Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj B1200 Differentialekvationer och transformer I, 4 poäng Föreläsning 7 Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 PDE och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer Värmeledning V ₢ gekvationen Laplace ekvation
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 Separation av variabler 4 Metoden med separation av variabler för en linjär PDE g ₢ r ut p ₢ att ansätta u(x,y)=X(x)Y(y). 4 Enligt superpositionsprincipen kommer även summor av s ₢ dana lösningar att vara lösningar till ekvationen.
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 Klassifikation 4 En andra ordningens linjär PDE kallas – Elliptisk om B 2 >4AC. – Parabolisk om B 2 =4AC. – Hyperbolisk om B 2 <4AC.
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 Begynnelse- och randvärden 4 För att f ₢ en entydig lösning till en PDE kan behövas begynnelsevillkor eller randvillkor. Exempel p ₢ randvillkor
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 Värmeledning 4 Den endimensionella värmelednings- ekvationen lyder där k är en positiv konstant. 4 Värmeledningsekvationen är parabolisk.
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 V ₢ gekvationen 4 Den endimensionella v ₢ gekvationen lyder där a är v ₢ gutbredningshastigheten. 4 De lösningar X(x)T(t) som f ₢ s genom separation av variabler kallas st ₢ ende v ₢ gor. 4 V ₢ gekvationen är hyperbolisk.
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 13 maj 2002 Laplace ekvation 4 Laplace ekvation i planet lyder 4 Lösningar till Laplace ekvation kallas harmoniska funktioner. 4 Laplace evationen uppkommer bland annat vid statiska elektriska fält. 4 Laplace ekvation är elliptisk.