Satslogik, forts. DAA701/716 Leif Grönqvist 5:e mars, 2003

Lite kort motivering Kursens delar har inte så mycket att göra med varandra De är snarare några nästan oberoende bitar som behövs som en grund att stå på för fortsättningen av utbildningen Funktioner och relationer är grundläggande för nästan all programmering Relationsdatabaser är något som används otroligt mycket i nästan alla typer av system

Motivering, forts. Grafer är ett generellt sätt att lagra information – ännu mer generellt än databaser. De är basen för många strukturer som används inom datalogi Satslogik hjälper er att formalisera och tänka på nya sätt som är användbara för programmerare Slutligen är de logiska kretsarna och sättet man sätter samman dem, grunden för hur datorer arbetar internt. Dessutom ger de mer förståelse för satslogiken

Olika typer av bevis Det är bra att känna till några typer av bevis: –Fallanalys med exempelvis sanningstabeller –Visa “det omvända”: Om (p → q) är svårt att bevisa så kanske (q → p), som är ekvivalent, är enklare! –Motsägelsebevis: om vi inte kan visa p direkt så kanske vi kan bevisa (p → 0), vilket är ekvivalent: ett exempel är beviset för att det finns oändligt många primtal –Bevis genom omskrivning till True Därmed inte sagt att ni måste behärska dem till fullo! Jag förväntar mig att ni kan utföra bevis med sanningstabeller

Det uteslutna tredje Lagen om det uteslutna tredje: –(p + p) ≡ 1 –Informellt betyder det ätt det som finns är True eller False men inget annat!

Ett litet bevis Visa att rs → r är en tautologi rs → r ≡ NOT (rs) + r (r + s) + r ≡ 1 + s ≡ 1 Dvs: rs → r ≡ 1 VSB

Ett klassiskt motsägelsebevis Visa att det finns oändligt många primtal –Antag motsatsen och låt P vara den ändliga mängden av primtal Nu skall vi försöka hitta på ett primtal som inte är med i P så: –Räkna ut produkten av alla tal i P och addera 1 –Detta tal kommer inte att vara delbart med något av talen i P och dessutom vara större än det största talet i P –Alltså har vi en motsägelse! Något antagande måste vara fel, dvs antalet primtal är oändligt. VSB

Konjunktiv normalform Konjunktiv normalform är ett uttryck på formen: –p AND q AND … AND r –p, q, r, mfl. Är på formen t + u + … + v –t, u, v, … kan vara negerade Varje uttryck kan skrivas om på den här formen om man följer en enkel algoritm:

Att skriva om till konjunktiv normalform 1.Eliminera alla operatorer andra än AND, OR och NOT 2.Använd DeMorgans lagar för att ”flytta ner” alla negationer tills de finns endast på enkla variabler (dvs. ”klipp av” negations- streck och byt operator) 3.Använd distributiva lagen, (p + qr) ≡ (p+q)(p+r), för OR över AND för att ”flytta in” alla OR innanför alla AND

Exempel på nyttan med Karnaugdiagram pqrx → p q r + p q r + p q r + p q r + p q r + p q r qr p → p + r