.horisont. Hittills har vi pratat om duration etc som mått på risken. Alltså, riskmätning Nu ska vi prata om sätt att påverka sin risknivå. 2 sätt: immunisering och hedgning Det enklaste sättet är förstås att köpa en nollkupongare med samma löptid (och duration) som ens investeringshorisont.  ingen ränterisk Detta är ett exempel på immunisering: man ser till att ens portfölj har en given avkastning över en viss horisont, oberoende av ränteutvecklingen! När jag köper mina Nordeahyp0407 så planerar jag att hålla dem till förfall. I det allmänna fallet med kupongobligationer etc.: hur immuniserar man?

Finns endast kupongobligationer till hands kan durationsanalysen användas; portföljens duration borde överensstämma med placerings-horisonten för att portföljen ska bli approximativt immun (mot ränteändringar). Durationsanalysen gör det möjligt att kombinera olika räntebärande instrument för att minska ränterisken så att en approximativt känd avkastning uppnås. Jo, durationsanalysen kommer till användning här. Precis som för nollkupongaren ovan så ska en godtycklig räntebärande tillgångs duration anpassas till den riskaverta investerarens placeringshorisont eftersom han precis vid horisonten återvunnit allt han ev. förlorat av en räntehöjning (kom ihåg definitionen på duration)  ingen ränterisk Även portföljer av RBTar ska ha en duration=horisont och durationen har den goda egenskapen att den är additiv med andra ord är durationen hos en portfölj = det vägda genomsnittet hos durationerna hos portföljens delar (ej självklart men det kan visas om man är intresserad) Mao kan man få en önskad duration hos sin portfölj genom att investera I minst 2 obligationer, med olika duration, I lämpliga proportioner.

Betrakta två obligationer med följande egenskaper: Obligation 1: 4 års löptid, d = 3.48, CONV = 14.39, P = , N = 100, C= 11%, Y = 7.2% Obligation 2: 2 års löptid, d = 1.90, CONV = P = , N = 100, C = 11%, Y = 7.2% Vi tar ett exempel: En investerare har en placeringshorisont på 2 år (han bör alltså ha en portfölj med en duration på 2 år) Det finns två kupongobligationer som han kan använda för att skapa sin portfölj med d=2år: den ena har d=1.90 den andra har d=3.48 (observera att vi har kupongobligationer och deras duration är alltid lägre än deras löptid  d=1.90<2

Om en investerare har en placeringshorisont på 2 år, duration = 2, bör han bilda portföljen med vikter som löser ekvationerna: Vi får alltså följande ekvation (med bivillkoret att vikterna summerar till ett) Resultatet blir att vi ska investera 6% i den 2-åriga kupongobligationen och 94% i den 4-åriga kupongobligationen.

Portföljens duration blir: Portföljens konvexitet blir: Investeraren ska således inte placera bara i obligation 2, med 2 års löptid, till 100%. Portföljen som endast innehåller obligation 2 har en återinvesteringsrisk efter ett år, vid den första kupong-utbetalningen. I portföljen med vikterna 0.06 resp balanserar investeraren två typer av risker: återinvesteringsrisken och prisrisken att sälja obligation 1 efter 2 år. På detta vis blir durationen hos portföljen just 2år (ett vägt genomsnitt av de ingående obligationernas durationer). Peka Konvexiteten är också additiv och portföljens konv blir 5.47 (dvs ett vägt genomsnitt) Peka och diskutera texten: precis som jag sagt ska man anpassa durationen efter ens löptid då annars återinvesteringsrisken och prisrsken ej tar ut varann (2-åringen har tex d=1.90) Sättet att göra det är alltså att välja obligationerna i de vikter som står här, peka. Mest i 2-åringen och bara en liten krydda av den 4-åriga för att återinvesteringsrisken ska balansera prisrisken precis efter 2 år (reinvesteringarna av kupongerna ska efter precis 2 år balansera prisrisken) Obl 2 har ingen prisrisk för den som har horisont=2år. Den har däremot återinvrisk. Obl1 har både och.

Immunisering är en dynamisk strategi (kräver ständiga revideringar) eftersom Obligationers duration ändras när räntan förändras; om räntan går upp minskar durationen. Portföljen måste rebalanseras. Om icke-parallella skift i avkastningskurvan sker, måste portföljen rebalanseras. Även om räntorna inte förändras ändras durationen efter kupongutbetalningar och därför bör portföljen kontinuerligt rebalanseras. Immunisering är för små ränteförändringar, eftersom durationen är inte bra mått vid stora ränteförändringarna. Det finns 2 problem med immunisering: det krävs att man uppdaterar sina positioner kontinuerligt 2) funkar bara för små ränteförändringar. När man vid en viss tidpunkt immuniserat sin portfölj är det viktigt att förstå att denna immunisering bara håller instantant. Immuniseringen måste alltså uppdateras kontinuerligt, den måste ske som en dynamisk strategi. Varje gång räntenivån ändras (signifikant) kommer durationen ändras. Ibland ändras bara vissa räntor (vissa löptider) och då måste proportionerna förstås också ändras. Vi såg ju tidigare hur vi har durationsdrift, se slide 21, dvs durationen ändras över tiden. Och vi såg hur vi hade hopp vid kupongerna visa figur med zicksackmönster.  Mao måste proportionerna av olika obligationer ändras med tiden. 2) Hela principen med immunisering bygger ju på durationsgegreppet och det betyder förstås att durationens alla begränsningar kommer in även här. Det viktigaste är att immuniseringen (mot ränteförändringar) bara håller för små ränteförändringar. Rita bilden igen med konvex+tangent+kurvan

Betrakta portföljen i exemplet efter 3 månader, utan att räntan har förändrats. Placeringshorisonten är nu lika med = 1.75 år. Eftersom ingen kupong har betalats ut under perioden minskar durationen en dag för varje dag. Portföljens duration kan därför beräknas enligt nedan: Obligation 1: d1 = /360 = 3.23, Obligation 2: d2 = /360 = 1.65 Vi går tillbaks till vårt exempel igen: Det enda som hänt är att 3 månader har passerat och vi håller fortfarande 2 obligationer. 2-årsobl har nu en återstående löptid om 1.75 år och 4-åringen har 3.75år kvar. Vår invhorisont är nu 1.75år. Räntor är samma som innan och ingen kupong har utbetalats. Vi såg innan, slide 23, att durationen minskade en dag för varje dag som går så länge inga kuponger betalas ut (kan bevisas men det tänker jag inte göra)  vi kan alltså beräkna de nya durationerna på följande enkla vis:  d1=3.23 och d2=1.65 Durationen för hela portföljen med oförändrade vikter är då dp=1.75  invhorisonten för investeraren 1.75 = durationen för hans portfölj 1.75 (fortf.) ingen rebalansering behövs alltså Ingen rebalansering behövs.

Betrakta portföljen i exemplet efter ett år. Placering horisonten är nu lika med = 1 år. Durationen minskar en dag varje dag till kupongbetalningen. Efter kupongbetalningen hoppar durationen upp för både obligationerna: Obligation 1: d1 = 2.73, Obligation 2: d2 = 1 Samma sak igen fast efter ett helt år: Placeringshorisonten är nu 1år. Vi vill därför ha en duration hos portföljen om 1år. Tiden som gått är nu så lång att båda obligationerna hinner betala ut kuponger: d1 kan beräknas: om man vill (ni vet hur man gör, eller hur?) obl har 3 år kvar till förfall, N, C och Y är kända  d1=2.73 efter 1:a kupongen d2 är enkel att beräkna: eftersom obl1 har precis ett år till förfall och därför obl är en nollkupongare Placeringshorisonten =1år och dp ska därför vara =1år för att vi ska ha en immun portfölj men för att den ska bli =1 måste w1=0 och w2=1  rebalansering krävs (innan hade vi vikterna w1=0.06 och w2=0.94) Vad har vi lärt oss? Jo, immunisering kan inte lämnas åt sitt öde när vi väl gjort vår portfölj immun. Kontinuerliga rebalanseringar krävs. Om inte annat då kuponger utbetalas (och när räntorna ändras mycket). Portföljen måste rebalanseras;

Hedging: är en teknik där en investerare kombinerar olika tillgångar för att minimera eller helt eliminera risken för en portfölj eller ett innehav av en enskild tillgång. I en perfekt hedge-portfölj av obligationer är ränterisken helt eliminerad. Att hedga finansiella risker är att som köpa försäkring mot händelser som man inte har kontroll över. För en portfölj av kupongobligationer innebär hedging att både prisrisken och återinvesteringsrisken ska tas bort. Jämför immunisering där syftet är att, givet vissa antaganden, matcha dessa. Peka på texten Rent allmänt är det ett sätt att minska sin risk visa 3 figurer, en kurva, en med rak linje (termin, betalas med att ge upp uppåtpotentialen) och en med tak på kurvan (option, betala en premie) I vårt specifika fall med obligationer handlar hedging om att både prisrisken och återinvrisken ska tas bort hedging: 2 risker ska tas bort. Immunisering handlade om samma risker men då skulle de matchas, immunisering: 2 risker ska matchas sättas lika.

Hedging kan utföras med hjälp av terminskontrakt. En räntetermin innebär en överenskommelse om att köpa eller sälja en räntebärande tillgång, till ett i förväg fastställt pris (fastställd ränta), vid en given framtida tidpunkt, lösendagen.  Ingen osäkerhet om framtida pris eller ränta; ingen risk. Om marknadsräntan sjunker (obligationspriset stiger) under perioden till terminens lösendag gör köparen av terminen en vinst (sparar till en ränta som är högre än marknadsräntan) medan säljaren av terminen gör en förlust (lånar till en ränta som är högre än marknadsräntan). Det omvända gäller om marknadsräntan stiger. Ni vet vad en termin är! En räntetermin har en obligation (ränta) som underliggande tillgång: Peka på raka linjen på tavlan och peka på texten vid pilen (ingen osäkerhet alls) Den som köper/säljer en obligation på termin vet exakt vad han ska betala/erhålla I framtiden. OK! Men trots det kan man förstås jämföra med vad man skulle betalat/erhållit om man köpte obligationen på vanligt vis, på spotmarknaden, vid den framtida tidpukten. Hade man gjort en bättre affär eller en sämre, ex post? Visa figur och peka på texten I sliden Oavsett vilket som händer kan man inte säga att det var bra/dåligt att gå in på terminsmarknaden och köpa sin obligation. Anledningen till att man köpte på termin var ju att minska sin risk, inte maximera sin vinst.

Betrakta exemplet ovan igen, där en investerare har en placeringshorisont på 2 år och följande kupongobligationer till sitt förfogande. Obligation 1: 4 års löptid, D = 3.48, CONV = 14.39, P = , N = 100, C= 11%, Y = 7.2% Obligation 2: 2 års löptid, D = 1.90, CONV = P = , N = 100, C = 11%, Y = 7.2% Samma exempel som innan: placeraren har en horisont om 2 år och 2 obl till sitt förfogande Innan matchade investeraren de 2 obl på ett sätt som gjorde portföljen immun mot ränteändringar (durationen=horisonten)

Om investeraren placerar i obligation 2 existerar endast en återinvesteringsrisk; risken att räntan sjunker (eg. räntan är lägre än obligationens yield) om ett år då kupongen betalas ut. Med ett terminskontrakt kan återinvesteringsrisken elimineras. Obligation 2 plus lång termin (placera kupongen med ett års löptid med början om ett år) med terminsräntan lika med obligationens yield är helt ekvivalent med en nollkupongare och således en riskfri placering. Denna gång ska investeraren bara investera i en av obligationerna (trots att ingen har en duration på 2år) men han vill ändå inte ta någon ränterisk. Hur ska han göra? Vi börjar med obligation 2. Dvs inv ska bara köpa obl 2, inte alls obl1. Risken I detta fall är, eftersom löptiden=horisonten=2år, enbart risken att kupongen efter 1 år inte ska kunna återinvesteras till tillräckligt hög ränta, dvs obl2s yield, Y. Jo genom att kombinera obl2 med ett terminskontrakt kan risken elimineras. Terminskontraktet (obligationen på termin) som ska köpas ska ge en ränta identisk med obligationens yield, Y, ska erhållas om ett år, och ska ha en löptid på ytterligare ett år. Denna transaktion gör att alla kassaflöden förräntas med räntan Y, yielden=7.2%. Detta gör kombinationen av termin+obl2 identisk med en nollkupongare med 2 års löptid och räntan, yielden, =7.2%. Eller hur?

En placering i obligation 1 (4-års löptid) innehåller en återinvesteringsrisk och en prisrisk. Återinvesteringsrisken tar vi hand om precis som för i fallet med obligation 2. Prisrisken kan elimineras genom en kort termin som ger möjligheten att sälja obligationen för ett pris som bestäms idag. Om terminspriset sätts lika med värdet av obligationen givet dess yield idag så blir portföljen bestående av de bägge terminerna och obligation 1 ekvivalent med en nollkupongare. Vi tittar nu på obligation 1. Dvs inv ska bara köpa obl 1, inte alls obl2. I detta fall har vi 2 sorters risk, återinvrisk och prisrisk. Återinvrisken är identisk med den för obl2, samma Y, samma löptid, samma tidpunkt och den första risken gör vi oss därför av med precis som tidigare, genom att köpa en termin (gå lång en termin) Prisrisken är risken att vi inte kan sälja 4-årsobligationen om 2 år för ett tillräckligt högt pris. Detta pris måste vara det som ger obligationen dess yield, 7.2% idag. (dvs utan ränteförändringar) och det är detta pris som terminen ska ha (terminskontraktet ska stipulera för den obligation vi ska sälja på termin). Terminskontraktet ska alltså specificera att obl1 ska kunna säljas för detta pris om 2 år. På detta vis har vi med obl1, en lång termin enligt förra sliden och en kort termin enligt ovan blivit av med all risk. Det är återigen precis som att köpa en nollkupongare med 2 års löptid och räntan, yielden, =7.2%. . ???Observera att placeringarna i terminskontrakten och därmed hedging inte behöver ske kostnadsfritt.???

Hedging med hjälp av caps, floors och collars: En ränte-cap är en överenskommelse mellan t.ex. ett företag och en bank att om räntenivån, på en viss placering med viss löptid, vid bestämda tidpunkter i framtiden överstiger en viss nivå, ska säljaren av kontraktet kompensera köparen för mellanskillnaden. En ränte-cap kan ses som en portfölj av optionskontrakt på den räntebärande tillgången. (Ha möjlighet att sälja den underliggande tillgången till ett förutbestämt lösenpris när priset på marknaden understiger lösenpriset). Hittills har vi använt en sorts derivatistrument, nämligen terminer, för att skydda oss mot ränterisk. Diskutera terminer och rita fig med rak linje. Terminer kostar inget. Nu ska vi introducera en annan sorts derivat, nämligen caps och floors. Peka på texten och läs. Rita fig med tak och floor. Nämn att både låntagare (med rörlig r) och oblköpare (med fast r) far illa av ränteuppgång. Även här har vi alltså säkrat vår position fast denna gång har vi dessutom möjligheten att dra nytta av ev ränteuppgång/nedgång. (eller sälja obl för ett visst minimumpris, P=P(r) som ni vet, ränteuppgång är dåligt för en oblköpare) Caps och floors är alltså optionsliknande instrument och de kostar därför pengar, optionspremien. Black-Scholes kan t.ex. användas.

Ränte-cap. Exempel: Ett företag har tagit ett lån med rörlig ränta som löper under 5 år och som omförhandlas varje kvartal. Lånets nominella belopp är 10 milj. kronor. Företaget har dessutom köpt en cap av en bank med en lösenränta på 10%. Denna innebär en försäkring mot att låneräntan överstiger 10%. Om räntan under första kvartalet som cap-en gäller är 11% måste banken betala följande räntebelopp till företaget: I detta exempel tittar vi på en låntagare. Företaget köper en femårscap (med en viss lösenränta, 10%) av en bank för att skydda sig mot räntehöjningar. Detta kostar pengar, B-S. cap-premien stiger med sjunkande lösenränta Det tråkiga inträffar, en räntehöjning, men som tur är har företaget köpt sin cap! Banken (som fått betalt av företaget för försäkringen, cap-en) måste nu ersätta företaget för dess högre räntekostnad (på årsbasis 1% av 10Mkr, dvs kr) eftersom ersättningen betalas varje kvartal blir det ¼ av det. (11% och 10% är årsräntor medan det företaget ska betala varje kvartal (glöm det vi sagt om effektiv ränta etc.) är ¼ av denna procent av hela lånebeloppet) Den extra räntekostnad företaget måste betala på sitt lån, 25000kr, balanseras alltså exakt av de 25000kr företaget erhåller av banken enligt cap kontraktet! På detta sätt kan företaget maximera sin lånekostnad under 5 år till 10%. Lånekostnaden kan förstås bli lägre också, jmfr terminen

Ett ränte-floor är motsatsen till en ränte-cap; en försäkring mot fallande räntor. En ränte-collar är en kombination av en ränte-cap och ett ränte-floor, vilket innebär både ett tak och ett golv för räntan. Rita fig med floor (bra för långivare (t.ex om man sätter in pengar på banken) och de som gått kort i en obligation) Precis som cap kostar floor pengar. Om du köper en ränte-collar (halsband) så har du säkrat dig mot både upp och nedgångar I räntan. Rita fig Påminner om en termin, eller hur. Du har låst in räntan, dock ej lika mycket som vid en termin. Priset, collar-premie, blir därför också lägre än för motsvarande cap. (Terminen är gratis) Anledningen är att man betalar för att få optionen att inte behöva betala högre ränta än tex 10%. Man får dock betalt för att man aldrig betalar lägre ränta än tex 7% oavsett hur låg räntan blir. Att köpa en collar är alltså som att köpa en cap och sälja en floor. Företaget har minimerat sin lånekostnad till 7% och maximerat den till 10%. Nettopremien blir därför billigare än för att köpa bara en cap. Premien kan nog t.o.m. bli negativ! Antar jag?? Tänk efter själva. En collar kan vara intressant för ett företag som (i motsats till den andra parten I collarn) tror att sannolikheten för högre räntor är större än sannolikheten för lägre räntor. De får då ner priset på sin “cap” genom att samtidigt erbjuda en “floor” (dvs de två benen hos sin collar).

Caps och floors är nyttiga hedging instrument: Betrakta exemplet ovan igen, där en investerare har en placeringshorisont på 2 år och 2 kupongobligationer (obligation 1 med 4 års löptid resp. obligation 2 med 2 års löptid) till sitt förfogande. Om investeraren placerar i obligation 2 existerar en återinvesteringsrisk om ett år då kupongen betalas ut. Med ett floor-kontrakt kan risken elimineras. Obligation 2 plus floor med lösenräntan lika med obligationens yield är en riskfri placering såtillvida att återinvesteringen kan ske till åtminstone obligationens yield. Vi tittar på vårt gamla exempel igen: Innan skyddade vi oss mot återinvrisken genom att förbinda oss att placera kupongen i en termin (obligation på termin) med ränta = yielden (7.2%) Nu skyddar vi oss med en ännu bättre lösning: vi köper en floor (med lösenränta=yielden hos obl2) som ger oss rätten att återinv till rådande marknadsränta, dock lägst till yielden hos obl2! Floorlösningen är ättre men dyrare (floor-premien) än terminslösningen (som är gratis)

Observera att floor-kontraktet är ”bättre” än terminskontraktet eftersom man i floor-kontraktet har möjligheten, inte skyldigheten, att återinvestera till lösenräntan. Om marknadsräntan är större än lösenräntan förfaller floor-kontraktet värdelöst och om räntan är lägre kan du återinvestera till lösenräntan. Premien på floor-kontraktet är följaktligen högre än motsvarande för terminskontraktet. … och man återinv som sagt till marknadsräntan som är större än lösenräntan …som typiskt är gratis.

Att mäta ränterisker Value-at-Risk (VaR)
Definition: VaR kan definieras som den med viss sannolikhet förväntade förlusten från ogynnsamma marknadsrörelser över en viss period. VaR används för olika ändamål bl a: Rapportera företagens finansiella risk till aktieägarna utan behov av tekniska termer. För att jämföra risken på olika marknader. I finansiella institutioner för bl a ränte- och valutarisken. I icke-finansiella företag för bl a växelkursförändringar och för Cash-Flow-at-Risk. VaR och duration är som sagt exempel på mått för ränterisk. Duration summerar ränterisk I en parameter. Var försöker göra samma sak och definieras så här….. peka och rita en snabb skiss över normalförd och svansens sannolikhetsmassa De viktigaste komponenterna för att beräkna VaR är följande: Marknadsvärdets känslighet för ändringar i olika marknadsfaktorer Marknadsfaktorernas volatilitet Val av tidsperiod, avvecklingsperiod Val av konfidensintervall Val av sannolikhetsfördelning hos marknadsfaktorerna Korrelation mellan marknadsfaktorerna Vi kommer I tur och ordning prata om dessa olika komponenter och de antaganden vi gör VaR är inget obskyrt riskmått som bara kvantar använder och förstår sig på. Det används mycket flitigt på olika nivåer I ett finansiellt företag/bank/industriföretag. Prata kort om de olika exemplen. - Även VDn fattar vad det handlar om. -riskmåttet kan användas för att jämföra äpplen och päron -används tex av SEB -används även av abdra större företag

Marknadsvärdets känslighet: VaR kan användas för i princip vilka tillgångar som helst. Oftast brukar man mäta tillgångarnas prisförändringar med att relatera priserna till en eller flera marknadsfaktorer. När det gäller räntebärande tillgångar beräknas obligationernas sannolika prisförändringar med hjälp av förväntade ränteförändringar. Durationsmåttet kan användas som känslighetsmått, eventuellt korrigerat för konvexitet. Marknadsvärdets känslighet jämför duration För det första, VaR kan användas för allt mellan himmel och jord, tex elportföljer till komplexa optionspositioner. VaR: det slutliga målet i alla situationerna är att titta på tillgångars marknadsvärden och hur mycket de i värsta fall kan komma att minska med en viss sannolikhet. Ofta är det enklast att studera andra faktorer än de individuella tillgångarna och sedan i ett andra steg relatera ändringar i dessa faktorer till värdeändringen hos våra tillgångar. (anledningen kan vara att antalet tillgångar är för stort och att det är bättre att modellera industrier eller hela marknaden för sig) I vårt fall, obligationsportföljer, är marknadsfaktorn räntan. obligationsportföljer  räntan (marknadsfaktor) Vi tittar alltså först på ränteändringar och sedan relaterar vi det via vår vanliga prisformel till obligationspriset. Känsligheten i priset för en ändring i räntan är som vi vet vid det här laget durationen/konvexiteten. Rita figuren med kurvan och tangenten.

Volatilitet: Mått på hur mycket räntorna fluktuerar. Behövs för att få fram en sannolikhetsfördelning för förändringar i räntan. Det kan t.ex. skattas historiskt. Volatilitet mätts som spridning i förändring av räntenivå kring medelvärdet (varians och standard avvikelse): Medelvärde: är en skattning av förväntade värdet av en slumpvariabel: Volatilitet Den viktigaste komponenten för en korrekt beräkning/prediktion av var är nog volatiliteten hos räntorna (marknadsfaktorn). När väl vol har betämts kan man uttala sig om sannolikhetsfördelningen hos ränteförändringarna. Volatilitet är ett fancy ord för standardavvikelse eller varians. Jag antar att ni vet vad std är!! Det är ett statistiskt spridningsmått som anger hur utbredd en sannolikhetsfördelning är. “På svenska: A (stock’s) volatility is higher the more spread out the returns are and the larger the probability of the most extreme returns are.” Rita normalförd med sigma och my Spridningen mäts relativt medelvärdet, my, peka hos fördelningen och my beräknas enligt, peka Man använder alltså historiska observationer på historiska räntor, Rt, och skattar medelvärdet så här. Spridningen, variansen, beräknas sedan så här, peka, och är som sagt en skattning av hur variabel räntan varit historiskt (räntan antas vara en slumpvariabel, den ändras från dag till dag på ett till synes slumpmässigt vis) (variansen är också ett väntevärde, peka, denna gång av kvadrerade avvikelser från medelvädet) obs! std=sqrt(var) räkna ett exempel: R1=5 R2=10 R3=5 R4=15 R5=0 R6=-5 My=5 Var= Fråga mig inte varför det är T-1 och inte T (frihetsgrader etc) Varians: är en skattning av variationen i en slumpvariabel: Standardavvikelse: är roten ur variansen

Volatilitet: Den vanliga sätt att beräkna variansen ger samma vikt till alla historiska observationer. Ett annat alternativ är en exponentiellt viktad varians: Det finns olika sätt att beräkna dagens varians från ett sample av historiska räntor (eller andra observationer) I det enkla exemplet här på tavlan använde jag den vanliga samplevariansen (historical variance) (där alla observationer fått samma vikt, 1/T-1) för att med hjälp av gamla räntor beräkna dagens situation. Eventuellt: Dvs vi antar att hsitorien är bästa prediktorn för dagens situation såväl som framtiden) > I princip innebär det att vi antar att vol är konstant över tiden och samplevariansen är helt enkelt en estimering av denna konstanta vol Ett annat sätt att beräkna vol är att beakta de variationer i varians som man kan observera. Dvs även vol är volatil!! Rita figurer med volklustering och ökande vol över tiden. I båda fallen verkar det inte som ett användande av hela det historiska samplet är den bästa lösningen.  Varför inte fokusera mer på de senaste observationerna? Exponentiellt viktad varians (EWMA) gör just detta. Titta på formeln här, viktfaktorn lambda, som är <1, gör att observationer nära I tiden får mycket mer vikt än de som observerades kanske 1 år tillbaks osv I figuren ser vi hur olika lambda ger olika mycket vikt till historiska obs. 0.8 mer extrem än 0.95

Val av avvecklingsperiod och urvalsperiod: Över vilken tidshorisont och tidsperiod som volatiliteten ska mätas. Den valda tidshorisonten, avvecklingsperioden, beror på hur lång tid som bedöms vara realistiskt för att (om önskvärt) avveckla de räntebärande tillgångarna i portföljen (likviditeten hos portföljen). 1 dag, 10 dagar, en månad...? Den valda urvalsperioden, å sin sida, avser hur långt tillbaka observationer på ränteförändringar ska hämtas för att mäta volatiliteten. 3 mån, 1 år, 3år..? Val av avvecklingsperiod och urvalsperiod Vilken tidsperiod/avvecklingsperiod ska vi titta på när vi uttalar oss om VaR? Inom hur många dagar ska den osannolika tråkiga händelsen äga rum? ---Avvecklingsperioden bestäms av hur enkelt/svårt det är att sälja en tillgång. Detta anges av likviditeten I marknaden. Om vi pratar om likvida aktier eller obligationer kan det röra sig om en dag eller så. Är det stora lån vi pratar om kanske det kan ta månader. Det är detta som är avvecklingsperiod och det är den tidsperiod vi är intresserade av att studera och använda för att räkna ut VaR. ---Syftet för riskmätningen påverkar också valet av tidsperiod, I tradingboken är 1 dag vanligt. I strategiska bedömningar av mer generell natur kan tidsperioden vara 3 mån trots att marknaderna är likvida. Kom ihåg! VaR kan definieras som den med viss sannolikhet förväntade förlusten från ogynnsamma marknadsrörelser över en viss period.  avvecklingsperioden Vårt mått på volatiliteten påverkas av valet av avvecklingsperiod. Om avvecklingsperioden är 1 dag 1 (månad) ska dags (månads)volatiliteten användas, osv. Urvalsperioden anger hur långt tillbaks man använder observationer. Olika beslut ger olika estimat av volatiliteten och det är viktigt att bestämma hur ofta vol ska uppdateras, vikter, antal obs etc.

Val av konfidensintervall och sannolikhetsfördelning: Konfidensintervall är ett intervall som med en viss sannolikhet innehåller det sanna värdet för den okända slumpvariabeln (stokastiska variabeln). För att kunna bedöma sannolikheten för portföljens prisändringar måste man ha en uppfattning om sannolikhetsfördelningen för ränteförändringarna (marknadsfaktorn).  Vanligtvis görs antagandet att ränteförändringar följer en normalfördelning. Detta antagande medför att medelvärdet och variansen i ränteförändringarna räcker för att fullständigt beskriva sannolikhetsfördelningen. Val av konfidensintervall och sannolikhetsfördelning Peka på tavlan och stryk under en annan del av texten: VaR kan definieras som den med viss sannolikhet förväntade förlusten från ogynnsamma marknadsrörelser över en viss period. Valet av denna sannolikhet är just valet av konfidensintervall, kan vara 1%, 2.5% eller 5% etc Kopplat till valet av konfintervall är valet av fördelning i vårt modellerande av räntor och VaR. Ränteändringssannolikheterprisändringssannolikheter (så som sagt tidigare tittar vi på räntefördelningen och går sedan i steg 2 in på prisförändringar hos obl) rita pil, vi behöver fördelningen hos ränteförändringarna Den vanligaste fördelningen att jobba med (att anta att räntorna följer) är otvivelaktigt normalförd. Denna är enkel att arbeta med och det räcker att specificera fördelningens medelvärde och std för att man ska veta exakt hur fördelningen ser ut och konfidensintervall ges sedan av tabeller.

Exempel. en normal fördelning med medelvärde 0 och varians 1 (standard normal). En fördelning över ränteförändringar är helt enkelt ett histogram över alla möjliga ränteförändringar med de som är mest sannolika repr. har högst staplar i histogrammet rita en tidsserie över dR och rita ett histogram Normalfördelningen vet vi förstås att den ser ut på detta vis, en klockkurva brukar man säga (bell shaped) Just denna förd ahr my=0 och si=1  det är en standard normalfördelning Rita figur på tavlan med standrd och 2 till med si=2 och si=4 och my=0 samt 1 till med my=5 och si=1 Ser ni, förd ser hela tiden likadan ut, det är bara hur utbredd den är och var dess tyndpunkt ligger som ändras. Detta avgörs av my och si. En mycket vanlig förd som ni bara måste känna till!!! Som ekonomer.

Förutom medelvärde och varians finns det två andra viktiga mått för att kartlägga en fördelning; skevhet och toppighet: Skevhet: är ett mått på hur asymmetrisk en fördelning är runt medelvärdet Kurtosis (toppighet): mäter toppigheten eller plattheten för en fördelning I det allmänna fallet med en godtycklig fördelning är vi inte lika lyckligt lottade: my och si räcker inte för att uttala sig I ord om hur en förd ser ut. Visa exempel på olika förd (elprisers t-förd, skev kreditriskförd, tärningskasts likformiga förd, exponentiell förd) alla har area=1 under sig dock. Viktigt!! två mått hos en förd som kan användas för att beskriva fördelningen är dess skevhet och dess kurtosis. Dessa mått är precis som medelvärdet och variansen förväntade värden av olika saker, peka. De är I statistiskt ordbruk olika moment hos fördelningen, 1.a, 2:a 3:e etc Peka på kreditriskförd för skevhet (>0) och t-förd för kurtosis (>3) jämför med normalförd som inte är skev (skevhet=0) och har lägre kurtosis (kurtosis=3) än t-förd För normalfördelningar räcker medelvärdet och variansen för att beskriva sannolikhetsfördelningen, eftersom för alla normalfördelningar skevhet = 0 och kurtosis = 3.

Exempel. En fördelning med positiv skevhet: Återigen har vi här en något skev fördelning ser ni skillnaden mot normalförd?

Ett exempel på en fördelning med högre Kurtosis än normalfördelning är t-fördelningen. t-fördelningen konvergerar mot standard normalfördelningen när antalet frihetsgraden ökar. Och här ser vi t-förd igen Den har lägre topp men fetare svansar stora ränteförändringar är mer sannolika än för normalförd!! Viktigt!! Kom ihåg!! En tredje parameter som behövs för att beskriva t-förd, förutom my och si, är antalet frihetsgrader, ny. Denna anger hur feta svansarna är och när ny går mot oändligheten går t-förd mot normalförd. Överkurs för denna kurs men matnyttigt.

För normal fördelning gäller det alltid att 90% av alla möjliga fall ligger mellan 1,64std, 95% ligger mellan 1,96std och 99% ligger mellan 2.33std. Om vi lämnar snacket om fördelningar och går tillbaks till diskussionen om konfidensintervall så kan vi se ett exempel på vad jag menar med detta på denna slide. --Ett konfidensintervall är alltså ett intervall där det är en viss sannolikhet att vi hamnar. ----Ett 99% intervall t.ex betyder att 99% av alla obs hamnar inom detta intervall. Detta gäller oavsett fördelning. för en normalfördelning gäller det dessutom att vi vet att ett 99% konfintervall alltid ligger mellan +/ std, osv För en standard normal förd gäller det dessutom att vi vet att ett 99% konfintervall alltid ligger mellan +/- 2.33

Eftersom den verkliga risken utgörs av förlustrisken är vi enbart intresserade av den spridning som har negativt tecken (dvs ett ensidigt konfidensintervall). På förra sliden pratade vi helt allmänt om konfidensintervall. När vi mer specifikt pratar om VaR så är det vänstra svansen vi är intresserad av. Peka på svansen och säg att det är dessa kvantiler vi är intresserade av när vi pratar om VaR; Sannolikheten för att räntan ska förändras med mer än std är bara 2.5%. (att en negativ ränteförändring ska vara större än 1.96 std hos räntförändringarna) Detta är kärnan I VaR beräkningen. OBS! Vår fördelning ovan är fördelningen av ränteförändringar

Sammanfattningsvis består valet av konfidensintervall av följande steg: Bestäm med vilken sannolikhet som man vill fastställa den maximala förlusten. Bestäm vilken fördelning ränteförändringarna kommer från. Givet fördelningen för ränteförändringarna, välj det ensidiga konfidensintervallet som motsvarar den valda sannolikhetsnivån. Använd brytpunkten i fördelningsfunktionen, konfidensgränsen för VaR beräkningen (den vänstra, negativa, gränsen). Proceduren är alltså följande: Först fastställer vi vilken sannolikhet vi är intresserade av; dvs hur extrema händelser är det vi vill skydda oss mot; en på 100 (99%), en på 1000 (99.9%)…? Sedan bestämmer vi oss för vilken fördelning ränteförändringarna kommer från; Normalfördelningen, t-förd….? Sannolikheten ger oss vårt konfidensintervall och detta ger oss vilken ränteförändring denna sannolikhet repr. Om vårt VaR mått hade gällt räntorna direkt och inte obligationens pris hade denna “brytpunkt” varit vårt vaR mått.

Korrelationen mellan tillgångar (mellan räntor): Om vi har en portfölj av tillgångar för vilken vi vill beräkna VaR så måste vi ta hänsyn till tillgångarnas samvariation. Denna samvariation mäts av tillgångarnas (eller räntornas) kovarians, eller korrelation. Hittills har vi pratat om VaR för en enskild tillgång. Om vi har en hel portfölj av tillgångar, vilket är det vanligaste, så måste vi ta hänsyn till att tillgångarnas värden inte varierar helt oberoende av varann. De är korrelerade. Det samma gäller räntorna. De är också korrelerade med varann. Är korrR=korrP ?? Kolla upp Vi återkommer till hur man definierar dessa begrepp.

Value-at-Risk för ett instrument: Den potentiellt maximala förlusten från innehavet av en räntebärande tillgång (VaR) är en funktion av valt konfidensintervall (Ca), tillgångens volatilitet (V) och tillgångens marknadsvärde (MV) enligt: VaR = Ca × V × MV Som sagt, VaR försöker svara på frågan, what is the value at risk dvs, hur mycket står på spel för en viss individuell tillgång? Vad är den potentiellt största förlusten med en viss sannolikhet från innehavet av tillgången? C är helt enkelt antal standardavvikelser V är tillgångenens prisförändringars standardavvikelse (%) eller !!!!!!!!! ränteförändringarnas standardavvikelse multiplicerat med obligationens känslighet mot förändringar i räntan denna känslighet mäts tex med durationen hos obl MV är helt enkelt obligations nuvarande marknadsvärde (nuvärdet av alla framtida kassaflöden) som vanligt Ex. VaR2.5%=1.96*10%*100Mkr=19.6Mkr, rita figur och nämn att VaR är en siffra och bla bla vi ska snart titta på ett riktigt exempel men först ska vi se hur vi normal beräknar VaR. vi har nämligen normalt räntornas volatilitet och behöver koppla denna volatilitet till tillgångarnas prisvolatilitet

För obligationer kan den procentuella prisförändringen i följd av en ränteförändring approximeras med hjälp av följande Taylor-expansion. (Obs. Vi antar att tidsintervallet är kort och ändring i obligationspris beror bara på ränteförändringarna) : Om vi jobbar med räntor, hur ska vi då beräkna VaR för obligationers marknadsvärde? Det är ju värdet hos våra tillgångar vi till sist og syvende är intresserade av, eller hur? Risken för deras market value > value at risk? Svaret är förstås att vi måste finna kopplingen mellan räntorna och priserna. Vi har gjort detta innan, taylorutveckling för att approximera en okänd funktion. Obs, håller bara för ett kort tidsintervall och för små ränteändringar. Vi känner igen defintitionerna för MOD och CONV I formeln, eller hur? Vi kan alltså skriva om taylorexpansionen på följande vis… Flytta över P0  deltaP  div med P0 det som står i HL är då …. Eftersom delta 1+Y=deltaY

Definiera: Definiera: Delta-gamma modellen Man brukar approximera relationen mellan obligationspris och räntan med hjälp av bara durationen. Modellen man då erhåller kan vi kalla för ”delta modellen”: Vi definierar en ny variabel ytilde som är den procentuella dR  första formeln här, peka Vi får ett nytt uttryck med %dR i stället för dR i absolut tappning I HL och %dP I VL Vi definierar två till nya variabler, delta och gamma som är MOD och CONV, resp, mult med räntan och räntan^2  Formeln här, peka, som visar %dP som funktion av %dR (här tar vi med 2 termer i Taylorutv.) (kvadratisk approximation) Ibland förenklar man och tar bara med en term (linjär appr.) detta kallas deltamodellen I delta gamma modellen tar vi både med durationen och konvexiteten i relationen mellan ränta och oblpris jmfr tidigare, rita fig med kurva och linje I delta modellen tar vi bara med durationen i relationen mellan ränta och oblpris jmfr tidigare, rita fig med kurva en kurva till och linje Vi har nu relationen mellan %dP och %dR som en enkel linjär relation Delta modellen

Delta-Normal modell: Antag att procentuella ränteförändringar följer en normalfördelning med medel lika med noll och varians s2 Definiera: VaR definieras som absolutvärdet av brytpunkten i det a %-iga ensidiga konfidensintervallet för DPt : Vi använder nu denna enkla linjära modell tillsammans med antagandet om normalfördelade ränteförändringar N(0,sigma) Dvs %dR är normalförd + linjära relationen på förra sidan ( var(aX)=a^2var(X) )  %dP är också normalfördelade fast med en annan varians, peka deltaP/P0 )= deltaP/P0  deltaP = P0 * N(0,…)  VaR Känner ni igen formeln, VaR = Ca * V * MV fast uttryckt i ränteförändringarnas volatilitet, sigma samt delta som är MOD ggr räntan, peka på alt formeln, Ca kommer från normalfördelningstabell, tex 1.64 eller1.96 eller 2.33 detta är vårt uttryck för VaR för en individuell obligation enligt delta-normal modellen eller

Exempel (sid. 79 i Söderlind): En investerare har ett innehav på nominellt 20 milj. SEK av en 5-årig obligation. Obligationens yield är 8.90% och dess marknadsvärde är 20,939,400 SEK. Den senaste månadens volatilitet (på dagsbasis) är uppskattad till %. Obligationens modifierade duration är Bestäm obligationens VaR på dagsbasis givet en 95%-ig konfidensnivå! En-dags VaR! Vi tar ett exempel MV= kr (större än nominella beloppet ty kupongobl) detta är värdet hos vår obligation. Delar av detta står alltså på spel, VaR. Räntan=8.90% Räntans volatilitet= % på dagsbasis, OBS!  endags-VaR Riskmåttet MOD=3.35 VaR95%=MOD*räntan*vol*konfintervall*marknadsvärdet=peka Obs, vol i decimalform Bla bla…dvs 95% av alla prisförändringar är mer fördelaktiga än kr, rita VaR figur med och 95% OBS! En-dags VaR VaR är större ju högre känslighet, MOD, ju högre vol hos räntorna, sigma, desto extremare konfidensintervall du använder och ju mer du investerat, MV. Sannolikheten (risken) är 5% att marknadsvärdet minskar med 77,266 SEK eller mer på en dag (vänstra svansen).

Value-at-Risk för en portfölj: När man uppskattar risken för en portfölj av räntebärande tillgångar bör man ta diversifierings- effekterna i beaktande. Risken för en portfölj bestäms både av de enskilda tillgångarnas individuella risker och hur tillgångarna samvarierar över tiden. Kovariansen är en skattning av samvariationen mellan två tillgångars prisändringar ΔP1 och ΔP2: Det nya här är att vi tittar på en portfölj av obligationer i st f en enda obligation. Det är det typiska situationen för en bank eller likn ty få banker investerar I en tillgång!!! Som ni vet måste man ta hänsyn till diversifiering när man räknar ut risken (volatiliteten) hos en portfölj. Visa mean-variance figur med 2 tillgångar och parabeln för olika korr (och räta linjen när korr=1)  risken går ner genom diversifiering Vad avgör hur mycket diversifiering man uppnår genom att kombinera tillgångar? Jo, som vi ser här, kovariansen (korrelationen)! Ju högre korrelation desto svårare är det att diversifiera. Kovariansen mellan två stokastiska variabler (2 tidsserier av observationer från dessa 2 variabler), tex 2 tillgångars prisändringar eller två tillgångars ränteförändringar uttrycks på detta vis: peka, det är helt enkelt ett mått på samvariationen mellan tillgångarna (jmfr definitionen för variansen) Korrelationen är helt enkelt en normalisering av denna kovarians så att värdet alltid hamnar mellan -1 och +1: dividera med de två variablernas std visa scatterplottar med parvisa observationer från tex en svensk SSVX ränta och en engelsk STIBOR ränta, 2 olika korrelationer Uppenbarligen är risken större, VaR är större, om man investerar i 2 kögt korrelerade obligationer (om en ränta går upp mycket gör troligen även den andra det) än om de är lågt korrelerade Korrelationskoefficienten är ett standardiserat mått på samma sak (ligger mellan +1 och -1):

Value-at-Risk för en portfölj: VaR för en portfölj av två räntebärande tillgångar kan skrivas som: Ju högre korrelation desto sämre diversifieringsmöjligheter; tvärtom ju närmre -1 korrelationen är desto bättre diversifieringsmöjligheter (exakt -1 är en perfekt hedge). Om vi har vaR för var och en av 2 tillgångar på en “stand alone basis”, individuellt, så kan vi lätt bestämma vad det innebär för VaR hos en portfölj bestående av båda positionerna. Det enda vi behöver är korrelationen mellan tillgångarna, eller räntorna (säg att de är identiska) som påverkar deras värde. Uttrycket ser ut så här och kommer från motsvarande formel för standardavvikelser: Stdp = rot( w1^2*std1^2 + w2^2*std2^2 + 2*w1*w2*std1*std2*corr1,2) Kom ihåg! VaR är direkt prop. mot MV*std Formeln kan förstås generaliseras till mer än 2 tillgångar Och det viktiga är att inse att korr kommer med in I bilden. Om korr=0 ser man att VaRp är något sorts genomsnitt av de 2 VaR Om korr>0 så blir VaRp större än så Om korr<0 så blir VaRp mindre än så. Diversifieringen blir bätte ju mer negativ korr är. Om VaR1 och Var2 är lika stora och korr=-1 blir VaRp=0!!!

Exempel: Antag att investeraren i förra exemplet även har tillgång till en 3-månaders SSVX på nominellt 20 milj. SEK, marknadsvärde på 19,564,207 SEK, marknadsränta på 8.91% samt en modifierad duration på Räntevolatiliteten är uppskattad till % och korrelations-koefficienten mellan förändringar i 3- månadersräntor och 5-årsräntor är uppskattad till SSVX VaR: I förra exemplet tittade vi på en 5-årig obl som hade VaR=77266SEK Nu antar vi att vi också har en + 3-månaders ssvx I vår portfölj. Peka på formeln och texten OBS! 95% Var, peka på 1.64, och en-dags VaR, peka på vol. Sedan använder vi formeln på förra sliden: peka och prata Korrelationen är ganska hög  VaR ökar jämfört med bara 5-åringen ev. Nämn (vi antar att de är nollkupongare så priserna är direkt kopplade till var sin ränta) annars får man mäta historiska yields hos just denna kupongobligation och räkna ut den historiska vol för denna specifika yield En-dags VaR! Portföljens VaR:

Exempel (fortsättning) Om korrelationskoefficienten i stället var uppskattad till 0, d.v.s. förändringar i 3-månadersräntor och 5-årsräntor sker oberoende av varandra, så blir portföljens VaR: Ju lägre korrelation, desto bättre diversifieringsmöjligheter och således desto lägre VaR. Hade korr varit 0 så hade VaR blivit lägre. VaRp är nästan inte större än VaR för bara 5-åringen Exempel på diversifiering. Oberoende tillgångar kombineras lämpligen I en portfölj. Hade korr varit <0 hade vaR blivit ännu mindre. kanske tom <77266!!

Bygger VaR för RBT på orealistiska antaganden? Är förändringar i en obligations yield den enda faktor som påverkar förändringar i obligationens pris? Kan parametrar skattas m.h.a. historisk data? Är parametrarna stabila över tiden? Följer förändringar i räntor en normalfördelning eller en annan fördelning? Är all risk linjär? VaR fungerar sämre för att uppskatta riskerna i optionsrelaterade instrument som caps och floors. Möjligt lägga till konvexitet i VaR-analysen. Svårt att säga! Det har visat sig funka rätt bra. Framförallt när man modifierar delta-normal modellen lite grann. I vår modell antar vi att priset helt bestäms av räntan (linjärt, vilket är en appr.) Är det fel? Vad skulle man mer kunna ta med? Jag vet faktiskt inte. Har någon en ide? Tiden? 2) Detta är helt klart ett typiskt problem som man ofta har när man modellerar I finansiell ekonomi. Finns det tillräckligt många historiska observationer för att man ska kunna skatta tex volatiliteten hos räntorna? Är dessa skattningar bra indikatorer på dagens vol? Dvs är vol skattningen stabil? Varierar förstås från tillgång till tillgång och på hur man modellerar vol. olika komplexa modeller finns (tex Engles GARCH, nobelpris) Korrelationen är en annan par som måste skattas. Svår att skatta då den hoppar runt mycket, instabil! Framförallt vis stresssituationer typ asienkrisen etc. 3) I delta-normal modellen antar vi att ränteförd och oblprisförd är normalförd: Normalfördelningsantagandet stämmer dock bara approximativt, visa fig med feta svansar, lösningen är att en annan fördelning används. Tex t-förd eller EVT dock mycket mer komplicerat 4) I delta-normal modellen antar vi att relationen mellan räntan och oblpriset är linjärt och att propkonstanten ges av durationen, dvs delta. Är detta realistiskt? Ett sätt att modifiera modellen lite är att förutom durationen också ta hänsyn till konvexiteten I relationen ränta-oblpris. På det viset går vår modell från att vara en linjär modell  till att vara en kvadratisk modell (icke-linjär). Detta kan möjligen bättre beskriva optionsrelaterade räntebärande tillgångars ränterisk.

Delta-Gamma modeller: För att ta hänsyn till konvexitet i modellen: och Problem: Även om ränteförändringarna är normalfördelade kan prisförändringarna inte vara normalfördelade. Orsaken är att prisförändringen är en icke-linjär funktion av ränteförändringen och har en skev fördelning. Gamma-risk resulterar i en positiv skevhet i fördelningen för prisförändringarna. Det beror på den positiva effekten konvexitet har på förändringen i en obligations pris till följd av en ränteförändring (se durationsanalysen). Visa och prata om slides 67 och 68 som visar dP/P rel till MOD och CONV. Man gör sedan precis som innan fast inkluderar också CONV förutom MOD.  delta-Gamma modellen Ett problem: Visa också slide 69 som visar att om dr är normalförd så är också dP normalförd. Detta gäller inte nu längre. Både Ytilde och deltaP/P kan inte vara normalförd! Peka In fact, förd är nu skev mot höger vilket är bra då neg förändringar är mer osannolika. Komihåg konvexitetens positiva effekter för oblinnehavaren, rita fig och peka

Delta-Gamma modeller: En naiv lösning på problemet är att behandla ränteförändringarna och dess kvadrat som två olika faktorer som båda är normalfördelade. Detta är dock inte är ett rimligt antagande. En annan lösning är att estimera skevheten och justera konfidensintervallet. Man kan lämpligen använda den ”empiriska fördelningen” för DPt: Simulera (Monte Carlo) ränteförändringen från en normal fördelning med medelvärde noll och varians s2. Använd de simulerade värdena i Taylor utvecklingen och beräkna DPt . Beräkna VaR från empiriska fördelningen för DPt . Hade kvadraten på dR varit normalförd hade det varit enkelt. Så är dock ej fallet. Fördelningen, skevheten, hos dP/P kan kanske skattas på ngt sätt. Ett sätt är att använda den empiriska fördelningen hos deltaP, detta är nog den bästa lösningen. Simulera dR, som är normalförd, och stoppa in dessa värden (tidsserier) I taylorytv, peka, och beräkna deltap  gör detta 1000 ggr  empiriska fördelningen  beräkna VaR från denna förd (I stället för att använda volatiliteten och Ca) en bra lösning som dock kräver simulering i st för en enkel formel.

Historisk Simulering: positionen jämförs med historiska räntescenarion. Hur skulle portföljens marknadsvärde förändrats om den hållits under en tidigare period? Beräknar historiska prisförändringarna för varje period s och varje tillgång i under S perioder före t (idag): s = t-S,……,t-1 Beräknar portföljavkastning för varje s baserad på tillgångarnas vikt i portföljen idag (dag t) Om man inte gillar att göra några antaganden om hur räntorna är fördelade (så som vi gjort ovan för monte carlo simuleringen, N(0,si)) kan man titta på den verkliga historiska fördelningen hos obligationenernas prisförändringar som funktion av den historiska ränteutvecklingen (om obligationen hållits, hypotetiskt) Lägg ihop obligationerna till en portfölj och beräkna fördelningen hos portföljens hypotetiska historiska prisförändringar (returns) Använd denna fördelning rita histogram för att bestämma VaR visa I histogrammet, 51a av 1000 obs för VaR95% en bra lösning som dock kräver simulering (historisk sådan, bara en uppsättning) i st för en enkel formel. Beräknar VaR för dag t (idag) från empiriska fördelningen för Rs,p

Stresstester: stressa positionen med olika förändringar i marknadsfaktorerna. Avsikten är att testa hur extrema ränteförändringar hypotetiskt kan påverka marknadsvärdet på portföljen. För varje scenario s beräknar DPs,t . Välj en sannolikhet ps för varje scenario . Använd ps för att specificera en sannolikhetsfördelning (framförallt svansen) för DPs,t. Beräkna VaR från den specificerade fördelningen. Nackdelen är att både scenario och ps är subjektiva. Ett sätt att testa risken för riktigt stora prisminskningar kan vara att göra ett sk stresstest. Antag ett antal extrema scenarier, tex ränteuppgång på 3 %-enheter och hur de påverkar deltaP. Bestäm en lämplig gissas sannolikhet för denna händelse.  sannolikhetsfördelning för svansen hos deltaP fördelningen. Om man inte blandar in sannolikheter får man en enklare form av stresstest. Testa bara det mest extrema du tror kan hända värsta tänkbara utfall (worst case scenario). Säger dock inget om sannolikheten för detta utfall!!

Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström

Liknande presentationer

En presentation över ämnet: "Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström"— Presentationens avskrift:

Liknande presentationer

Om projektet

Kontakta oss

Logga in

Logga in via sociala nätverk:

Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström

Liknande presentationer

En presentation över ämnet: "Föreläsningsanteckningar Del 2 Hans Byström"— Presentationens avskrift:

Liknande presentationer

Om projektet

Kontakta oss